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19.1《多边形内角和》(1)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解多边形的内角和定理，进一步了解转化的数学思想；
2.通过把多边形转化为三角形，体会从特殊到一般的认识问题的方法；
3.通过探索多边形的内角和，尝试从不同的角度寻求解决问题的途径，并能有效地解决多边形问题.
学习重难点
重点：理解并会运用多边形的内角和定理；
难点：多边形的内角和定理的推导.
学法指导
要通过猜想、探索、推理、归纳等过程，培养自己的推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法.
学习过程
一、课前自习，温故知新
问题1：什么叫做三角形？
________________________________________________________________________________________________________.
【答案】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
问题2：你能不能类比说出四边形，五边形，n边形的概念？
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________.
【答案】由不在同一条直线上的四条边（五条边、n条边）首尾顺次相接所组成的图形叫四边形（五边形、n边形）
问题3：你能不能指出下面图形是几边形，且指出此图形构成的基本元素？
此图是______边形；
图中：（1）表示________________；
（2）表示__________________；
（3）表示________________；
（4）表示_________________.
【答案】四
（1）点 （2）边 （3）内角 （4）外角
二、课内探究，交流学习
1.探究1：
（1）什么叫做多边形？
【答案】在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
（2）说说什么叫做多边形的顶点、多边形的边、多边形的内角、多边形的外角？
组成多边形的线段叫做多边形的边相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角,简称多边形的角;在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角.
2.观察、思考
观察下列两个图形，你能说说它们各自有什么特征，它们之间有什么不同？
图1叫做_____多边形；图2叫做___多边形.
【答案】凸；凹
3.探究2：
我们知道三角形的内角和为180°，那么多边形的内角和是多少度？下面以四边形为例.
（1）四边形的内角和是多少？
我们来按下面两种方法试一试：
①如图 ，若连接AC，能得出四边形的内角和吗？
多边形的对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，
这里的AC是四边形ABCD的一条对角线，这条对角线将四边形分成2个三角形，由于三角形的内角和为180°，所以两个三角形的内角和共360°，故四边形的内角和为360°．
（2）如图，若在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，也能推得四边形内角和吗？
连接后将四边形分成了四个三角形，四边形的内角和为四个三角形的内角和减去360°，得四边形的内角和等于360°.
结论：多边形的内角和定理：______________________________________________
_______________________________________________________________________.
【答案】n 边形的内角和等于(n-2)·180°(n为不小于3的整数).
4.探究3：多边形的对角线的条数计算公式：
五边形 六边形 七边形 n边形
过一个顶点作多边形的对角线的条数 2 3 4 （n-3)
所有对角线的条数 5 6 7 (n-3)
5.随堂练习
1．下列各选项中，说法正确的是（ ）
A．直五棱柱有12个顶点 B．各边相等的多边形叫正多边形
C．用平面截一个圆柱，截面不可能是正方形 D．绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体
【答案】D
【分析】本题主要考查了空间几何体的结构特征，利用空间几何体的结构特征，综合思考，逐一核对四个命题得答案．
【详解】解：A. 直五棱柱有10个顶点，故选项A说法错误，不符合题意；
B. 各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形，故选项B说法错误，不符合题意；
C. 用平面截一个圆柱，截面可能是正方形, 故选项C说法错误，不符合题意；
D. 绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
2.下面是乐乐在整理七年级上册课本的知识点时得出的一些结论，①射线 与射线 是同一条射线；②连接两点间的线段叫做这两点间的距离；③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理依据是两点确定一条直线；④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间直线最短⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成了个三角形，你认为正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了射线的表示方法，两点之间的距离，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．根据射线的表示方法可以判断①；根据两点之间的距离可以判定②；根据两点确定一条直线可以判定③；根据两点之间，线段最短可以判定④；根据多边形的对角线定义可以判断⑤．
【详解】解：①射线 与射线 是两条不同的射线，故①错误；
②连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故②错误；
③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理依据是两点确定一条直线，故③正确；
④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间线段最短，故④错误；
⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成了个三角形，故⑤正确，
正确的有③⑤，共2个，
故选：C．
3.．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
4．如图，你能数出多少个不同的四边形？
【答案】27
【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案．
【详解】解：单个的四边形：一共有9个，
由2个四边形组成的四边形有6个，
由3个四边形组成的四边形有4个，
由4个四边形组成的四边形有1个，
由5个四边形组成的四边形有4个，
由6个四边形组成的四边形有2个，
由7个四边形组成的四边形有1个，
故一共有27个四边形．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：C．
2.下列图形是正多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意；
B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意；
C.是正五边形，符合题意；
D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3.边形所有对角线的条数有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．条
【答案】C
【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次，
由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线，
∴过个顶点可以作条对角线，
但每条对角线重复一次，
∴边形所有对角线的条数有条，
故选：．
4.要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】本题考查多边形分成三角形个数问题．根据题意利用三角形个数与多边形边数的关系即可得到本题答案．
【详解】解：∵从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，
∴连接各个顶点的三角形个数等于多边形边数减1这个性质，
∴多边形边数为：，
故选：D．
5.个六边形、个五边形共有 条边．
【答案】
【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算．
【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边，
∴个六边形、个五边形共有条边，
故答案为：.
【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边．
6.从多边形的一个顶点出发引对角线，这些对角线把这个多边形分割成了5个三角形，则这个多边形是 边形，共有对角线 条．
【答案】 七
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．多边形过一个顶点引的对角线将多边形分为个三角形，一共有条对角线．根据原理解答即可．
【详解】解：设这个多边形有n条边，
，
解得：，
∴这个多边形的对角线条数：．
故答案为：七，14．
7.三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【答案】见解析
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
8．若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，多边形对角线条数问题，根据边形一个顶点可以引条对角线求出，据此代值计算即可．
【详解】解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线，
∴，
∴，
∴．
9．已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的对角线，若多边形为边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形，这些对角线有条，据此解答即可．
【详解】解：根据题意可知，这个七边形从一个顶点出发的对角线有4条，这些对角线将这个七边形分成了5个三角形，
所以，，
所以
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19.1《多边形内角和》(1)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解多边形的内角和定理，进一步了解转化的数学思想；
2.通过把多边形转化为三角形，体会从特殊到一般的认识问题的方法；
3.通过探索多边形的内角和，尝试从不同的角度寻求解决问题的途径，并能有效地解决多边形问题.
学习重难点
重点：理解并会运用多边形的内角和定理；
难点：多边形的内角和定理的推导.
学法指导
要通过猜想、探索、推理、归纳等过程，培养自己的推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法.
学习过程
一、课前自习，温故知新
问题1：什么叫做三角形？
________________________________________________________________________________________________________.
问题2：你能不能类比说出四边形，五边形，n边形的概念？
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________.
问题3：你能不能指出下面图形是几边形，且指出此图形构成的基本元素？
此图是______边形；
图中：（1）表示________________；
（2）表示__________________；
（3）表示________________；
（4）表示_________________.
二、课内探究，交流学习
1.探究1：
（1）什么叫做多边形？
（2）说说什么叫做多边形的顶点、多边形的边、多边形的内角、多边形的外角？
2.观察、思考
观察下列两个图形，你能说说它们各自有什么特征，它们之间有什么不同？
图1叫做_____多边形；图2叫做___多边形.
3.探究2：
我们知道三角形的内角和为180°，那么多边形的内角和是多少度？下面以四边形为例.
（1）四边形的内角和是多少？
我们来按下面两种方法试一试：
①如图 ，若连接AC，能得出四边形的内角和吗？
多边形的对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，
这里的AC是四边形ABCD的一条对角线，这条对角线将四边形分成2个三角形，由于三角形的内角和为180°，所以两个三角形的内角和共360°，故四边形的内角和为360°．
（2）如图，若在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，也能推得四边形内角和吗？
连接后将四边形分成了四个三角形，四边形的内角和为四个三角形的内角和减去360°，得四边形的内角和等于360°.
结论：多边形的内角和定理：______________________________________________
______________________________________________________________.
4.探究3：多边形的对角线的条数计算公式：
五边形 六边形 七边形 n边形
过一个顶点作多边形的对角线的条数 2 3 4 （n-3)
所有对角线的条数 5 6 7 (n-3)
5.随堂练习
1．下列各选项中，说法正确的是（ ）
A．直五棱柱有12个顶点 B．各边相等的多边形叫正多边形
C．用平面截一个圆柱，截面不可能是正方形 D．绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体
2.下面是乐乐在整理七年级上册课本的知识点时得出的一些结论，①射线 与射线 是同一条射线；②连接两点间的线段叫做这两点间的距离；③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理依据是两点确定一条直线；④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间直线最短⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成了个三角形，你认为正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
4．如图，你能数出多少个不同的四边形？
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列图形是正多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3.边形所有对角线的条数有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．条
4.要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5.个六边形、个五边形共有 条边．
6.从多边形的一个顶点出发引对角线，这些对角线把这个多边形分割成了5个三角形，则这个多边形是 边形，共有对角线 条．
7.三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
8．若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值．
9．已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值．
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