天津市南开中学2024届高三下学期第四次月检测数学试卷（含答案）

南开中学2024届高三第四次月检测
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.
第Ｉ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设全集，集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 若，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5. 某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
图中的值为0.020．
同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为81.5．
估计样本数据的75%分位数为88．
（D）由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异(80分及以上)的人数约为7200人．
6. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为
（B） （C） （D）
7. 已知等比数列的前项和为.
在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
（A） 240 （B） 360 （C） 480 （D） 560
8. 抛物线上的点到其焦点的距离是到y轴距离的2倍，过双曲线的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，3，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9. 已知函数，则下列结论中正确个数为（ ）
①著对于任意，都有成立，则;
②若对于任意，都有成立，则;
③当时，在上单调递增，则的取值范围为;
④当时，若对任意的，函数在至少有两个零点，则的取值范围为.
（A） 1个 （B）2个 （C） 3个 （D）4个
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，共30分）．
10. 设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则____.
11. 的展开式中常数项为__________.
12. 直线与圆交两点，若为等边三角形，则的值为______．
13 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为___________.
14. 在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为__________；的最大值为__________.
15. ，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分14分）
已知分别是的内角的对边，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若，的面积为，求的周长.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．
17.（本小题满分15分）
如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆，若椭圆的焦距为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆方程；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分15分）
已知数列满足：，正项数列满足：，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）已知，求：；
（3）求证：.
20. （本小题满分16分）
已知函数．（注：是自然对数的底数）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
　　①求实数的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
四月考参考答案：
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
选项 B A B C D D A A C
填空题
10. 11. 12. 13.
14. 15.
解答题
16. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）因为，，所以，
所以，
由余弦定理可得，，
又因为，所以
解可得，，所以的周长为10
（Ⅲ）因为，，所以由于，．
所以．
17. （1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，所以，
又因为平面，所以∥平面；
（2）由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）假设边上存在点满足条件，，
则，设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
18. 【答案】（1）；
（2）面积的最大值为，此时直线的方程为或；
（3）存在，，理由见解析.
【解析】（1）由题意得，解得，
将代入椭圆方程，得到，
又因为，消元得：，
所以，，
故椭圆方程为；
（2）当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为，此时直线的方程为或；
（3）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：因为，所以，即，
整理得，
即，
所以，
则，解得，
故在x轴上存在点，使得恒成立.
19. 【答案】（1），；
（3）证明见解析.
【解析】
（1）由题意知，为等差数列，设公差为d，为等比数列，设公比为q，
又，，，∴，∴，.
∴，，∴.
（2）由，
∴.
（3）
.
20. 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析
【解析】（1）当时，， ，
切线的斜率，又，所以切点为，
所以，切线方程为
（2）①函数，，
（ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增，
又，，所以在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是．
②.由①知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以时，，则，
又因为，所以在上有唯一零点，
即在上有唯一零点．
因为，
由①知，所以，
则
，
设，，
则，
，，所以
在为单调递增，又，所以，
又时，，所以．
所以．
由前面讨论知，，在单调递增，
所以．