数学（北师大版）必修一教学设计：2-4-2二次函数的性质

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教学设计
4．2　二次函数的性质
教学分析　　　　　
在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合．本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a＞0时函数的单调性进行了证明．与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度．可以而且应该适度综合，适度抽象．高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分．对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜．程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做．对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试．21·世纪*教育网
解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是 ( http: / / www.21cnjy.com )引起学生思考的重要方法．有些例题，如例3，意在联系实际．但是，编者眼界有限．教师，可以而且应该具有这种意识，自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题．21*cnjy*com
值得注意的是课上注意组织学生动手，活动，实践．教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”．教师，要创造性地用好它们．
三维目标　　　　　
对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：二次函数的性质．
教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.上一节课，我们学习了二次函数的图像，本节课我们来学习二次函数的性质．
思路2.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人 ( http: / / www.21cnjy.com )们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题．
推进新课　　　　　
①画出y＝2x2－4x－3的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
②画出y＝－x2＋4x＋5的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
③讨论二次函数f x ＝ax2＋bx＋c a≠0 图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
活动：学生回顾画二次函数图像的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义．
讨论结果：①y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，其图像如图1所示．
图1
观察图像得：开口向上；顶点A(1，－5)； ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴直线x＝1；在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的；当x＝1时，函数取得最小值－5.
②y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，其图像如图2所示．
图2
观察图像得：开口向下；顶点A(2,9)；对称轴直线x＝2；在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的；当x＝2时，函数取得最大值9.
③对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝a2＋.
(1)当a＞0时，其图像如图3所示．
图3
由图像得：
当a＞0时，它的图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为x＝－；f(x)在上是减少的，在上是增加的；当x＝－时，函数取得最小值.21教育名师原创作品
(2)当a＜0时，其图像如图4所示．
图4
由图像得：
当a＜0时，它的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝－；f(x)在上是增加的，在上是减少的；当x＝－时，函数取得最大值.
下面证明当a＞0时，函数f(x)在上是减少的，在上是增加的．
证明：设a＞0，任取x1、x2，且x1＜x2≤－，则
f(x2)－f(x1)＝(ax＋bx2＋c)－(ax＋bx1＋c)
＝a(x－x)＋b(x2－x1)
＝[a(x2＋x1)＋b](x2－x1)．
因为x1＜－，x2≤－，所以x1＋x2＜－，
即a(x1＋x2)＜－b.
也就是a(x1＋x2)＋b＜0.
又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＜0，
即f(x2)＜f(x1)．
由函数单调性的定义，f(x)在上是减少的．
同理可证，f(x)在上是增加的．
显然，将f(x)＝ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c配方成f(x)＝a2＋之后，我们就可以通过a，－和直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图像．
思路1
例1 将函数y＝－3x2－6x＋1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
活动：学生回顾思考如何由二次函数的解析式讨论其性质．
解：y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4.
由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下；
图5
顶点坐标为(－1,4)；
对称轴为x＋1＝0(或x＝－1)；
函数在区间(－∞，－1]上是增加的，在区间[－1，＋∞)上是减少的；
函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4.
采用描点画图，选顶点A(－1,4)，与x轴的交点B和C，与y轴的交点D(0,1)，再任取点E(－2,1)，过这5个点画出图像，如图5.
点评：从这个例题中可以看出，根据配方后得到的性质画函数图像，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图的操作更简便，使图像更精确．
本题主要考查二次函数的图像与性质．
变式训练
1．函数y＝－x2＋4x的单调递增区间是(　　)．
A．[－2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
解析：函数y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，则对称轴是x＝2，所以当x≤2时，是增函数．
答案：D
2．函数f(x)＝x2－2x－3在[－2,4]上的最大值和最小值分别为(　　)．
A．5，－4 B．3，－7
C．无最大值和最小值 D．7，－4
解析：画出二次函数f(x)＝x2－2x－3在[－2,4]上的图像，可得最大值为5，最小值为－4.
答案：A
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当 ( http: / / www.21cnjy.com )x∈[－2，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时函数f(x)为减函数，则m等于(　　)．21cnjy.com
A．－4 B．－8
C．8 D．无法确定
解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x＝－2，则＝－2，所以m＝－8.www-2-1-cnjy-com
答案：B
例2 绿缘商店每月按出厂价每瓶3 ( http: / / www.21cnjy.com )元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？2-1-c-n-j-y
活动：学生仔细审题，读懂题意，教师可以提示解决应用题的关键是建立数学模型．
解：设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为×40＋400即400(9－2x)瓶．
此时所得的利润为f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)．
根据函数性质，当x＝时，f(x)取得最大值450.
这时进货量为400(9－2x)＝400×＝600(瓶)．
获得最大利润为450元．
点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.
变式训练
渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保 ( http: / / www.21cnjy.com )证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量可达到最大值时，求k所应满足的条件．
分析：本题解题的关键是理解题意，并将其转化为常规的数学问题——二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题．【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)由题意，知空闲率为1－，∴y＝kx(0＜x＜m)．
(2)y＝－x2＋kx＝－2＋，
∵－＜0且0＜x＜m，∴当x＝时，ymax＝.
(3)∵当x＝时，ymax＝，又实际养殖量不能达到最大养殖量，
∴此时，需要＋＜m，解得k＜2.
又∵k＞0，
∴0＜k＜2.
思路2
例1 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3.
(1)画出f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间；
(3)利用定义证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；
(4)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
分析：(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x1＜x2，然后作差f(x1)－f(x2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(－∞，m]的相对位置．
图6
解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像如图6所示.
(2)由函数f(x)的图像得，在直线x＝1的 ( http: / / www.21cnjy.com )左侧图像是上升的，在直线x＝1的右侧图像是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是(1，＋∞)．
(3)设x1，x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1＋3)－(－x＋2x2＋3)
＝(x－x)＋2(x1－x2)
＝(x1－x2)(2－x1－x2)．
∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.
∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．
(4)函数f(x)＝－x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．
点评：本题主要考查二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的图像、函数的单调性及其综合应用．讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决．
变式训练
如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是减函数，那么f(2)的取值范围是(　　)．
A．(－∞，7]　　　　　　　　 B．(－∞，7)
C．(7，＋∞) D．[7，＋∞)
解析：本题主要考查二次函数的单调性．二次函数f(x)在区间上是减函数，由于图像开口向上，
∴对称轴≥.
∴a≥2.故f(2)＝22－2(a－1)＋5＝11－2a≤7.
答案：A
例2 某军工企业生产一种精密电子仪器 ( http: / / www.21cnjy.com )的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝　其中x是仪器的月产量．21世纪教育网版权所有
(1)将利润表示为月产量的函数．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分析：(1)利润＝总收益－总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值．【版权所有：21教育】
解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
又f(x)＜60 000－100×400＜25 000，
所以，当x＝300时，有最大值25 000.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．
点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力．二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．
变式训练
某工厂生产某种产品的固定成本为200万 ( http: / / www.21cnjy.com )元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________．(总利润＝总收入－成本)
解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
答案：250　300
1．已知函数f(x)＝ax2＋2(a－2)x＋a－4.当x∈(－1,1)时，恒有f(x)＜0，则a的取值范围为(　　)．
A．a≤2　　　　B．a＜2　　　　C．0＜a＜2　　　　D．a＜2且a≠0
解析：思路1：当a＝0时，f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝－4x－4，则此时f(x)是减函数，且f(－1)＝0，则当x∈(－1,1)时，恒有f(x)＜f(－1)＝0，即a＝0符合题意，排除C，D；当a＝2时，f(x)＝2x2－2，由于x∈(－1,1)，则有f(x)＝2x2－2＜f(－1)＝f(1)＝0，即a＝2符合题意，排除B；故选A.
思路2：当x∈(－1,1)时，有x2＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1＝(x＋1)2＞0，又f(x)＝(x2＋2x＋1)a－4(x＋1)，则恒有(x2＋2x＋1)a－4(x＋1)＜0，即a＜＝恒成立，又x∈(－1,1)，则＞2，则只需a≤2即可．
答案：A
2．若函数f(x)＝(a－2)x2＋2x－4的图像恒在x轴下方，则a的取值范围是__________．
解析：由题意得解得a＜.
答案：
3．二次函数f(x)＝x2＋ax，对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝__________.
解析：∵对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴函数f(x)的对称轴是x＝＝1，则有－＝1，
∴a＝－2.
答案：－2
4．函数y＝x2＋2(m－1)x＋3在区间(－∞，－2]上是减函数，则m的取值范围是(　　)．
A．m≤3 B．m≥3 C．m≤－3 D．m≥－321世纪教育网
解析：结合二次函数的图像来分析．二次函数y＝x2＋2(m－1)x＋3的对称轴x＝－(m－1)＝1－m.2·1·c·n·j·y
∵1＞0，∴开口向上，在(－∞，－2]上递减，需满足对称轴x＝1－m在区间(－∞，－2]的右侧，则－2≤1－m，∴m≤3.
答案：A
5．已知f(x)＝x2－2x＋3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
答案：[1,2]
6．设f(x)＝x2－2ax＋2.当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，
当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，
即3＋2a≥aa≥－3.
故此时－3≤a≤－1.
当a＞－1时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋2＝2－a2，
当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，
即2－a2≥aa2＋a－2≤0－2≤a≤1.
故此时－1＜a≤1.
综上所得，实数a的取值范围是－3≤a≤1.
7．已知f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，
(1)求f(x)的最小值g(t)的解析式；
(2)求g(t)的最小值．
分析：(1)易得函数的对称轴为x＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )，之后分对称轴在区间[t，t＋1]左、内、右分段得出最小值的解析式．(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，
∴f(x)的对称轴是直线x＝2.
当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；
当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．21世纪教育网
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1)上随x增大f(x)增大．
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可得g(t)＝　
(2)当t＜1时，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8；
当1≤t≤2时，g(t)＝－8；
当t＞2时，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8；
则g(t)的最小值是－8.
8．通过研究学生的学习行为，专家发现， ( http: / / www.21cnjy.com )学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析，得知f(t)＝　
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
分析：(1)转化为求函数f(t ( http: / / www.21cnjy.com ))的最大值；(2)比较f(5)，f(25)的大小；(3)结合函数f(t)的图像，求当f(t)≥180时，时间t的取值范围．
解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(10)＝240.
当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(20)＝240，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
(2)由题意得
f(5)＝－52＋24×5＋100＝195，
f(25)＝－7×25＋380＝205，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
(3)函数f(t)的图像与y＝180交于两点，
当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，当20＜t≤40时，
令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
由(1)函数f(t)的单调性，知4＜t＜28.57，
则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4＝24.57＞24，
所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋2，当－1≤a≤0时，恒有f(x)＞0成立，试求x的取值范围．
分析：本题如果按二次函数问题来解决会陷入繁杂的计算，当看成关于a的函数时，问题简便获解．
解：设h(a)＝ax2＋2(a＋1)x＋2＝(x2＋2x)a＋(2＋2x)，
当x2＋2x＝0时 ，即x＝0或x＝－2，
若x＝0时，f(0)＝2＞0，即x＝0符合题意；
若x＝－2时，f(－2)＝－2＜0，即x＝－2不合题意；
当x2＋2x≠0时，函数h(a)＝(x2＋2x)a＋(2＋2x)是一次函数，
又一次函数h(a)是单调函数，当－1≤a≤0时， 恒有h(a)＞0成立，
所以有即
解得－1＜x＜0或0＜x＜.
综上所得，x的取值范围是(－1，)．
10．如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：
(1)f(x)在D上是单调函数；
(2)存在闭区间[a，b] D，使f(x)在区间[a，b]的值域也是[a，b]．
那么就称函数y＝f(x)为闭函数．
试判断函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]，如果不是闭函数，请说明理由．www.21-cn-jy.com
分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活 ( http: / / www.21cnjy.com )，体现了考查能力和素质的要求．闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题．先证明函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是增函数．然后用反证法判断函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是否为闭函数．
解：设－1≤x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(x＋2x1)－(x＋2x2)
＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－2)．
∵－1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2－2＞0.
∴(x1－x2)(x1＋x2－2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是增函数．
假设存在符合条件的区间[a，b]，则有
即
解得或或或
又∵－1≤a＜b，∴
∴函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是闭函数， 符合条件的区间是[－1,0]．
问题：怎样求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值？
探究：求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)，总是一错再错．其突破方法是结合二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的图像，依据函数的单调性求出．我们知道，①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．因此二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最值问题转化为判断其单调性．21·cn·jy·com
例如：求函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值．
思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出．
图721世纪教育网
解：画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图像，如图7所示，
观察图像得，函数f(x)＝x2－2x在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )[－2,1]上是减函数，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函数f(x)＝x2－2x在区间(1,3]上是增函数，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；
则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.
因此可见，求二次函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x＝－的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值．
可以利用同样方法归纳出结论：
若a＞0，则
(1)当－≤p，即对称轴在区间[p， ( http: / / www.21cnjy.com )q]的左边时，画出草图如图8(1)，从图像上易得f(x)在[p，q]上是增函数，则f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)；21世纪教育网
(2)当p＜－＝，即对称轴在区间[ ( http: / / www.21cnjy.com )p，q]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图8(2)，从图像上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是
f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(q)；
图8
(3)当＜－≤q，即对称轴在区间[p ( http: / / www.21cnjy.com )，q]的中点与右端点之间时，画出草图如图8(3)．从图像上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(p)；
(4)当－＞q，即对称轴在区间[p，q]的右边时，画出草图如图8(4)，从图像上易得f(x)在[p，q]上是减函数，则f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)．【出处：21教育名师】
对a＜0的情况，可类似得出．
即二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值：
设f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，x0＝(p＋q)．结合图像，得
当a＞0时，若－＜p，则f(p)＝m，f(q)＝M；
若p≤－＜x0，则f＝m，f(q)＝M；
若x0≤－＜q，则f(p)＝M，f＝m；
若－≥q，则f(p)＝M，f(q)＝m.
当a＜0时，若－＜p，则f(p)＝M，f(q)＝m；
若p≤－＜x0，则f＝M，f(q)＝m；
若x0≤－＜q，则f(p)＝m，f＝M；
若－≥q，则f(p)＝m，f(q)＝M.
本节我们学习了：
(1)二次函数的性质；
(2)解决二次函数的实际应用问题．
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习题2—4　A组5,6,7.
本节教学设计注重了用图像探索出二次函数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )(如单调性)，再用定义证明其正确性．这样体现了由感性认识，再上升到理性认识，符合学生的认知规律．并且拓展了教材的内容，以便适应高考的要求．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质总结
1．解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有的二次函数的解析式均有零点式，只是图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．【来源：21·世纪·教育·网】
2．图像
(1)形状是抛物线．其特征是：对于二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；对称轴是直线x＝－；顶点；
当Δ＝b2－4ac＞0时，与x轴有两个交点，当Δ＝b2－4ac＝0时，与x轴有一个交点，当Δ＝b2－4ac＜0时，与x轴没有交点．　　21*cnjy*com
(2)画抛物线时，重点体现抛物线的特征 ( http: / / www.21cnjy.com )：先确定“三点一线一开口”即顶点和与x轴交点，对称轴这条直线，开口方向．再根据这些特征在坐标系中简单画出抛物线的草图．
3．性质
(1)定义域：R.
(2)值域：当a＞0时，为，当a＜0时，为.
(3)单调性：当a＞0时，单调递减区间是，单调递增区间是；
当a＜0时，单调递减区间是，单调递增区间是.
(4)最值：当a＞0时，有最小值f，没有最大值；
当a＜0时，有最大值f，没有最小值．
(5)f(0)＝c.
4．常见结论：
(1)当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋x2＝－；
(2)当二次函数f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时，则有m＝－；
当a＞0时，二次函数f(x)在(－∞，m ( http: / / www.21cnjy.com )]上为减函数，则有m≤－，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有m≥－；当a＜0时，二次函数f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有m≤－，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有m≥－；21教育网
(3)二次函数f(x)＝ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的关系：二次函数f(x)的图像与x轴交点的个数等于方程f(x)＝0的实数根的个数，并且当二次函数f(x)的图像与x轴有交点时，其交点的横坐标是方程f(x)＝0的实数根．
(设计者　赵冠明)
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