数学（北师大版）必修一教学设计：3-1正整数指数函数

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教学设计
§1　正整数指数函数
教学分析　　　　　
正整数函数的引入有两个基础，一是第二章函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的概念，“函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集上的映射”，因而我们可以建立一个正整数集到正整数集上的映射——正整数指数函数；二是学生已有这方面的大量生活体验，他们熟悉的增长问题、复利问题、质量浓度问题都可归结为正整数指数函数．21·cn·jy·com
正整数指数函数通过两个实际问题“细胞分裂”和“氟化物的释放”给出，这样说明指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受和培养应用数学的意识．
正整数指数函数的概念为以后学习的“指数函数”及“数列”作准备，本节的作用只是把学生熟悉的问题同函数观点整理提高，通过实例理解认识，不必过于展开．
三维目标　　　　　
1．了解正整数指数函数的概念，能画出一些简单正整数指数函数的图像，并了解它们的图形特征．
2．了解正整数指数函数在我们实际生活中的应用．
3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想、化归与转化能力的培养．
重点难点　　　　　
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征．
教学难点：正整数指数函数图像的特征．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　[来源:21世纪教育网]
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为2%，到2008年底人口将达到多少亿？(取1.0216＝1.37)21世纪教育网版权所有
为解决这个问题，我们必须建立相应问题的数学 ( http: / / www.21cnjy.com )模型、函数关系，设年数为x，人口数为y，则y＝54.8(1＋2%)x，其中x∈N＋，我们给y＝(1＋2%)x起个名字(x∈N＋)为正整数指数函数引出本节课题．www.21-cn-jy.com
推进新课　　　　　
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问题1.某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……一直分裂下去．
①列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数；
②用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
③写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15,20次得到的细胞个数．
2．根据上述的关系式，归纳一般的函数关系式，并指出其定义域．
活动：问题是常见的细胞分裂问题，利用解决问题的一般思路，顺理成章．①把题目的含义读出来，列举写出；②列表法，描点、画出函数的图像，要注意观察图像的特点；③归纳出y与n之间的关系用函数模型表示出来，再计算得到的细胞个数，注意归纳法的应用．
讨论结果：1.①利用正整数指数幂的运算法则可以算出，如下表：
分裂次数(n) 1 2 3 4[来源:21世纪教育网] 5 6 7 8
细胞个数(y) 2 421世纪教育网 8 16 32 64 128 256
②根据上表可得到如下图像(图1)：
图1
③根据题意可得细胞分裂次数n与细胞个数y之间的关系式为y＝2n(n∈N＋)，用科学计算器计算得215＝32 768,220＝1 048 576.【来源：21·世纪·教育·网】
那么细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32 768个和1 048 576个．
2．对于y＝2n(n∈N＋)，我们用更一般的式子来表示，用a取代2(a＞0)，用x取代n(x∈N＋)，则上式可以表示为y＝ax(a＞0且a≠1，x∈N＋)，我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为x∈N＋，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数．21·世纪*教育网
特别指出的是y＝ax有如下特点：
①x是自变量，定义域是正整数集N＋，x在指数上．
②当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减的函数．
③规定底数大于0且不等于1.
思路1
例1 判断下列函数是否为正整数指数函数：
(1)y＝3x(x∈N＋)；
(2)y＝3－x(x∈N＋)；
(3)y＝2×3x(x∈N＋)；
(4)y＝x3(x∈N＋)．
活动：学生审题，教师指导，要判断一个函数是否是正整数指数函数，要紧扣正整数指数函数的特点，即ax的系数为1，x∈N＋，a是大于0且不为1的常数，掌握了这些特点，不难判断．2·1·c·n·j·y
解：(1)y＝3x(x∈N＋)，符合定义，是正整数指数函数．
(2)y＝3－x(x∈N＋)，由于y＝3－x＝x，所以它也是正整数指数函数．
(3)y＝2×3x，不符合定义特点，所以不是．
(4)y＝x3，不符合定义特点，所以也不是．
点评：紧扣正整数指数函数的特点是判断的关键．
例2 下列给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为(　　)．
A．y＝1.2x(x∈N＋)　　　　　　　 B．y＝3x(x∈N＋)
C．y＝0.999x(x∈N＋) D．y＝πx(x∈N＋)
活动：学生读题，然后思考或讨论，教师引导学生回忆正整数指数函数的性质，紧扣性质解题．
由于1.2＞1,3＞1，π＞1,0.999＜1，所以选C.
答案： C
思路2
例1 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上 ( http: / / www.21cnjy.com )层的臭氧层．臭氧含量Q近似满足关系式Q＝Q0·0.997 5t，其中Q0是臭氧的初始量，t是时间(年)．这里设Q0＝1.
(1)计算经过20,40,60,80,100年，臭氧含量Q；
(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少．
活动：学生思考或交流，依次用计算器算出臭氧含量Q，教师适时点拨指导．
解：(1)使用科学计算器可算得，经过20,40,60,80,100年后，臭氧含量Q分别是：
0．997 520＝0.951 2，
0．997 540＝0.904 7，
0．997 560＝0.860 5，
0．997 580＝0.818 5，
0．997 5100＝0.778 6.
(2)图2表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像也是由一些孤立的点组成．
图2
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭氧的含量在逐渐減少．
点评：注意实际问题的图像与数学模型的图像的差别，要深刻体会．
2某地现有森林面积为1 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00 hm2，每年增长5%，经过x(x∈N＋)年，森林面积为y hm2，写出x，y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．21教育网
解：y与x之间的函数关系式为y＝1 000(1＋5%)x(x∈N＋)，
经过5年，森林的面积为1 000(1＋5%)5＝1 276.28(hm2)．
本节练习
让学生从报纸、杂志中或上网搜集有关正整数指数函数的实例，并进行交流，把体会写成一个论文的形式上交．
1．正整数指数函数的概念．
2．正整数指数函数的图像特征．21世纪教育网
习题3—1　1,2,3.
正整数指数函数的概念是在前面学习的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的基础上，结合具体实例引入的，比较贴近实际，因此通过实例模型引导学生，指出其定义域，很多问题如人口问题、森林问题、细胞分裂问题等都与正整数指数函数有关，因此，要反复学习，深刻体会，为下一步学习打下良好的基础．21cnjy.com
[备用习题]
抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(　　)．
A．6次　　　　　　B．7次　　　　　　C．8次　　　　　　D．9次
解析：设至少要抽x次，则(1－60%)x＜.
解得x＞7，即最少要抽8次．
答案：C
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