杭州学军中学2023学年第一学期期末考试
高二数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由条件求得，即可计算复数模.
【详解】∵，，∴，，
∴.
故选：C.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求函数的定义域得出集合，求函数的值域得出集合，再求出即可.
【详解】,,
所以.
故选：A.
3. 小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A. 小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C. 小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 丙次购买葡萄的平均价格无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.
【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，
则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．
因为，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：A.
4. 已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设切点为，利用导数的几何意义得到，从而得到直线方程为，再将切点代入直线求解即可.
【详解】设切点为，，则，
所以直线方程为.
又因为在直线上，所以，解得.
所以.
故选：C
5. 已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.
【详解】由向量，，
若与共线，则，所以，
则，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D.
6. 已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，公比为q，前n项和为，
若，即，则，即数列是单调递增数列；
若数列是单调递增数列，则，所以；
所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件.
故选：C.
7. 在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，
令球心为，因为，且，所以，
又因为，所以，
在直角三角形中，，即，解得，
则三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
8. 设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可.
【详解】抛物线，则焦点，准线，
最小时，即最小，根据抛物线的定义，，
所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，
最小，且最小值为，解得.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 下列表述正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质判断ABC，利用作差法判断D即可.
【详解】A：由，得，
若，，得，则，即；
若，，得，则不成立，故A错误；
B：若，则，故B正确；
C：由，，得，
则，所以，即，故C正确；
D：若，则，
所以，即，故D正确.
故选：BCD
10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面
C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项当与重合时，用线面平行可得出，进而可得；B选项证明平面即可得出；选项C由正方体的性质和画图直接得出；选项D由余弦定理确定，之后求距离即可.
【详解】A：
当与重合时，由题可知，，
四边形平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确；
B：
连接，平面，平面，，
又，
故，
又平面，平面，
又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；
C：
由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误；
D：
由正方体的特征可得，
，
所以点到直线的距离，故D正确；
故选：ABD.
12. 设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 的图象关于对称 D. 函数为周期函数，且周期为4
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.
【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，
令，则，所以，故A正确；
D：因为，所以，
用代替原来的得，①
又为偶函数，所以，
用代替原来的得：，②
由①②得，③
又，用代替原来的得：，④
由③④联立得：，⑤
用代替原来的得：，⑥
⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，
用代替原来的得：，⑦
因为，用代替原来的得：，⑧
因为，用代替原来的得：，⑨
由⑦⑧⑨得：，
用代替原来的得：，
所以为周期函数，且周期为，故D错误；
B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；
C：由，则，即，
又，则，即，故C正确；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.
【答案】
【解析】
【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.
【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，，
又，
所以样本数据的下四分位数为，
故答案为：.
14. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为，得且，则是以1为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算即可求解.
【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为，则，
又每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，
所以，所以，由，解得.
故答案为：10
15. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知，点为椭圆的左焦点，
因为点、，易知点为线段的中点，
又因为为的中点，所以，，
取线段的中点，连接，则，所以，，
所以，，故，
设点、，则点，
所以，，两个等式作差可得，可得，
所以，，
所以，椭圆的离心率为.
故答案为：.
16. 已知数列满足，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】用累乘法，结合余弦函数周期性求解.
【详解】因为的最小正周期为，且余，
由已知可得，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 记内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若的周长为20，面积为，求边c．
【答案】17. 18. 7
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解.
【小问1详解】
，
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得；
【小问2详解】
由（1），得，则，
由余弦定理，得，即，
得.又，
所以，即，
即，解得.
18. 已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．
（1）若，求P的坐标；
（2）若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积.
【小问1详解】
因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，，
由消去x得，，
所以，，，
由，得，
解得，满足，所以直线方程为，
令得，即P的坐标.
【小问2详解】
由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，
由消去x得，，
所以，，，
所以，解得，
点到直线的距离为，
所以,
故的面积为.
19. 设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
故函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则在上恒成立，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
20. 设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的性质求得，结合已知化简得，解得或，利用对数运算求得，即可求得通项公式；
（2）利用等差数列的性质及对数运算得或，分类讨论建立方程求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，解得，所以，
又，所以，
整理化简得，解得或，
所以或，又，所以或（舍去），所以，
所以.
【小问2详解】
因为为等差数列，所以，
即，解得或，所以或，
所以或，
①当时，，易知是等差数列，
所以，，
又，所以，所以，解得；
②当时，，易知是等差数列，
所以，，
又，所以，解得，舍去；
综上，.
21. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】21. 证明见解析
22.
23.
【解析】
【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
证明：过作直线于，连接.
由题知，
，即，
又平面,平面，
又平面，
，即
【小问2详解】
方法一：平面平面，平面平面，
平面平面.
以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正
方向建立空间直角坐标系，如图，则.
平面.
为中点，由题知
设，
，
，
又在中，，
所以.
方法二：平面.设，由知，.
平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，又，
平面.
【小问3详解】
由（2）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则令则，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
22. 己知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明是定值；
（3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在；
【解析】
【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；
（2）设出两点坐标，表示出斜率，并设出直线方程与椭圆联立，消去，表示出韦达定理，代入的表达式中化简即可；
（3）解方程组分别求出直线的交点坐标，再求出到直线的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用代入化简即可.
【小问1详解】
因为椭圆过点，焦距为，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
证明：设，
直线的斜率一定存在，设为，
则，消去得到，，
，
，
故是定值.
【小问3详解】
设存实数，使恒成立，
由，，
设到直线的距离为，到直线的距离为，
则，①
因为，所以，②
把①代入②并化简可得，
由上问可知，代入上式可得，
所以.
【点睛】关键点点睛：
①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；
②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式；
③解决三角形面积关系时先用坐标表示出三角形面积，再利用韦达定理化简.杭州学军中学2023学年第一学期期末考试
高二数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A. 小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C. 小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 丙次购买葡萄的平均价格无法比较
4. 已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 下列表述正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面
C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4
12. 设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 的图象关于对称 D. 函数为周期函数，且周期为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.
14. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．
15. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.
16. 已知数列满足，若，则_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若周长为20，面积为，求边c．
18. 已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．
（1）若，求P的坐标；
（2）若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．
19. 设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．
20. 设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
21. 如图，三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若平面，求值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
22. 己知椭圆过点，焦距．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明是定值；
（3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
