第十章 10.1 10.1.1、2
A级——基础过关练
1．(2023年天水月考)下面四个选项中，是随机现象的是( )
A．刻舟求剑 B．水中捞月
C．流水不腐 D．守株待兔
2．若颜色分别为红、黑、白的三个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件 D．必然事件
3．(2023年上海月考)在下列各事件中，发生可能性最大的是( )
A．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上
B．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2
C．有1 000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖
D．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球
4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
5．(2023年西安期末)某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是( )
A．甲、乙恰有一人中奖 B．甲、乙都没中奖
C．甲、乙至少有一人中奖 D．甲、乙至多有一人中奖
6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，设事件A＝{恰有一件次品}，事件B＝{至少有两件次品}，事件C＝{至少有一件次品}，事件D＝{至多有一件次品}．下列选项正确的有( )
A．A∪B＝C B．B∪D是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
8．(2023年桂林期末)下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次．其中随机事件的序号为__________．
9．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有__________种．
10．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω．
(2)用集合表示事件A、事件B．
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
B级——能力提升练
11．(2023年大英期末)掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数是3的倍数，事件D：落地时向上的点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为( )
A．A与B B．B与C
C．A与D D．C与D
是4”不可能同时发生，∴C∩D＝ ，事件C与事件D互斥，故D错误．故选B．
12．(多选)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的有( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
13．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为__________．
14．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”，则A∪B∪C表示的含义为______________，∩∩表示的含义为______________．
15．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
答案
1【答案】D
【解析】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象．故选D．
2【答案】C
【解析】由于三个人都可以持有红球，故事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能是对立事件，又事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．故选C．
3【答案】A
【解析】对于A，抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上的概率为；对于B，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2的概率为；对于C，有1 000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率为；对于D，一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球的概率为，则可能性最大的是A．故选A．
4【答案】C
【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C．
5【答案】D
【解析】甲、乙两名同学都购买这种饮料，则样本空间Ω＝{(甲中，乙中)，(甲中，乙不中)，(甲不中，乙中)，(甲不中，乙不中)}，由对立事件的定义可知，若A＝“甲、乙都中奖”，则A＝“甲、乙至多有一人中奖”，即D正确．故选D．
6【答案】C
【解析】该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以试验的样本点共有3个．
7【答案】AB
【解析】∵事件C：至少有1件次品 恰有1件次品和至少有2件次品，∴A∪B＝C，故A正确；∵事件B：至少有2件次品，事件D：至多有1件次品，∴B与D为对立事件，∴B∪D是必然事件，故B正确；∵A∩B＝ ，故C错误；∵A∩D＝A，故D错误．故选AB．
8【答案】③④
【解析】对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误；对于②，方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误；对于③，下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确；对于④，收到观众信息回复次数大于30次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确．
9【答案】36
【解析】将这个试验的所有结果一一列举出来为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．
10解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
11【答案】B
【解析】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生，∴A∩B＝ ，事件A与事件B互斥，故A错误；对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是3的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是6”，∴B∩C＝“落地时向上的点数是6”，事件B与事件C不是互斥事件，故B正确；对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是4”不可能同时发生，∴A∩D＝ ，事件A与事件D互斥，故C错误；对于D，“落地时向上的点数是3的倍数”与“落地时向上的点数
112【答案】BCD
【解析】对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件；对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件；对于C，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件；对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．故选BCD．
13【答案】4
【解析】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数．
14【答案】电路工作正常 电路工作不正常
15解：(1)是互斥事件．
理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，它与“全是男生”可能同时发生．
(4)是互斥事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．第十章 10.1 10.1.3
A级——基础过关练
1．(多选)下列是古典概型的有( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )
A． B．
C． D．
3．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为( )
A． B．
C． D．
4．(2023年广安模拟)四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地．乐山沫若中学高二(7)班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《凤凰涅槃》恰好被选中的概率为( )
A． B．
C． D．
5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为( )
A． B．
C． D．
6．(2022年湘潭模拟)如右图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )
A． B．
C． D．
7．(2022年重庆期末)投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A． B．
C． D．
8．某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为__________．
9．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为__________．
10．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
(1)2只球都是红球的概率；
(2)2只球同色的概率；
B级——能力提升练
11．有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3，5，第三组有3个数为7，9，11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
12．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是( )
A． B．
C． D．1
13．已知集合A＝，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为__________．
14．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是__________．
15．某校对2023年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50，70)和[70，90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70)内的概率．
答案
1【答案】ABD
【解析】A，B，D为古典概型，因为都符合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．
2【答案】A
【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率p＝＝．故选A．
3【答案】B
【解析】因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，满足a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为＝．故选B．
4【答案】B
【解析】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为a，b，c，d，e，从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个结果，《凤凰涅槃》恰好被选中的事件A含有的基本事件：ab，bc，bd，be，共4个结果，所以《凤凰涅槃》恰好被选中的概率P(A)＝＝．故选B．
5【答案】B
【解析】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝＝．故选B．
6【答案】B
【解析】若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6．从1，2，3，4，5中任取两个数字的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10个样本点，而其中数字之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，共2个，所以所求概率为．故选B．
7【答案】C
【解析】连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个基本事件，则P(A)＝＝．
8【答案】
【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率p＝1－＝．
9【答案】
【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为＝．
(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
10解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2．
从中随机取2只球的所有结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种结果．
(1)2只球都是红球为(b1，b2)，共1种，
故2只球都是红球的概率p1＝．
(2)2只球同色的为(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3种，
故2只球同色的概率p2＝＝．
(3)恰有1只是白球为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8种，其概率p3＝；
2只球都是白球为(a1，a2)，共1种，故概率p4＝．
所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．
11【答案】B
【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为3的倍数的数为93，99，105．故所求概率p＝．故选B．
12【答案】A
【解析】由题意，可得样本点的总数为n＝4，又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率p＝．故选A．
13【答案】
【解析】集合A＝，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，∴所求概率p＝＝＝．
14【答案】
【解析】事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5(个)，所以根据古典概型的概率公式得到概率是．
15解：(1)由(0.005 0＋0.005 0＋0.007 5＋0.020 0＋a＋0.002 5)×20＝1，解得a＝0.01．
数学成绩在[30，50)的频率为0.005 0×20＝0.1，在[50，70)的频率为0.005 0×20＝0.1，在[70，90)的频率为0.007 5×20＝0.15，在[90，110)的频率为0.020 0×20＝0.4，在[110，130)的频率为0.010 0×20＝0.2，在[130，150]的频率为0.002 5×20＝0.05，
故样本均值为40×0.1＋60×0.1＋80×0.15＋100×0.4＋120×0.2＋140×0.05＝93，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩为93分．
(2)由题意，得[50，70)分数段的人数为100×0.1＝10，[70，90)分数段的人数为100×0.15＝15，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在[50，70)内抽取2人，分别记为A1，A2，[70，90)分数段内抽取3人，分别记为B1，B2，B3．
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，70)内”为事件A，
则样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3}，共包含10个样本点，
而A的对立事件＝{B1B2，B1B3，B2B3}，包含3个样本点，
所以P(A)＝1－P()＝1－＝．
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70)内的概率为．第十章 10.1 10.1.4
A级——基础过关练
1．(多选)下列说法正确的有( )
A．必然事件的概率为1
B．不可能事件的概率为0
C．若事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
D．若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14 B．0.20
C．0.40 D．0.60
4．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为，从盒中取出2个球都是黄球的概率是，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
A． B．
C． D．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝( )
A． B．
C． D．1
6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
7．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A． B．
C． D．
8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)若B A，则P(A∪B)＝__________；
(2)若A，B互斥，则P(A∪B)＝__________．
9．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入/元 [1 000，1 500) [1 500，2 000) [2 000，2 500) [2 500，3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000，3 000)内的概率为0.67，则月收入在[1 500，3 000)内的概率为__________．
10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
B级——能力提升练
11．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．(多选)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，则( )
A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为是
C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为
13．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目．其中，选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一题．甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是__________；甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是__________．
14．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为__________．
15．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
答案
1【答案】ABCD
【解析】由概率的性质知A，B，C，D全对．
2【答案】A
【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40．故选A．
3【答案】A
【解析】由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14．故选A．
4【答案】A
【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A，“从中取出2个球都是黄球”为事件B，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．故选A．
5【答案】C
【解析】(方法一)A包含向上点数是2，4，6的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，4，6的情况，故P(A∪B)＝．
(方法二)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝1－＝．故选C．
6【答案】B
【解析】设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4．故选B．
7【答案】B
【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝．
(方法二)设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝．故选B．
8【答案】(1)0.4 (2)0.6
【解析】(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4．
(2)因为A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．
9【答案】0.55
【解析】记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)范围内的事件分别为A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55．
10解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．
(1)P(D)＝．
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝．
11【答案】A
【解析】对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故①正确；若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，故②错误；若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)≤1，故③错误；例如，事件A：抛掷一枚均匀的骰子所得点数为质数的概率是，事件B：抛掷一枚均匀的骰子所得点数为偶数的概率为，但是A，B不对立，故④错误．故选A．
12【答案】CD
【解析】由题图知参加兴趣小组的人数为6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只属于音乐小组的概率为＝；只属于英语小组的概率为＝；“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为＝；“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是p＝1－＝．故选CD．
13【答案】
【解析】把3道选择题记为x1，x2，x3，2道判断题记为p1，p2．总的事件数为20．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为＋＝．“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝．
4【答案】
【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售
量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．
15解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，则m＝400，n＝400＋100＋100＝600．
所以厨余垃圾投放正确的概率约为＝＝．
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”，从而P(A)＝＝0.7，
所以P()＝1－P(A)＝1－0.7＝0.3．第十章 10.2
A级——基础过关练
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A． B．
C． D．
4．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p＝( )
A． B．
C． D．
5．国庆节期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，．假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A． B．
C． D．
6．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为．若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( )
A．1 B．
C． D．
7．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的有( )
A．目标恰好被命中一次的概率为＋
B．目标恰好被命中两次的概率为×
C．目标被命中的概率为×＋×
D．目标被命中的概率为1－×
8．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是__________．
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为__________．
10．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率；
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率．
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年辽宁期末)甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则( )
A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为
C．至少有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为
12．(多选)在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E．盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的有( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
13．事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝__________，P(B)＝__________．
14．(2023年上海月考)某位同学参加物理、化学、思想政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、思想政治科目等级中达A＋的概率分别为，，，假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得A＋的概率为__________．
15．(2023年景德镇期中)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
答案
1【答案】D
【解析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D．
2【答案】C
【解析】因为P()＝，所以P(A)＝，又因为P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C．
3【答案】A
【解析】由题意知P甲＝＝，P乙＝，所以p＝P甲·P乙＝．故选A．
4【答案】B
【解析】因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去)．故选B．
5【答案】B
【解析】因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝．故选B．
6【答案】C
【解析】一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为××＝；②B解出，A，C解不出，概率为××＝；③C解出，A，B解不出，概率为××＝．所以恰有1人解出的概率为＋＋＝．
7【答案】BD
【解析】设“甲射击一次命中目标”为事件A，“乙射击一次命中目标”为事件B，显然，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝，故A不正确；目标恰好被命中两次的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×，故B正确；目标被命中的概率为P(A∪B∪AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×＋×＋×或1－P()＝1－P()·P()＝1－×，故C不正确，D正确．故选BD．
8【答案】0.26
【解析】所求概率p＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．
9【答案】
【解析】设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝．
10解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，
且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85．
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，
P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.85)
＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，C和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．
11【答案】AC
【解析】甲、乙两人进行1次投篮，命中的概率分别为和，且是否命中相互独立，所以恰好有1人命中的概率为1－×－×＝，则A正确，B错误；至少有1人命中的概率为1－×＝，所以C正确，D错误．故选AC．
12【答案】ACD
【解析】由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，因此D正确．故选ACD．
13【答案】
【解析】易知
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝．
14【答案】
【解析】根据题意，该同学至多有1门学科没有获得A＋，即该同学全部为A＋或只有1门不是A＋，当该同学全部为A＋时，其概率p1＝××＝，当该同学只有1门不是A＋时，其概率p2＝××＋××＋××＝，则该同学等级考至多有1门学科没有获得A＋的概率p＝p1＋p2＝＋＝．
15解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)＝××＝，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为P(B)＝××＋××＋××＝．
∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．
(2)记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，
事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则P(C)＝××＋××＋××＝，
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则P(D)＝××＋××＋××＝，
由题意得事件C与事件D相互独立，
∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝．第十章 10.3 10.3.1、2
A级——基础过关练
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A．0.56，0.56 B．0.56，0.5
C．0.5，0.56 D．0.5，0.5
2．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．购买彩票中奖的可能性为 B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中 D．买100张彩票就一定能中奖
3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40)上的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45
C．0.40 D．0.35
6．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为放养这只黑小蜜蜂的概率较大的养蜂人是( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙 D．无法判断
7．(多选)下列说法中正确的有( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心应为5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心应为4次
8．(2023年慈溪期末)在下列三个问题中：
①甲、乙两人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，这个游戏是公平的；
②掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③如果气象预报1～30日的下雨概率是，那么1～30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是__________．(用序号表示)
9．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10 000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8 000个，根据概率的统计定义，现需要6 000个成品菌种，大概要准备__________个微生物菌种．
10．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
B级——能力提升练
11．有三个游戏规则如表所示，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，
游戏1 游戏2 游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球 袋中装有2个黑球和2个白球 袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球 从袋中取出2个球 从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
12．(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的有( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
13．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，若第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．
14．容量为50的样本数据，按从大到小的顺序分为8组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 5 4 7 x 8 6 6 7
第四组的频数为__________，频率为__________．
15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
答案
1【答案】B
【解析】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为＝0.56，概率为0.5．故选B．
2【答案】A
【解析】对于B选项和C选项，买任何1张彩票的中奖率都是，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B，C错误；对于D选项，根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故本选项错误；概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，故A正确．故选A．
3【答案】B
【解析】在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为＝0.45．
4【答案】B
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为＝，所以2 018石米中夹谷约为2 018×≈224(石)．故选B．
5【答案】A
【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为＝0.50．故选A．
6【答案】B
【解析】从养蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从养蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．
7【答案】ACD
【解析】A正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8；B错误，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是＝0.3；C正确，因为某人射击10次，击中靶心的频率是，所以他击中靶心应为10×＝5次；D正确，因为某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，所以他击不中靶心应为10×(1－0.6)＝4(次)．故选ACD．
8【答案】①②
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间Ω＝{(正正)，(正反)，(反正)，(反反)}，记事件A，B分别为“甲胜”“乙胜”，则P(A)＝P(B)＝＝，故这个游戏是公平的，故①正确；掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，由概率的定义得，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率，故②正确；如果气象预报1～30日的下雨概率是，1～30日中就有可能6天是下雨的，故③错误．
9【答案】7 500
【解析】现需要6 000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，∵每10 000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8 000个，∴＝，解得n＝7 500．
10解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为．
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为．以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为．
11【答案】C
【解析】对于游戏1，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为0.5，取出不同色的也为0.5，公平．故选C．
12【答案】ACD
【解析】A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，符合题意；B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，符合题意．故选ACD．
13【答案】
【解析】共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝．
14【答案】7 0.14
【解析】∵由容量50的样本数据知有50个数字，而其他组的数字个数都是已知，∴第三组的频数为50－(5＋4＋7＋8＋6＋6＋7)＝7，频率为＝0.14．
15解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75．
(2)设袋中红球有x个，根据题意得
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球有15个．
