新人教A版选择性必修第三册2024春高中数学第七章 随机变量及其分布 章末检测（含解析）

第七章章末检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知随机变量X的分布列是
X 0 1
P m
则m＝(　　)
A． B．
C． D．
2．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为(　　)
A．18， B．36，
C．36， D．18，
3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)
A．1，2 B．1，－2
C．－1，2 D．－1，－2
5．(2023年永州模拟)某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ(单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　　)
A．5份 B．10份
C．15份 D．20份
6．(2023年遵义期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为(　　)
A．0.48 B．0.49
C．0.51 D．0.52
7．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个需要援助的地区，每个医疗小组只去一个地区，设事件A为“4个医疗小组去的地区各不相同”，事件B为“小组甲独自去一个地区”，则P(A|B)＝(　　)
A． B．
C． D．
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0，1).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)≥P(AB) B．P(B|A)＝是可能的
C．010．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则(　　)
X －1 0 1 2
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(X＜1)＝
11．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的有(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
12．(2023年徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　)
A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2023年滨州期中)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，恰有1个是深度贫困村的概率为________．
14．已知随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3
P p1 p2 p3
且p1，p2，p3成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________．
15．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为________．
16．一次数学测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的方差为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
解：略
18．(12分)在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列．
19.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ20．(12分)出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．
21．(12分)(2022年湛江模拟)某高三学生小明准备高考后利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成频率分布直方图如图2.
　　　
(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说明理由．
22．(12分)(2023年唐山模拟)某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示：
赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者．
(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果)
(2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X).
(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
参考知识：正整数n>1时，<，e为自然对数的底数，e≈2.718 28.
第七章章末检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知随机变量X的分布列是
X 0 1
P m
则m＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B　【解析】X服从两点分布，由分布列的性质，得＋m＝1，解得m＝.
2．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为(　　)
A．18， B．36，
C．36， D．18，
【答案】D　【解析】由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，解得n＝18，p＝.
3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A　【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝C＝.
4．若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)
A．1，2 B．1，－2
C．－1，2 D．－1，－2
【答案】C　【解析】由E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，得1－E(ξ)＝2，(－1)2D(ξ)＝2，据此可得E(ξ)＝－1，D(ξ)＝2.
5．(2023年永州模拟)某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ(单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　　)
A．5份 B．10份
C．15份 D．20份
【答案】B　【解析】由题意易知P(ξ>100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80<ξ≤100)＝0.45.∴P(ξ>120)＝P(ξ>100)－P(100<ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.
6．(2023年遵义期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为(　　)
A．0.48 B．0.49
C．0.51 D．0.52
【答案】C　【解析】设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B|)＝0.95，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.
7．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个需要援助的地区，每个医疗小组只去一个地区，设事件A为“4个医疗小组去的地区各不相同”，事件B为“小组甲独自去一个地区”，则P(A|B)＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　【解析】由题意，P(AB)＝＝，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝.
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0，1).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　【解析】根据题意，得解得∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，这是一个开口向下的抛物线，其顶点坐标为，∴当且仅当c＝时，ab取得最大值.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)≥P(AB) B．P(B|A)＝是可能的
C．0【答案】AB　【解析】由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1，知P(B|A)≥P(AB)，故A正确；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选AB．
10．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则(　　)
X －1 0 1 2
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(X＜1)＝
【答案】ABCD　【解析】∵E(X)＝0，D(X)＝1，
∴
且a，b，c∈[0，1]，解得a＝，b＝，c＝，P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋＝.
11．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的有(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
【答案】CD　【解析】设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．
12．(2023年徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　)
A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝
【答案】ABC　【解析】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：①后4个数都出现0，X＝0，则P(X＝0)＝＝；②后4个数只出现1个1，X＝1，则P(X＝1)＝C＝；③后4个数出现2个1，X＝2，则P(X＝2)＝C＝；④后4个数出现3个1，X＝3，则P(X＝3)＝C·＝；⑤后4个数都出现1，X＝4，则P(X＝4)＝＝，故X～B，故A，B正确；∵X～B，∴E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2023年滨州期中)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，恰有1个是深度贫困村的概率为________．
【答案】　【解析】所求概率为＝.
14．已知随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3
P p1 p2 p3
且p1，p2，p3成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________．
【答案】　　 【解析】由分布列的性质及等差数列的性质，得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，又由即得－≤d≤.
15．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为________．
【答案】0.5　【解析】设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.4，P(A2|B1)＝0.6.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
16．一次数学测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的方差为________．
【答案】120　【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝5X.由题知X～B(20，0.6)，所以D(X)＝20×0.6×0.4＝4.8，D(Y)＝D(5X)＝52×D(X)＝25×4.8＝120，所以该学生在这次测验中的成绩的方差为120.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
解：略
18．(12分)在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列．
解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
19.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.
P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＜X＜90)]＝[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)≈0.022 8，12÷0.022 8≈526(人).因此，此次参赛学生的总数约为526人．
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＜X＜80)]＝[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)≈0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．
20．(12分)出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．
解：(1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯，
所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率p＝×＝.
(2)X的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6，这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，k≤6)的事件相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有k次遇到红灯的事件，于是得随机变量X～B，所以E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
21．(12分)(2022年湛江模拟)某高三学生小明准备高考后利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成频率分布直方图如图2.
　　　
(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说明理由．
解：(1)“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式为
y1＝
“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为
y2＝
(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
销售量/件 3 4 5 6 7
频率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1
所以X1的分布列为
X1 110 130 150 180 210
P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1
E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).
由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：
单数 10 30 50 70 90
频率 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
所以X2的分布列为
X2 30 100 185 275 365
P 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).
因为E(X2)>E(X1)，所以做“送外卖员”挣的更多，故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．
22．(12分)(2023年唐山模拟)某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示：
赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者．
(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果)
(2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X).
(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
参考知识：正整数n>1时，<，e为自然对数的底数，e≈2.718 28.
解：(1)本赛事共计30场比赛，一位选手最多能进行7轮比赛．
(2)X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7.
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝C＝，
P(X＝5)＝C＋＝，P(X＝6)＝P(X＝7)＝C＝，
X的分布列为
X 2 3 4 5 6 7
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝.
(3)乙经败者组进入决赛的概率为f(t)＝C(1－t)t5，0当00，f(t)在上单调递增；
当所以f(t)的最大值为f＝4××＝×＝×.
由参考知识得<，故f<<，
所以乙没有三成把握经败者组进入决赛．