2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（一）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．某班级上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x||x|≤2}，则（ ）
A．A B B．B A
C．A∩B＝{x|﹣2≤x＜2} D．A∪B＝{x|﹣3≤x＜2}
3．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞﹣2}，B＝{x||x|≤4}，则A B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3，4} B．{x|﹣2＜x＜4}
C．{0，1，2，3，4} D．{x|﹣2＜x≤4}
4．（5分）对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）命题“ a∈N*，2a≥a2”的否定是（ ）
A． a∈N*，2a≥a2 B． a∈N*，2a＜a2
C． a∈N*，2a＜a2 D． a∈N*，2a＞a2
6．（5分）下列所给的对象能组成集合的是（ ）
A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数
C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花
7．（5分）政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是（ ）
A．A B＝A B．A B＝B C．A B＝A D．A＝B
8．（5分）设集合A＝{x∈R||x﹣1|≤1}，，则 R（A∩B）＝（ ）
A． B．{0} C．{x∈R|x≠0} D．R
9．（5分）下列命题错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
B．“，k∈Z”是“tanx＝1”的必要不充分条件
C．对于命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0，则 p是： x∈R，均有x2+x+1≥0
D．命题“ x∈R，”的否定形式是“ x∈R，”
10．（5分）已知命题p： x＞0，ln（x+2）＞0，则 p为（ ）
A． x≤0，ln（x+2）＞0 B． x＞0，ln（x+2）≤0
C． x＞0，ln（x+2）＞0 D． x≤0，ln（x+2）≤0
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）下面六个关系式：① {a}；②a {a}；③{a} {a}；④{a}∈{a，b}；⑤a∈{a，b，c}；⑥ ∈{a，b}，其中正确的是 ．
12．（5分）若集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0}，若A的真子集个数是3个，则a的范围是 ．
13．（5分）已知A＝{（x，y）|xy＝12}，B＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，则A∩B＝ ．
14．（5分）设m、a∈R，f（x）＝x2+（a﹣1）x+1，．若“对一切实数f（x）＞0”是“对一切实数x，g（x）＞0”的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）用描述法表示下列集合．
（1）函数y＝﹣2x2+x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x﹣3＜5的解组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
16．（12分）设A＝{x|4x2+4（a+1）x+a2﹣1＝0}，．若A （A B），求a的取值范围．
17．（14分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，B＝{x|0＜x＜3}．
（1）若a＝0，求A∪B；A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18．（14分）设命题p：实数x满足|x﹣a|＜2a，a＞0，命题q：实数x满足≥0．
（Ⅰ）若a＝1，若命题 p与q都是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（14分）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1） x∈N，2x+1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使＝0．
20．（14分）设集合A为n元数集，若A的2个非空子集B，C满足：B∪C＝A，B∩C＝ ，则称B，C为A的一个二阶划分．记B中所有元素之和为S（B），C中所有元素之和为S（C）．
（Ⅰ）若A＝{1，2，3}，求A的一个二阶划分，使得S（B）＝2S（C）；
（Ⅱ）若A＝{1，2， ，10}．求证：不存在A的二阶划分B，C满足S（C）＝2S（B）；
（Ⅲ）若A＝{1，2， ，n}（n≥3，n∈N*），B，C为A的一个二阶划分，满足：①若x∈B，则2x B；②若x∈C，则2x C．
记f（n）为符合条件的B的个数，求f（n）的解析式．2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（一）
参考答案与解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．某班级上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论．
【解答】解：根据集合中元素的确定性可知，
“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合元素的性质的应用，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x||x|≤2}，则（ ）
A．A B B．B A
C．A∩B＝{x|﹣2≤x＜2} D．A∪B＝{x|﹣3≤x＜2}
【分析】根据题意，利用绝对值不等式的解法算出集合B的元素，结合子集、交集和并集的定义算出答案．
【解答】解：由|x|≤2，得﹣2≤x≤2，所以B＝{x|﹣2≤x≤2}，
由﹣3∈A，且﹣3 B，可知集合A不是集合B的子集，故A错误；
根据2∈B，且2 A，可知集合B不是集合A的子集，故B错误；
由交集的定义，可得A∩B＝{x|﹣3≤x＜2}∩{x|﹣2≤x≤2}＝{x|﹣2≤x＜2}，故C正确；
根据并集的定义，可得A∪B＝{x|﹣3≤x＜2}∪{x|﹣2≤x≤2}＝{x|﹣3≤x≤2}，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、集合的包含关系、集合的交集与并集运算等知识，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞﹣2}，B＝{x||x|≤4}，则A B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3，4} B．{x|﹣2＜x＜4}
C．{0，1，2，3，4} D．{x|﹣2＜x≤4}
【分析】解绝对值不等式求得集合B，由此求得A∩B．
【解答】解：|x|≤4 ﹣4≤x≤4，所以B＝{x|﹣4≤x≤4}，
所以A B＝{0，1，2，3，4}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．
4．（5分）对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案．
【解答】解：若[x]＞[y]，则必有[x]＞y≥[y]，结合x≥[x]可得x＞y，
所以“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分条件；
反之，若x＞y，取x＝1.2，y＝1.1，可知[x]＝[y]，即[x]＞[y]不成立．
因此“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分不必要条件，A项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了取整函数的应用、充分必要条件的定义与判断等知识，属于基础题．
5．（5分）命题“ a∈N*，2a≥a2”的否定是（ ）
A． a∈N*，2a≥a2 B． a∈N*，2a＜a2
C． a∈N*，2a＜a2 D． a∈N*，2a＞a2
【分析】先将全称量词改为存在量词，再否定结论即可．
【解答】解：“ a∈N*，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“ a∈N*，2a＜a2”．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
6．（5分）下列所给的对象能组成集合的是（ ）
A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数
C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花
【分析】根据集合的含义判断．
【解答】解：对于选项A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故选项A正确；
对于选项B，C，D来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的含义，属于基础题．
7．（5分）政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是（ ）
A．A B＝A B．A B＝B C．A B＝A D．A＝B
【分析】推导出B A，A∪B＝A，A∩B＝B．
【解答】解：政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，
把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，
则B A，A∪B＝A，A∩B＝B．
故选：A．
【点评】本题考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）设集合A＝{x∈R||x﹣1|≤1}，，则 R（A∩B）＝（ ）
A． B．{0} C．{x∈R|x≠0} D．R
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用交集、补集的定义求解作答．
【解答】解：解不等式|x﹣1|≤1，得﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2，因此A＝{x|0≤x≤2}，
当时，0≤x2≤2，则﹣2≤﹣x2≤0，因此B＝{x|﹣2≤x≤0}，
所以A B＝{0}， R（A B）＝{x∈R|x≠0}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．
9．（5分）下列命题错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
B．“，k∈Z”是“tanx＝1”的必要不充分条件
C．对于命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0，则 p是： x∈R，均有x2+x+1≥0
D．命题“ x∈R，”的否定形式是“ x∈R，”
【分析】利用充分条件必要条件的概念，结合一元二次方程的求解及三角函数的求值判断AB；根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断CD．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0解得x＝1或x＝2，
所以由“x＝1”能推出“x2﹣3x+2＝0”，但由“x2﹣3x+2＝0”不能推出“x＝1”，
则“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件，故A正确；
当k＝3，即时，tanx＝﹣1，故tanx≠1，则充分性不成立，
若tanx＝1，则，n∈Z，可知必要性成立，
则“，k∈Z”是“tanx＝1”的必要不充分条件，故B正确；
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
对于命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0，则 p是： x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；
命题“ x∈R，”的否定形式是“ x∈R，”，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
10．（5分）已知命题p： x＞0，ln（x+2）＞0，则 p为（ ）
A． x≤0，ln（x+2）＞0 B． x＞0，ln（x+2）≤0
C． x＞0，ln（x+2）＞0 D． x≤0，ln（x+2）≤0
【分析】根据全称量词命题的否定为特征量词命题，即可求解．
【解答】解：由题意知，p： x＞0，ln（x+2）＞0，
所以 p： x＞0，ln（x+2）≤0．
故选：B．
【点评】本题考查全称命题的否定，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）下面六个关系式：① {a}；②a {a}；③{a} {a}；④{a}∈{a，b}；⑤a∈{a，b，c}；⑥ ∈{a，b}，其中正确的是 ①③⑤ ．
【分析】根据题意，利用集合与集合、元素与集合的关系加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为空集是任何集合的子集，所以 {a}；故①正确；
由元素与集合的关系，可知a∈{a}，而不是a {a}，故②错误；
根据任意集合是它本身的子集，可知{a} {a}，故③正确，
由集合与集合的关系，可知{a} {a，b}而不是{a}∈{a，b}，故④错误；
由元素与集合的关系，可知a∈{a，b，c}，故⑤正确；
由集合与集合的关系，可知 {a，b}而不是 ∈{a，b}，故⑥错误．
故答案为：①③⑤．
【点评】本题主要考查了集合的表示法、集合的包含关系及其应用等知识，属于基础题．
12．（5分）若集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0}，若A的真子集个数是3个，则a的范围是 ．
【分析】由题意可得方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的根，所以，从而可求出a的范围．
【解答】解：因为集合A的真子集个数是3个，
所以集合A中有两个元素，
所以方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的根，
所以，解得，且a≠0，
即a的范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查集合元素的个数与真子集的关系，属于基础题．
13．（5分）已知A＝{（x，y）|xy＝12}，B＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，则A∩B＝ {（12，1），（6，2），（4，3）} ．
【分析】由已知结合曲线交点的坐标的求解及交集的几何意义可求．
【解答】解：由解得或或，
所以A∩B＝{（12，1），（6，2），（4，3）}．
故答案为：{（12，1），（6，2），（4，3）}．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
14．（5分）设m、a∈R，f（x）＝x2+（a﹣1）x+1，．若“对一切实数f（x）＞0”是“对一切实数x，g（x）＞0”的充分条件，则实数m的取值范围是 [6，+∞） ．
【分析】由已知结合二次不等式恒成立先求出a的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化求出m的范围．
【解答】解：若f（x）＝x2+（a﹣1）x+1＞0恒成立，
则Δ＝（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3，
若＞0恒成立，
当m＝0时，g（x）＝2ax＞0不恒成立，
当m≠0时，则，
所以m2≥36，
故m≥6或m≤﹣6（舍）．
故答案为：[6，+∞）．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）用描述法表示下列集合．
（1）函数y＝﹣2x2+x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x﹣3＜5的解组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【分析】由已知结合集合的描述法分别求解（1）（2）（3）（4）．
【解答】解：（1）{（x，y）|y＝﹣2x2+x}；
（2）{x|2x﹣3＜5}；
（3）{x|x＝3n+1，n∈N}；
（4）{x|x＝12n，n∈N*}．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法的应用，属于基础题．
16．（12分）设A＝{x|4x2+4（a+1）x+a2﹣1＝0}，．若A （A B），求a的取值范围．
【分析】根据题意，由条件可得A B，然后分A＝ ，A为单元素集与A为双元素集讨论，即可得到结果．
【解答】解：由题意可得B＝{﹣2，0}，由A （A B）知，A＝A B，即A B．
当A＝ 时，方程4x2+4（a+1）x+a2﹣1＝0无解，
即Δ＝16（a+1）2﹣16（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；
当A为单元素集时，Δ＝16（a+1）2﹣16（a2﹣1）＝0，解得a＝﹣1，
此时A＝{0}，满足题意；
当A＝{﹣2，0}时，﹣2和0是关于x的方程4x2+4（a+1）x+a2﹣1＝0的两根，
故，解得a＝1；
综上所述，a的取值范围为{a|a≤﹣1或a＝1}．
【点评】本题考查由集合间的包含关系求参数的取值范围，属基础题．
17．（14分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，B＝{x|0＜x＜3}．
（1）若a＝0，求A∪B；A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求得集合A，由交集的定义，即可得到所求集合；
（2）由题意可得a﹣1≥0且a+1≤3，解不等式组，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）若a＝0，则A＝{x|﹣1＜x＜1}，
B＝{x|0＜x＜3}，
可得A∩B＝{x|0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}；
（2）若A∪B＝B，则A B，
集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，B＝{x|0＜x＜3}，
可得a﹣1≥0，且a+1≤3，
即a≥1且a≤2，即1≤a≤2，
则实数a的取值范围为[1，2]．
【点评】本题考查集合的交集的求法和集合的包含关系，考查运算能力，属于基础题．
18．（14分）设命题p：实数x满足|x﹣a|＜2a，a＞0，命题q：实数x满足≥0．
（Ⅰ）若a＝1，若命题 p与q都是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将a＝1代入解得命题p，再由分式不等式解法求得命题q，利用命题真假即可求出x的取值范围；
（Ⅱ）根据题意可知q p，由集合间的基本关系可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，命题p：实数x满足|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3；
即命题p：﹣1＜x＜3；
命题q：实数x满足≥0，等价于，解得2≤x＜4；
即命题q：2≤x＜4；
所以命题￢p：x≤﹣1或x≥3，由 p与q都是真命题，
则，解得3≤x＜4；
即x的取值范围是[3，4）；
（Ⅱ）若p是q的必要条件，则q p，
由|x﹣a|＜2a，a＞0，可得﹣a＜x＜3a（a＞0），而q：2≤x＜4；
所以[2，4） （﹣a，3a），
即，解得a≥，
所以实数a的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，必要条件的应用，属于基础题．
19．（14分）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1） x∈N，2x+1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使＝0．
【分析】根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的定义分析，并判断真假即可得答案．
【解答】解：（1）是全称量词命题， x∈N，2x+1都是奇数，该命题是真命题，
（2）是存在量词命题，＝0无解，则该命题是假命题．
【点评】本题考查命题的真假判断，掌握特称命题和全称命题的定义和性质是解决本题的关键，属于基础题．
20．（14分）设集合A为n元数集，若A的2个非空子集B，C满足：B∪C＝A，B∩C＝ ，则称B，C为A的一个二阶划分．记B中所有元素之和为S（B），C中所有元素之和为S（C）．
（Ⅰ）若A＝{1，2，3}，求A的一个二阶划分，使得S（B）＝2S（C）；
（Ⅱ）若A＝{1，2， ，10}．求证：不存在A的二阶划分B，C满足S（C）＝2S（B）；
（Ⅲ）若A＝{1，2， ，n}（n≥3，n∈N*），B，C为A的一个二阶划分，满足：①若x∈B，则2x B；②若x∈C，则2x C．
记f（n）为符合条件的B的个数，求f（n）的解析式．
【分析】（Ⅰ）根据二阶划分的定义，结合第一问的条件，即可求解；
（Ⅱ）首先假设存在A的二阶划分B，C满足S（B）＝2S（C），再计算S（A）＝55，即可推出矛盾，即可证明；
（Ⅲ）根据二阶划分的定义，并结合奇数集合和偶数集合，即可推理求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为S（B）＝2S（C），
所以S（A）＝S（B）+S（C）＝3S（C）＝6，
所以S（C）＝2，即可知C＝{2}，
因为B∪C＝A，B∩C＝ ，
所以B＝{1，3}；
（Ⅱ）证明：假设存在符合条件的一个二阶划分B，C满足S（C）＝2S（B），
则S（A）＝S（B）+S（C）＝3S（B），从而S（A）是3的倍数，
又A＝{1，2， ，10}，所以S（A）＝1+2+ +10＝55，
因为55不能被3整除，所以55不是3的倍数，
所以假设不成立，
所以不存在A的二阶划分B，C满足S（C）＝2S（B）；
（Ⅲ）任取偶数x∈A，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，
商必为奇数，此时记商为m，即x＝m 2k，其中m为奇数，
因为x∈B，则2x B，即2x∈C，
所以若m∈B，k为奇数时，x＝m 2k B，即x∈C；当k为偶数时，x＝m 2k∈B，
所以A中的任意一个偶数x＝m 2k的位置都是确定的，且与m的位零相关，
所以可知B是由A中的奇数1，3，5，…的位置确定，
设Qn表示A中所有的奇数的集合，则f（n）等于Qn的子集的个数，
当n是偶数时，A中的奇数个数有个，此时Qn的子集个数有个，即，
当n是奇数时，A中的奇数个数有个，此时Qn的子集个数有个，即，
所以．
【点评】本题主要考查了与集合有关的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．
