2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（二）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＝x}，下列说法正确的是（ ）
A．﹣1∈A B．1∈A C．0 A D．2∈A
2．（5分）若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则a2023+b2023的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≥0}，集合B＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，则集合（ RA） B的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）“x2＞1”是“x3＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若命题“ x∈R，x2﹣x﹣a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[﹣1，+∞）
6．（5分）给出下列关系：
①π∈R；
②{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}；
③ ∈{0}；
④{（1，﹣2）} {（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）已知集合，集合，则P与Q的关系是（ ）
A．P Q B．P＝Q
C．Q P D．以上都不正确
8．（5分）设集合U＝N，其中N为自然数集，S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x∈N|∈Z}，则下列结论正确的是（ ）
A．T S B．S∩T＝ C．S∩T＝S D．S UT
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，设甲：{an}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有．则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10．（5分）命题“ x＞0，﹣x2+2x﹣1＞0”的否定为（ ）
A． x＞0，﹣x2+2x﹣1≤0 B． x≤0，﹣x2+2x﹣1＞0
C． x＞0，﹣x2+2x﹣1≤0 D． x≤0，﹣x2+2x﹣1＞0
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知命题p： x＞1，x2﹣4＜0，则￢p为 ．
12．（5分）若3∈{m﹣1，3m，m2﹣1}，则实数m＝ ．
13．（5分）已知集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，若B A，求a的取值范围 ．
14．（5分）已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；
②A∩B＝ ；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是 ；
（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是 ．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的取值范围．
16．（12分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，．
（1）若a＝﹣3，求A∪B；
（2）已知B∪（ RA）＝R，求实数a的取值范围．
17．（14分）记关于x的方程|x2+ax+b|＝2的解集为M，其中a，b∈R．
（1）求M恰有3个元素的充要条件；
（2）在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
18．（14分）（1）存在x∈R，使x2+x+a＝0成立，求实数a的取值范围．
（2）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞a}，若 a∈A，都有a∈B成立，求实数a的取值范围．
19．（14分）请按要求完成下列各小题：
（1）请用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合；
（2）请用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集；
（3）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．
20．（14分）不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是A＝{x|＜x＜2}，集合B＝{x|ax2﹣（3a+1）mx+3m2＜0}．
（1）求实数a，b的值；
（2）若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（二）
参考答案与解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＝x}，下列说法正确的是（ ）
A．﹣1∈A B．1∈A C．0 A D．2∈A
【分析】根据题意，解方程求得集合A中的元素，再根据元素和集合的关系算出答案．
【解答】解：由x2＝x，得x＝1或x＝0，可知集合A＝{0，1}，所以﹣1 A，1∈A，0∈A，2 A．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法、集合的表示法、元素与集合的关系等知识，属于基础题．
2．（5分）若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则a2023+b2023的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由集合元素的互异性，得到a≠0且b≠0，再由集合相等分析出a、b的值，进而算出答案．
【解答】解：因为{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，所以a＝1，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝1．
两以上种情况代入a2023+b2023，可得a2023+b2023＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合相等的含义、集合的元素的性质等知识，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≥0}，集合B＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，则集合（ RA） B的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】化简集合A，B，利用集合补集和交集的概念求出（ RA） B进而得到元素个数即可．
【解答】解：由x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣5）≥0解得x≥4或x≤1，
所以A＝{x|x≥4或x≤1}， RA＝{x|1＜x＜4}，
又因为B＝{x∈Z||x﹣1|≤2}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
所以（ RA） B＝{2，3}，元素个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）“x2＞1”是“x3＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由二次不等式的解法有：“x2＞1” “x＜﹣1或x＞1”，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：解不等式“x2＞1”，得：“x＜﹣1或x＞1”，
由x3＞1，得x＞1，
又“x＜﹣1或x＞1”是“x＞1”的必要不充分条件，
所以“x2＞1”是“x3＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了二次不等式的解法及对充分条件、必要条件的判断，属基础题．
5．（5分）若命题“ x∈R，x2﹣x﹣a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[﹣1，+∞）
【分析】由已知结合含有量词的命题的真假关系及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：因为 x∈R，x2﹣x﹣a≥0是真命题
则Δ＝1+4a≤0，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
6．（5分）给出下列关系：
①π∈R；
②{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}；
③ ∈{0}；
④{（1，﹣2）} {（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，由π是实数，判断①；对于②，解方程x2﹣2025x+2024＝0，判断②；对于③，由 是{0}的子集，判断③；对于④，由满足y＝x2﹣x﹣2，判断④．
【解答】解：对于①，∵π是实数，∴π∈R，故①正确；
对于②，解方程x2﹣2025x+2024＝0，得x1＝1，x2＝2024，
∴{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}，故②正确；
对于③， 是{0}的子集，∴ {0}，故③错误；
对于④，∴满足y＝x2﹣x﹣2，
∴{（1，﹣2）} {（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）已知集合，集合，则P与Q的关系是（ ）
A．P Q B．P＝Q
C．Q P D．以上都不正确
【分析】求函数定义域求得集合P，求函数值域求得集合Q，由此得出两个集合的关系．
【解答】解：由x﹣1≥0，解得x≥1，即P＝[1，+∞），
由x2+1≥1，可得，即Q＝[1，+∞），
故P＝Q．
故选：B．
【点评】考查集合的运算，集合与集合的关系，注意代表元素的不同，基础题．
8．（5分）设集合U＝N，其中N为自然数集，S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x∈N|∈Z}，则下列结论正确的是（ ）
A．T S B．S∩T＝ C．S∩T＝S D．S UT
【分析】化简集合S，T，结合子集的定义即可判断A；求得S∩T，即可判断B，C；结合 0 UT，1∈ UT，即可判断D．
【解答】解：集合 S＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，
，
对于A，由子集的定义知：S T，故A错误；
对于B，S∩T＝{0，1}，故B错误；
对于C，S∩T＝{0，1}＝S，故C正确；
对于D，因为0∈ UT，1 UT 故 S UT 不成立，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集，补集的定义等基础知识，是基础题．
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，设甲：{an}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有．则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，结合充要条件的概念进行正反推理，即可得到本题的答案．
【解答】解：若数列{an}是等差数列，由等差数列的求和公式，可知成立；
反之，若，则2Sn＝n（a1+an），
当n≥2时，可得2Sn﹣1＝（n﹣1）（a1+an﹣1），两式相减得2（Sn﹣Sn﹣1）＝a1+nan﹣（n﹣1）an﹣1，
即2an＝a1+nan﹣（n﹣1）an﹣1，整理得a1+（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1＝0，
以n+1代换n，得a1+（n﹣1）an+1﹣nan＝0，两式相减得（n﹣1）an+1﹣（2n﹣2）an+（n﹣1）an﹣1＝0，
等式的两边约去n﹣1，得an+1﹣2an+an﹣1＝0，即an+1﹣an＝an﹣an﹣1，可知{an}是等差数列．
综上所述：设甲：{an}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有，则甲是乙的充要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、等差数列的定义与通项公式等知识，属于中档题．
10．（5分）命题“ x＞0，﹣x2+2x﹣1＞0”的否定为（ ）
A． x＞0，﹣x2+2x﹣1≤0 B． x≤0，﹣x2+2x﹣1＞0
C． x＞0，﹣x2+2x﹣1≤0 D． x≤0，﹣x2+2x﹣1＞0
【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题“ x＞0，﹣x2+2x﹣1＞0”是特称命题，
其否定为： x＞0，﹣x2+2x﹣1≤0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知命题p： x＞1，x2﹣4＜0，则￢p为 x＞1，x2﹣4≥0 ．
【分析】根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题p： x＞1，x2﹣4＜0，
则￢p为： x＞1，x2﹣4≥0．
故答案为：： x＞1，x2﹣4≥0．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称量词命题和存在量词命题的关系，属于基础题．
12．（5分）若3∈{m﹣1，3m，m2﹣1}，则实数m＝ 4或±2 ．
【分析】分三种情况讨论即得实数m的值．
【解答】解：∵3∈{m﹣1，3m，m2﹣1}，
∴m﹣1＝3，即m＝4，此时3m＝12，m2﹣1＝15符合题意；
3m＝3，即m＝1，此时m﹣1＝0，m2﹣1＝0，不满足元素的互异性，故舍去；
m2﹣1＝3，即m＝±2，经检验符合题意；
综上，m＝4或±2．
故答案为：4或±2．
【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
13．（5分）已知集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，若B A，求a的取值范围 （﹣∞，﹣2）∪[，+∞） ．
【分析】当B＝ 时，2a≥a+1；当B≠ 时，或，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|x≥1或x＜﹣1}，B＝{x|2a＜x≤a+1}，B A，
当B＝ 时，2a≥a+1，解得a≥1；
当B≠ 时，或，解得a＜﹣2或．
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
【点评】本题考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；
②A∩B＝ ；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是 7 ；
（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是 44 ．
【分析】（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，则1 A，7 B，即7∈A，1∈B，即可推出A；
（ⅱ）分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．
【解答】解：因为集合A中只有1个元素，则集合B中有7个元素，所以1 A，7 B，
则7∈A，即A＝{7}，即集合A的元素是7；
若集合A中只有1个元素，则集合B中只有7个元素，则1 A，7 B，
即7∈A，1∈B，此时有，
若集合A中只有2个元素，则集合B中只有6个元素，则2 A，6 B，
即6∈A，2∈B，则有，
若集合A中只有3个元素，则集合B中只有5个元素，则3 A，5 B，
即5∈A，3∈B，此时有，
若集合A中只有4个元素，则集合B中只有4个元素，则4 A，4 B，显然矛盾；
若集合A中只有5个元素，则集合B中只有3个元素，则5 A，3 B，
即3∈A，5∈B，此时有，
若集合A中只有6个元素，则集合B中只有2个元素，则6 A，2 B，
即2∈A，6∈B，此时有，
若集合A中只有7个元素，则集合B中只有1个元素，则7 A，1 B，
即1∈A，7∈B，此时有，
故有序集合对（A，B）的个数是1+6+15+15+6+1＝44．
故答案为：7；44．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的应用及排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，分别解出集合A、B中包含的不等式，再求A∪B可得答案；
（2）解出集合B中包含的不等式，然后根据A B建立不等式组求解即可．
【解答】解：（1）不等式x2﹣x﹣12≤0，即（x﹣4）（x+3）≤0，解得﹣3≤x≤4，可得A＝{x|﹣3≤x≤4}．
当m＝2时，集合B中的不等式为x2﹣2x﹣3≤0，即（x+1）（x﹣3）≤0，解得﹣1≤x≤3，即B＝{x|﹣1≤x≤3}，
因为B A，所以A∪B＝{x|﹣3≤x≤4}＝[﹣3，4]；
（2）不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0可化为（x﹣m﹣1）（x+m﹣1）≤0，
其中m＞0，解得1﹣m≤x≤1+m，所以B＝{x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．
而集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，且A B，得，解得m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系及其应用、不等式的解法等知识，属于基础题．
16．（12分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，．
（1）若a＝﹣3，求A∪B；
（2）已知B∪（ RA）＝R，求实数a的取值范围．
【分析】（1）解不等式求得集合B，由此求得A∪B．
（2）先求得 RA，然后根据B∪（ RA）＝R列不等式组，由此求得a的取值范围．
【解答】解：（1），解得﹣3＜x≤5．
因为a＝﹣3，所以A＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，
又因为B＝{x|﹣3＜x≤5}，所以A∪B＝{x|﹣4≤x≤5}．
（2）依题意， RA＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1}，
由于B∪（ RA）＝R，所以，解得﹣2＜a≤4，
所以a的取值范围为{a|﹣2＜a≤4}．
【点评】本题考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（14分）记关于x的方程|x2+ax+b|＝2的解集为M，其中a，b∈R．
（1）求M恰有3个元素的充要条件；
（2）在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
【分析】（1）根据题意，“M恰有3个元素”等价于：x2+ax+b﹣2＝0、x2+ax+b+2＝0这两个方程中，其中一个有相等的实数根，另一个有两个不相等的实数根．由此利用根的判别式算出答案；
（2）先考虑必要性，得到a＝﹣16，b＝62；再证明充分性，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）x关于的方程|x2+ax+b|＝2即x2+ax+b＝±2，解集为M，
若M恰有3个元素，则即x2+ax+b＝±2，其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不相等的实数根．
即方程x2+ax+b﹣2＝0、x2+ax+b+2＝0，其中有一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不相等的实数根，
由于，所以当Δ2＝0时，Δ1＞0，M恰有3个元素，即a2﹣4b﹣8＝0．
综上所述，M恰有3个元素的充要条件是a2﹣4b﹣8＝0；
（2）M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a＝﹣16，b＝62．
必要性：由（1）得a2﹣4b﹣8＝0，即，代入两个方程整理得或，
解以上两个方程，得到三个根分别为，
若它们是直角三角形的三边，则，解得a＝﹣16，b＝62．
充分性：若a＝﹣16，b＝62，两个方程为x2﹣16x+60＝0、x2﹣16x+64＝0，
解得它们的根为6、8、10，故M＝{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．
所以，M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是：a＝﹣16，b＝62．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断及其应用、一元二次方程的解法与根的判别式等知识，属于中档题．
18．（14分）（1）存在x∈R，使x2+x+a＝0成立，求实数a的取值范围．
（2）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞a}，若 a∈A，都有a∈B成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知可得x2+x+a＝0有解，结合二次方程根的存在条件可求；
（2）由题意得A B，然后结合集合的包含关系可求．
【解答】解：（1）存在x∈R，使x2+x+a＝0成立，
则Δ＝1﹣4a≥0，
解得a，
故实数a的取值范围为{a|a}；
（2）因为集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞a}，
若 a∈A，都有a∈B成立，则A B，
所以a≤2，
故实数a的取值范围为{a|a≤2}．
【点评】本题主要考查了由存在命题及全称命题求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
19．（14分）请按要求完成下列各小题：
（1）请用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合；
（2）请用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集；
（3）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．
【分析】根据集合的表示法可解（1），（2），由集合子集的定义可解（3）．
【解答】解：（1）用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
（2）用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集为{x|x＞10}；
（3）集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}＝{1，5}，集合A的所有子集为 ，{1}，{5}，{1，5}．
【点评】本题考查集合的表示法，集合子集的定义，属于基础题．
20．（14分）不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是A＝{x|＜x＜2}，集合B＝{x|ax2﹣（3a+1）mx+3m2＜0}．
（1）求实数a，b的值；
（2）若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意可知为ax2+bx﹣2＝0的两实数根（a≠0），然后可得关于a、b的方程组，解方程组即可得到a、b的值；
（2）由（1）可以得到关于m的不等式（x﹣3m）（x+）＞0，再根据已知条件对m进行分类讨论后可以得解．
【解答】解：（1）∵ax2+bx﹣2＞0的解集是A＝{x|＜x＜2}，
∴为ax2+bx﹣2＝0的两实数根（a≠0），
∴，
∴；
（2）由（1）可得：B＝{x|﹣2x2+5mx+3m2＜0}＝{x|2x2﹣5mx﹣3m2＞0}，
∴（x﹣3m）（2x+m）＞0即（x﹣3m）（x+）＞0，
若A B，则B必不为空集，
当m＞0时，3m＞﹣，此时B＝{x|x＞3m或x＜﹣}，
∴，∴0＜m≤，
当m＜0时，3m＜﹣，此时B＝{x|x＜3m或x＞﹣}，
∴，∴﹣1≤m＜0，
当m＝0时，B＝{x|x≠0}，此时A B也成立，
综上，m∈[﹣1，]．
【点评】本题考查集合与一元二次不等式的综合应用，熟练掌握子集的含义、一元二次不等式的解法是解题关键，属于中档题．
