2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（三）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）下列关系中表示错误的是（ ）
A． {1，2，3} B．{3，2，1} {1，2，3）
C．{1，2}∈{1，2，3} D．{2，3} {1，2，3}
2．（5分）下列说法中正确的个数为（ ）
①0.333∈Q；
②0∈ ；
③ {0}；
④{ } {0}；
⑤ ＝{0}；
⑥{1}∈{1，2，3}；
⑦{x|x≥2}＝{m|m≥2}；
⑧{x|y＝x2+1}＝{y|y＝x2+1}．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x≤1}
4．（5分）设x，y∈R，则“xy＞1”是“x2+y2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知命题 p： a∈R，aπ﹣πa＞0，则（ ）
A．p： a R，aπ﹣πa＞0 B．p： a R，aπ﹣πa≤0
C．p： a∈R，aπ﹣πa≤0 D．p： a∈R，aπ﹣πa≤0
6．（5分）已知集合A＝{x||x+2|≤1}，B＝{﹣3，﹣1，1，2}，则A B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1} B．{﹣3，﹣1，1} C．{1，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，2}
7．（5分）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，集合B＝{x|3≤x≤33}，若A （A B），则a∈（ ）
A．[1，9] B．
C．（﹣∞，﹣4） [1，9] D．
8．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（5分）“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2
10．（5分）已知函数y1＝m（x﹣2m）（x+m+3），y2＝x﹣1，若它们同时满足：① x∈R，y1与y2中至少有一个小于0；② x∈{x|x＜﹣4}，y1 y2＜0，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣4，﹣2）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
12．（5分）设命题p： x∈R，ax2﹣x+1≤0．写出一个实数a＝ ，使得p为真命题．
13．（5分）设集合A＝{0，1，a2}，若a﹣1∈A，则实数a＝ ．
14．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4＜0}的非空真子集的个数是 ．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．
（1）m＝3，求A∩（ UB）；
（2）若B A，求m的取值范围．
16．（12分）已知集合，B＝{x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m∈R}．
（1）若m＝3，求A∩B；
（2）若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求正实数m的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
17．（14分）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．
（1）若x∈A是x∈B 的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）设命题p： x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题￢p为真命题，求实数m的取值范围．
18．（14分）已知集合A＝{x∈R|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
19．（14分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若A B＝R，求实数a的取值范围；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
20．（14分）已知集合A＝{x|2x2+x＜6}，B＝{x|x2＞4x﹣3}，若C＝A∩B，
（1）求集合C．
（2）若t∈C，且，求y的最小值，并求出y取得最小值时t的值．
第1页（共1页）2023-2024学年高一上册数学第一章：集合与常用逻辑用语综合测评（三）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）下列关系中表示错误的是（ ）
A． {1，2，3} B．{3，2，1} {1，2，3）
C．{1，2}∈{1，2，3} D．{2，3} {1，2，3}
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系逐项判断即可．
【解答】解：空集是任何集合的子集，故 {1，2，3}，故A正确；
因为{3，2，1}＝{1，2，3}，所以{3，2，1} {1，2，3}，故B正确；
因为1，2∈{1，2，3}，所以 {1，2} {1，2，3}，故C不正确；
因为2，3∈{1，2，3}，所以{2，3} {1，2，3}，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查判断两个集合的包含关系，属于基础题．
2．（5分）下列说法中正确的个数为（ ）
①0.333∈Q；
②0∈ ；
③ {0}；
④{ } {0}；
⑤ ＝{0}；
⑥{1}∈{1，2，3}；
⑦{x|x≥2}＝{m|m≥2}；
⑧{x|y＝x2+1}＝{y|y＝x2+1}．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据集合与元素的关系、集合与集合的关系，对各项依次判断，可得答案．
【解答】解：因为0.333是有有理数，所以0.333∈Q，①正确；
根据空集不含有任何元素，可知0 ，②不正确；
因为空集是任何集合的子集，所以 {0}，③正确；
集合{ }与{0}都是单元素集合，且元素不同，所以{ } {0}，④不正确；
因为空集不含任何元素，而集合{0}含有一个元素0，故 ≠{0}，⑤不正确；
集合{1}是{1，2，3}的子集，即{1} {1，2，3}，而不是{1}∈{1，2，3}，故⑥不正确；
集合{x|x≥2}与{m|m≥2}都表示大于或等于2的实数，故{x|x≥2}＝{m|m≥2}，⑦正确；
因为{x|y＝x2+1}＝R，表示函数的定义域，而{y|y＝x2+1}＝{y|y≥1}，表示函数的值域，
所以两个集合不相等，故⑧不正确．
综上所述，①③⑦正确，真命题有3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的表示法、子集运算及其性质、元素与集合的关系等知识，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x≤1}
【分析】由已知结合集合的补集及交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，
所以 RA＝{x|﹣2≤x≤1}，又B＝{x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，
所以（ RA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
4．（5分）设x，y∈R，则“xy＞1”是“x2+y2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用重要不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论．
【解答】解：由xy＞1，得x2+y2≥2xy＞2＞1，故充分性满足；
但当x2+y2＞1时，取x＝1，y＝，则xy＝＜1，故必要性不满足；
所以“xy＞1”是“x2+y2＞1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了对充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
5．（5分）已知命题 p： a∈R，aπ﹣πa＞0，则（ ）
A．p： a R，aπ﹣πa＞0 B．p： a R，aπ﹣πa≤0
C．p： a∈R，aπ﹣πa≤0 D．p： a∈R，aπ﹣πa≤0
【分析】由命题的否定的概念，即可求解．
【解答】解：命题 p： a∈R，aπ﹣πa＞0，
则p： a∈R，aπ﹣πa≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
6．（5分）已知集合A＝{x||x+2|≤1}，B＝{﹣3，﹣1，1，2}，则A B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1} B．{﹣3，﹣1，1} C．{1，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，2}
【分析】解绝对值不等式化简A，再根据交集的概念可求出结果．
【解答】解：由|x+2|≤1得﹣1≤x+2≤1，
解得﹣3≤x≤﹣1，则A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，
所以A∩B＝{﹣3，﹣1}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
7．（5分）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，集合B＝{x|3≤x≤33}，若A （A B），则a∈（ ）
A．[1，9] B．
C．（﹣∞，﹣4） [1，9] D．
【分析】由A （A B）可得A B，对集合A进行分类讨论即可．
【解答】解：因为A （A B），所以A B，
若A＝ ，即当2a+1＞3a+5时，解得a＜﹣4，此时符合题意；
若A≠ ，因为A B，所以有，解得，
综上所述，．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于简单题型．
8．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案．
【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，
集合B为函数y＝x2图象的点集，
两函数的图象有三个交点，
所以A∩B的元素个数为3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，考查数形结合思想，是基础题．
9．（5分）“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2
【分析】根据题意，利用导数研究函数y＝ex+a﹣x+1的单调性，从而算出函数的最小值，由此得到“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”成立的充要条件，再充分必要条件的性质算出答案．
【解答】解：若曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方，则函数y＝ex+a﹣x+1的最小值大于0，
求导数，得y′＝ex+a﹣1，可知当x＝﹣a时，y′＝0，
因为x＜﹣a时，y′＜0，x＞﹣a时，y′＞0，
所以函数y＝ex+a﹣x+1在（﹣∞，﹣a）上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．
故当x＝﹣a时，函数y＝ex+a﹣x+1的最小值为2+a，
可知：若曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方，则2+a＞0，解得a＞﹣2．
故“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（﹣2，+∞）的一个真子集，
对照各选项，可知A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断及其应用、利用导数确定函数的单调性等知识，属于中档题．
10．（5分）已知函数y1＝m（x﹣2m）（x+m+3），y2＝x﹣1，若它们同时满足：① x∈R，y1与y2中至少有一个小于0；② x∈{x|x＜﹣4}，y1 y2＜0，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣4，﹣2）
【分析】分析可知，当x≥1时，y1＜0， x∈{x|x＜﹣4}，y1＞0，结合二次函数的图象及性质，可建立关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：易知当x＜1时，y2＜0，当x≥1时，y2≥0，
则由①可知，当x≥1时，y1＜0，由②可知， x∈{x|x＜﹣4}，y1＞0，
显然m＝0不满足条件，
当m≠0时，由二次函数的图象及性质可知，y1＝m（x﹣2m）（x+m+3）应满足：图象开口向下，且在x＝﹣4处的函数值大于0，x＝1处的函数值小于0，
即，解得﹣4＜m＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 （0，3] ．
【分析】根据题意可知集合{x|1﹣m≤x≤1+m}是集合{x|﹣2≤x≤10}的真子集，由此建立关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：依题意，集合{x|1﹣m≤x≤1+m}是集合{x|﹣2≤x≤10}的真子集，
则或，
解得0＜m≤3．
故答案为：（0，3]．
12．（5分）设命题p： x∈R，ax2﹣x+1≤0．写出一个实数a＝ 0（答案不唯一，任取一个小于等于的值都可以） ，使得p为真命题．
【分析】根据题意，至少有一个实数x使得不等式ax2﹣x+1≤0成立，从而利用一元二次不等式的性质算出答案．
【解答】解：a＝0时，不等式为：﹣x+1≤0，有实数解，
而 p： x∈R，ax2﹣x+1＞0，若 p正确，则，解得，
∴若p为真命题，则，即时任取一个值都可以．
故答案为：0（答案不唯一，任取一个小于等于的值都可以）．
【点评】本题主要考查含有量词的命题判断真假、二次不等式的性质等知识，属于基础题．
13．（5分）设集合A＝{0，1，a2}，若a﹣1∈A，则实数a＝ 2 ．
【分析】利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值．
【解答】解：∵集合A＝{0，1，a2}，a﹣1∈A．
∴a﹣1＝0或a﹣1＝1或a2＝a﹣1，
解得a＝1或a＝2，
当a＝1时，集合A元素不满足互异性，故舍去．
∴a＝2．
故答案为：2．
14．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4＜0}的非空真子集的个数是 6 ．
【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合A，再根据含有n个元素的集合有2n﹣2个非空真子集计算可得．
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，即（x+1）（x﹣4）＜0，解得﹣1＜x＜4，
所以A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x∈N*|﹣1＜x＜4}＝{1，2，3}，
即集合A含有3个元素，故集合A的非空真子集有23﹣2＝6个．
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．
（1）m＝3，求A∩（ UB）；
（2）若B A，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合补集、交集的运算，即可求解；
（2）根据已知条件，结合真子集的定义，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知当m＝3时，B＝{x|2≤x≤6}，
故 UB＝{x|x＜2或x＞6}，
而A＝{x|0≤x≤3}，
故A∩（ UB）＝{x|0≤x＜2}；
（2）当B＝ 时，m﹣1＞2m，∴m＜﹣1，符合题意；
当B≠ 时，需满足，且0≤m﹣1，2m≤3中等号不能同时取得，解得，
综上所述，m的取值范围为{m|m＜﹣1或}．
16．（12分）已知集合，B＝{x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m∈R}．
（1）若m＝3，求A∩B；
（2）若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求正实数m的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合A，B，然后由交集定义计算；
（2）选①，根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；选②，根据必要不充分条件得不等式组求解．
【解答】解：（1），
因m＞0，则B＝{x|[x﹣（2﹣m）][x﹣（2+m）]，m∈R}＝[2﹣m，2+m]，
当m＝3时，B＝[﹣1，5]，
所以A∩B＝[﹣1，5]；
（2）选①，因“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以，经检验“＝”满足，
所以实数m的取值范围是[4，+∞）；
选②，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件
所以B是A的真子集．
所以，经检验“＝”满足，
所以实数m的取值范围是（0，3]．
17．（14分）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．
（1）若x∈A是x∈B 的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）设命题p： x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题￢p为真命题，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，集合A是集合B的真子集，由此列式可算出答案；
（2）命题￢p为真命题，说明不等式x2+（2m+1）x+m2﹣m≤8在区间（﹣2，1）上恒成立，从而可得答案．
【解答】解：（1）A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴A B，可得a﹣1＞﹣2且a＜1，解得﹣1＜a＜1，所以a∈（﹣1，1）；
（2）∵命题p： x∈E，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8为假命题，
∴￢p： x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m≤8为真命题，
设g（x）＝x2+（2m+1）x+m2﹣m﹣8，则g（x）≤0在（﹣2，1）上恒成立，
∴，即，即，
可得，解得﹣1≤m≤2，即m的取值范围是[﹣1，2]．
18．（14分）已知集合A＝{x∈R|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
【分析】根据题意便知方程mx2﹣2x+3＝0至少有一个解，显然需讨论m：m＝0时，便可解出x＝，符合方程有一个解；而m≠0时，方程便为一元二次方程，从而判别式△≥0，这样解出m的范围，并合并m＝0便可得出m的取值范围．
【解答】解：①m＝0时，﹣2x+3＝0，x＝，∴A中元素只有一个，满足条件；
②若m≠0，A中元素至少有一个；
∴一元二次方程mx2﹣2x+3＝0至少有一个解；
∴Δ＝4﹣12m≥0；
∴m≤且m≠0；
∴综上得m的取值范围为：{m|m}．
19．（14分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若A B＝R，求实数a的取值范围；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解；
（2）根据集合间的包含关系列不等式求解．
【解答】解：（1）因为A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}，A∪B＝R，
所以，解得a≤0，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]；
（2）A＝{x|x＜0或x＞2}， RA＝{x|0≤x≤2}，B RA
①当B＝ 时，3﹣2a＜a，
解得a＞1，
②当B≠ 时，3﹣2a≥a，即a≤1，
则，
解得．
综上所述，实数a的取值范围为{a|}．
20．（14分）已知集合A＝{x|2x2+x＜6}，B＝{x|x2＞4x﹣3}，若C＝A∩B，
（1）求集合C．
（2）若t∈C，且，求y的最小值，并求出y取得最小值时t的值．
【分析】（1）先解不等式，再利用交集的定义得出结论；
（2）利用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）集合A＝{x|2x2+x＜6}＝，B＝{x|x2＞4x﹣3}＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），
∴C＝A∩B＝（﹣2，1）；
（2）因为﹣2＜t＜1，所以0＜1﹣t＜3，所以，
当且仅当时等号成立，即t＝0时，y取最小值1．
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