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平面向量的数量积及数量积的运算律 班级 姓名
编号：23 编制：姜希河 审核：徐庆明 时间： 2009-3-21
一、自学要求：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.理解用平面向量的数量积，可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
二、自学过程：
1.力使物体位移所做的功W= .
2._______________________________ 叫做的夹角，记作 ，
并规定范围是 ，并且有 = 。
3.当= 时，我们说向量和向量互相垂直。记作 。
规定零向量与 垂直。
4．向量的方向与轴L的正方向所成角为,则在轴 L上正射影的坐标= 。
5．已知两个向量，我们把______________叫的数量积（或________）记作___________即＝______________________其中是的夹角 。 ______________________叫做向量方向上的___________。
6.平面向量数量积的性质：设均为非空向量：
①___________
②当同向时，____ 当反向时，_____，
特别地， ＝__________，即___________。
③___________ ④与的大小关系是 。
7.向量的数量积满足下列运算律
已知向量与实数。
①＝___________（______律）
②＝___________
③＝___________
三、例题精析：
例1 已知向量=2，，求在的正射影的数量。
变式训练：已知向量=2，，求在的正射影的数量。
例2已知求
变式训练：已知，求
例3求证：（1） （2）
变式训练：（1） （2）
例4求证菱形的两条对角线互相垂直
变式练习：用向量内积运算，证明勾股定理。
四．课堂检测：
★1. 已知的夹角为120 ，则 （ ）
A、4 B、-4 C、 D、
★2、已知，则 （ ）
A、0 B、 C、 D、以上都不对
★3．已知，则 （ ）
A、12 B、-12 C、0 D、以上都不对
★4、已知：在方向上的正射影的数量为 （ ）
A、 B、 C、 D、
★★5、下列表示在方向上的正射影的数量错误的个数为 （ ）
（1） （2） （3） （4）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
★6. 已知中，，则这三角形的形状为 （ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形
★★7.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C.若则 D. 若则
★★8.中，>0，则为（ ）
A.锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形．
★★9.则的夹角为120 ，则的值为（ ）
A.-5 B.5 C.- D.
★★10．已知
则 （ ）
A、52 B、196 C、14 D、
★★11.比较大小 。
★★12.垂直，则＝___________。
★★13.已知向量满足求
★★14.在中,已知求.
★★★15.在中，已知求的长。
感悟反思
1.两向量的数量积是一个数，而不是向量。
2. 数量积三公式可解决长度、角度、垂直等问题
计算长度
求向量夹角
证明垂直，
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向量共线的条件与轴上向量坐标运算
编号：19 编制：徐庆明 审核：崔世波 时间：2009-3-15 姓名： 班级：
1、 自学要求：1、理解向量的共线条件和平面向量基本定理，轴上坐标和基向量。
2、会判断向量的平行，能够进行轴上坐标的运算。
二、自学过程：自学教材90-93页，完成下列题目：
1、如果向量的基线平行或重合，则称这些向量 或 。
2、向量平行与向量，记作 。零向量与任何向量平行。
3、平行向量基本定理：如果 则∥；反之，如果∥，且≠0，则一定存在一个实数，使得 。
4、给定一个非零向量，与同向且长度等于1的向量，叫做 。
5、规定了方向和长度单位的直线叫做 ，已知轴，取单位向量，使的方向与的方向相同，则叫做轴的 ，若=x，则x叫做在上的 。于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立了一一对应关系。向量的坐标常用 表示，向量= 。
6、在上任取三点A、B、C，则AB= 。
7、轴上向量的坐标等于 。
三．例题精析：
例题1、已知：MN是△ABC的中位线，求证 ：NM=BC,且MN∥BC。
例题2、已知=2，=-5，试问与是否平行？
例题3、在数轴上，已知AB=3,BC=5,求AC.
例题4、已知数轴上三点ABC的坐标分别为-8，-2，5，求、、的坐标和长度。
四、课堂检测：
1、化简下列各式：
（1） +； （2）+
(3) +++
2、化简下列各式：
（1）—+- (2)
3、化简：（1） （2）
4解关于的方程：
（1） （2）
A
B
C
M
N
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高一数学（A）学案向量的概念 班级_______姓名：________
编号：15 编制 ：靳宗杰 审核：徐庆明 时间：2009-3-8
一、自学要求：了解向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及向量的几何表示
二、自学过程：
1. _______________________________________________________称为向量．
2. 以A为起点,B为终点的有向线段记作_______，有向线段的长度，记作_______．
3. 向量的大小,也就是向量的长度,称_____________，记作__________．
4.零向量是_____________的向量,记作_______.零向量的方向______________．
5. _______________________________叫做平行向量,向量与平行，通常记作______．
6. _______________________________叫做点A相对于点O的位置向量．
三、例题精析：
例题：设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出与、、相等的向量。
O
变式：设O是正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出与、、、相等的向量。
练习：已知D、E、F分别是各边AB、BC、CA的中点，分别写出与相等的向量
四、课堂检测：
1．判断下列命题的真假:
（1） 向量的长度和向量的长度相等. （ ）
（2）向量与平行,则与方向相同. （ ）
（3） 向量与平行,则与方向相反. （ ）
（4） 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同. （ ）
（5） 若与平行同向,且＞，则＞（ ）
（6）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。（ ）
（7） 如果=，则与长度相等。（ ）
（8） 如果=，则与与的方向相同。（ ）
（9） 若=，则与的方向相反。（ ）
（10）若=，则与与的方向没有关系。（ ）
2．关于零向量，下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的。 B 零向量的长度是0
C 零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的。
3．请写出物理上学过的向量_________________
4．给出下列命题：
①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段 正确的有_________________________
五、课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
F
G
H
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高一数学A向量的减法 班级_______姓名：________
编号：17 编制 ：靳宗杰 审核：徐庆明 时间：2009-3-8
一、自学要求：
在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义；并灵活进行向量的减法运算。
二、自学过程：
１．向量的减法的定义：________________________________________________________
２．相反向量：规定与__________________________的向量，叫做的相反向量，记作_____，向量与互为相反向量，，．一个向量减去另一个向量等于加上这个向量__________．
３．向量减法的几何意义：已知，，在平面内任取一点O，作，则_____=，即可以表示为从向量_________的终点指向向量_________的终点的向量，如果向量的终点，到的终点作向量那么得向量是__________．
三、例题精析：
例题：已知平行四边形ABCD，，，用、分别表示向量、
变式练习：
1．在菱形ABCD中，下列各式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
２.在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
四、课堂检测：
１．下列各式中结果为的有（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
２．下列四式中可以化简为的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
３．在下面各式中，不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
４．在△ABC中，向量可表示为（ ）
① ② ③ ④
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
５．已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中则=
A． B． C． D．
６．当C是线段AB的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
7．当向量与__________时，；当向量与___________时，，当向量与_____________时，；
当向量，不共线时，__________．
五、课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
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向量数量积的坐标运算与度量公式学案 班级 姓名
编号：24 编制：姜希河 审核：靳宗杰 时间：2009-3-23
一、自学目标：
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。
2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。
二、自学过程：
1. 向量内积的坐标运算
已知两个非零向量 （坐标形式）。
2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设则_________________
3.平面内两点间的距离公式
（１）设则________________或________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，则：=_______________________________________________（平面内两点间的距离公式）
4.两向量夹角的余弦（0≤≤）
＝__________________________________＝_________________
三、例题精析：
例1设 = (5， 7)， = (6， 4)，求及、间的夹角θ
★变式： 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
★★变式： 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
四、课堂检测：
★1.已知则（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
★2.已知则夹角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
★★3.则__________。
★★4.则
_______ _______
★5.则方向上的坐标为_________
★★6. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且则的夹角为_______
★★7.已知_______（其中为两个相互垂直的单位向量）
★★8.已知则等于（ ）
A.-14 B.-7 C.(7,-7) D.(-7,7)
★★★9.已知则的夹角为（ ）
A.150 B.120 C.60 D.30
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向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案
编号：21 编制：徐庆明 审核：靳宗杰 时间：2009-3-14
一、自学要求
1、理解平面向量的正交分解。联系直角坐标系，研究向量正交分解的坐标运算。
2、会用坐标表示平面向量的加法、减与数乘运算。
二、自学过程 自学教材99-101内容，完成下列问题：
1、如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量 ，如果基底的两个向量互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下 _____________，叫做把向量正交分解。
2、在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数对（x，y）使得____________，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________，其中x叫做在x轴上的坐标分量，y叫做在y轴上的坐标分量。
3、几个特殊向量的坐标表示
4、设向量=（，），的方向相对与x轴的正方向的转角为，由三角函数的定义可知，= ，= 。
5、在直角坐标系中点A的位置被点A的位置向量所惟一确定设点A的坐标为（x，y），则=_____________。
6、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则的坐标为_____________。
7、两个向量和差的坐标运算
已知：，为一实数
则=______________________；
即=_____________________________。
同理将=_____________这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于______________________。
8、数乘向量和坐示运算
=____________
9、向量的坐标表示
若已知,，则=_____________=___________________即一个向量的坐标等于向量________________________。
10、设向量坐标分别是（-1，2），（3，-5）
则=__________________，=__________________
= ______________________，=_________________
11、设则=_________________
12、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A． B．
C． D．
三、例题精析：
例1 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例3已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
四、课堂检测：
1、若点A的坐标是，向量的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且则=（ ）
A．（-8，1） B． C．（-16,2） D．(8,-1)
3、已知，且，则P点的坐标（ ）
A． B． C． D．
4、已知则=（ ）
A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）
5、已知求坐标
6、若已知=（-2，1），=（1，3）,求线段AB中点的M的坐标
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高一数学（A）向量数乘运算 班级_______姓名：________
编号：18 编制 ：靳宗杰 审核：徐庆明 时间：2009-3-９
一、自学要求：
1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2．理解和应用向量数乘的运算律。
二、自学过程：
１．数乘定义：______________________是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）=_________（2）当_________时，的方向与的方向相同；当_______时，的方向与方向相反，当_____________时，=。
2．向量数乘和运算律，设为实数。
（1）_____________；（2）____________；
（3）________________.
三、例题精析：
例1计算下列各式
（１） （２）
例２. 设是未知量，解方程
变式：
四、.课堂检测：
1．=___________。
2．=_____________。
3．=__________。
4．=___________。
5．=___________。
6．=_________ 。
７.点C在线段AB上，且，则。
８.若则（用表示）
９.=（ ）
A． B． C． D．
10．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
五、.课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
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高一数学（A）向量的加法 班级_______姓名：________
编号：16 编制 ：靳宗杰 审核：徐庆明 时间：2009-3-8
一、自学要求：
1掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则则其几何意义。
2 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
二、自学过程：
1.向量加法的三角形法则：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量________叫做与的和，记作_____________，即=_______=__________这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2．向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，（
）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
3、对于零向量与任一向量，我们规定+=___________=_______.
4. 向量加法的交换律是：____________________结合律____________________。
三、例题精析：
例题：某人先位移向量：“向东走3km”，接着再位移向量：“向北走3 km”， 求
变式：一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行300 km，求飞机飞行路程及两次位移的和
四、课堂检测：
1．在平行四边形ABCD中，下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若C是线段AB的中点，则=（ ）
A、 B、 C、 D、O
3．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
4．向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
6．化简
7.当向量与_______________________时，
当向量，不共线时，_______________，
因此我们有______________。
五、课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
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向量在几何中的应用学案 班级 姓名
编号：25 编制：姜希河 审核：徐庆明 时间：2009-3-23
一、自学目标：
体会向量在解决问题中的应用，培养运算及解决问题的能力。
二、自学过程：
★1、的三个顶点坐标分别为A（-2，1）,B（-1，3），C（3.4）则顶点D的坐标为（ ）。
A. (2,1) B. （2，2） C. （1，2） D. （2，3）
★★2.中心为O，P为该平面内任一点，且则______
★★3.已知，＜0，则的形状（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
★★4. 的顶点A（-2，3）， B.（4，-2），重心G（2，-1）则C点的坐标为__________
三、例题精析：
例1.如右图，已知平行四边形ABCD、E、E在对角线BD上，并且.
求证：AECF是平行四边形。
例2.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
例3 求通过A(-1,-2)，且平行于向量的直线方程。
变式：求通过A(2,1)，且与直线平行的直线方程。
例4：已知直线,。求证向量。
四、课堂检测：
★1、求经过点P且平行于向量的直线方程及直线的倾斜角。
（1）P(3,-5) (2) P(-2,0)
★2、求过点P(1,-1)且与向量垂直的直线方程和倾斜角。
★★★3、由下列条件写出直线的一般式方程并求倾斜角：
（1）过点A(2,-3)，平行于向量；
（2）斜率是，过点A(1,4)
（3）过点P(3,2)，垂直与向量。
★★★4 求证三角形的三条中线交与一点。
五、教后反思：
F
A
D
E
C
B
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高一数学（A）向量在物理中的应用 班级 姓名
编号：26 编制：姜希河 审核：徐庆明 时间： 2009-3-23
一、自学要求： 1.掌握解决物理问题（力、位移、速度、加速度等量）的平面向量方法，
2.解题时先将物理问题转化为数学问题再用向量知识解决。
二、自学过程：
.在一平面上，作用于同一点的两个力或三个力处于平衡状态，分别用等式表示 .
三．例题精析
例1.已知两个力=(-1,4),求合力的大小和方向。
变式练习：由坐标原点引分别表示两个力如果力满足求的大小
例2.已知水流速度，船速，求船的实际航行的方向和航速。
变式练习：河水自西向东流速为3m/s,轮船向北偏西方向航速为3 m/s,求轮船实际航行方向和航速。
四．课堂检测：
★1、某人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度在大小为（ ）.
A． B． C． D．
★2、用力F推动一物体水平运动,设F运动方向夹角为，则对物体所做的功为（ ）
A． B． C． D．
★3、作用于原点的两个力，为使它们平衡，需要加力=________________
★★4、某人以时速为向东行走，此时正刮着时速为的南风，则此人感到风向及风速分别的为（ ）
A．东北， B．东南，
C．西南， D．东南，
★★5.已知一物体在共点力的作用下产生位移则共点力对物体做的功W为（ ）
A. lg2 B. lg5 C. 1 D. 2
★★6. 力共同作用在某质点上，已知互相垂直，则质点所受合力为_________。
★★★7.一辆汽车从A地出发向西行驶了100km到过B地，然后又改变方向向北偏西400走了200km到达C地，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D地，求这辆汽车的位移。
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用平面向量坐标表示向量共线条件学案
编号：22 编制：徐庆明 审核：靳宗杰 时间：2009-3-14
一、自学目标：
1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
二、自学过程：自学教材，完成下列题目：
1、若则存在唯一实数使 ；反之，若存在唯一实数，使 ，则
2、设，其中则等价于______________________。
三、例题精析：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
课堂检测：
1、已知，且，则x=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2、已知且与共线，则y=( )
A．-6 B．6 C．3 D．-3
3、已知与平行且方向相反的向量的是（ ）
A． B． C． D．
4、已知，且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5、已知：与平行的向量的坐标可以是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
6、下列各组向量相互平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7、已知A（-1，7）、B（1，1）、C（2，3）、D（6，19），则与的关系为（ ）
A．不共线 B．共线 C．相交 D．以上均不对
8、已知判断与是否共线？
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高一数学A平面向量的基本定理学案
编号：20编制：徐庆明 审核：靳宗杰 时间：2009-3-14
一、自学要求
1.了解平面向量的基本定理及其意义;
2.运用平面向量的基本定理解决相关问题.
二、自学过程
1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底，记作 。叫做向量关于基底的分解式。
2.直线的向量参数式方程是 。
3、线段AB的中点M的向量表达式是 。
三、例题精析：
例1 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用基底，表示，，和
例2已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例3（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例4 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂检测（约15分钟）
1. 设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. -和- B. 3-2和4-6
C. +2和2+ D. +和
2. 已知不共线， =+，=4 +2，并且，共线，则下列各式正确的是（ ）
A. =1， B. =2， C. =3， D. =4
3.设=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）
A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. Ｂ，Ｃ，Ｄ
4．下列说法中，正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③
5．已知是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ）
①+（，为实数）可以表示该平面内所有向量； ②若有实数，使+＝，则＝＝０。
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对
6．已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（ ）
Ａ．（ － ） Ｂ． －（ － ）
Ｃ．－（ ＋） Ｄ．（ ＋）
7．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝，则＝（ ）
Ａ．（ － ） Ｂ． －（ － ）
Ｃ．＋ Ｄ．（ ＋）
8．如果３+４＝，２+３＝，其中，为已知向量，则＝ ，＝ 。
9．已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 。
【注意】：
１．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。
２．平面向量的基本定理中“同一平面内两个不共线的向量、”叫做基底，基底的条件是在同一平面内不共线，即同一平面内的两个向量、只要不共线即可作为基底.
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