2023-2024学年数学八年级直角三角形单元测试试题（湘教版）基础卷二含解析

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2023-2024学年数学八年级直角三角形（湘教版）
单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为（ ）
A．5 B．10 C．8 D．12
2．（本题3分）三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
3．（本题3分）如图，在中，点D为边延长线上的一点，于点F，交于点E，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．，的长是，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
7．（本题3分）如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（　　）
A．25 B．50 C． D．
8．（本题3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．（本题3分）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①是直角三角形；②；③；④．四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10．（本题3分）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，为的中点，，则的长是 ．
12．（本题3分）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ．
13．（本题3分）快过年了，小明和妈妈去商场，发现如图是商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度等于 ．
14．（本题3分）如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为25，74，则正方形的边长为 ．

15．（本题3分）如图，矩形中，，，为的中点，将绕着点旋转得到，连接．以为边作等边（点、、按顺时针方向排列），连接，则的最小值为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交、于点F、E，若，则的度数为 ．
17．（本题3分）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ．
18．（本题3分）如图，在中，，，是的高上一个动点，以点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，在和中，，，，求证：．

20．（本题8分）如图，是的垂直平分线，交于点C，，求的度数．

21．（本题8分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)求的度数．
22．（本题8分）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
23．（本题10分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直离度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
24．（本题12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点、、和点均在小正方形的顶点上．

(1)将绕着点逆时针旋转得到（点、对应点分别是点、），在图中画出；
(2)在图中画出，使点在线段的右侧，，且面积为4；
(3)连接，直接写出的长．
25．（本题12分）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中有一个角等于，它所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】因为直角三角形所对的直角边为5，
所以斜边长为．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等．
故选：D
3．C
【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据题意求得，即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】在中，应用勾股定理，求出，根据作图即可求出的长度，即可求解，本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出的长度．
【详解】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3，
，
在中，，
由作图可知，，
的值为，
故选：．
5．C
【分析】本题考查的是含30度角直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．作交的延长线于E，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：作交的延长线于E，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质，过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：过点作于点，
根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰，然后利用勾股定理，得到，解方程即可．
【详解】解：如图，过点A作于点C，
∵直线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，（舍去）．
∴两平行线和之间的距离为．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解．
【详解】解：在中，，
根据折叠的性质可知：．
∴．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确
【详解】解：过E作于F，如图，
∵，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，，故③错误；
在和中，
，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，即是直角三角形，故①正确．
因此正确的有①②④，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解： A、如图：
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
11．3
【分析】本题考查的是直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵，D是中点，，
∴
故答案为：3．
12．6
【分析】本题考查了角平分线的性质，理解“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
过点作于点，根据角平分线的性质可得，据此求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
即点到的距离为6．
故答案为：6．
13．9
【分析】本题考查了含角的直角三角形的特征，根据含角的直角三角形的特征即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：在中，
，，
，
故答案为：9．
14．7
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：在中，，
，
，
∴，
故答案为：7．
15．
【分析】本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，如图，连接，延长到，使得，连接，，．证明，推出，利用勾股定理求出，根据，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，延长到，使得，连接，，．
四边形是矩形，
，
，，
，
∵,
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，，
，
∴，
，
，，，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
16．120
【分析】本题考查了指教三角形的性质，角平分线的意义，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的意义得出，继而得到，再根据对顶角相等得出，最后根据补角的意义求解即可．
【详解】∵，为边上的高，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：120．
17．2
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明 得到，然后计算即可；
本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分；也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
18．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
在上截取，根据等腰直角三角形的性质求得和，再证明，从而可得到，则当时，有最小值，即有最小值，再求得，从而求得的最小值．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，，，
∵以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，，
∴
∴，
∴．
即的最小值是．
故答案为：．
19．见解析
【分析】根据“”证明，即可证明．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查直角三角形全等的判定：，掌握直角三角形全等的判定，是解答本题的关键．
20．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键．
（1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论；
（2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：是高，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）解：，
，
、是角平分线，
，
是的外角，
．
22．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设树，
过点C作于E，
由题意得，，
∴，
∴（平行线间间距相等），
同理得，
∴，
∴，
∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米．
23．(1)线段的长为米
(2)他应该再放出8米长的线
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，在中，，，，

由勾股定理，可得：
，
（米）．
答：线段的长为米．
（2）解：如图，当风筝沿方向再上升12米，，

在中，，，
由勾股定理，可得，
则应该再放出（米），
答：他应该再放出8米长的线．
24．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查了旋转变换、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相知识和勾股定理的应用是解题关键．
（1）根据旋转的性质，确定旋转后点、的对应点、，然后顺次连接即可；
（2）取中点，过点作，取，连接，即可获得答案；
（3）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图所示，取中点，过点作，取，连接，则即为所求；
证明如下：∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
又∵，，
∴；
（3）如图所示，连接，
由勾股定理可得，．
25．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：证明：，
，
是边上的中线，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
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