2023-2024学年数学八年级勾股定理单元测试试题（人教版（五四制））基础卷二含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级勾股定理单元测试试题（人教版（五四制））基础卷二含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-07 20:14:10 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版（五四制））
单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，钓鱼竿的长为5.4米，露在水面上的鱼线长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为4.2米，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（本题3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（本题3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．5，7，8 B．1，2，3 C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，分别以，，为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积s的值为（ ）
A．64 B．8 C．2 D．34
5．（本题3分）下列各组数，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ）
A． B． C． D．或
7．（本题3分）如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（本题3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13
9．（本题3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中，，，点对应直尺的刻度为，将该三角尺沿直尺边缘平移，使移动到，点对应直尺的刻度为，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，中，，，，则以为边长的正方形的面积是 ．
12．（本题3分）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
13．（本题3分）如图，正方形A的面积为 ．
14．（本题3分）如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为 cm．
15．（本题3分）在中，斜边，则 ．
16．（本题3分）在中，，，是三角形的三条边，，，，则 ．
17．（本题3分）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中．
18．（本题3分）一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？
20．（本题8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．
21．（本题8分）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．
{问题探索}问题：如图1，已知、是余对角四边形的对角线，，．求证：．
探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，得，连接．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．
22．（本题10分）在中，，，，判断是否是直角三角形．
23．（本题10分）已知某校有一块四边形空地如图，现计划在该空地上种草皮，经测量，，，，．若种每平方米草皮需120元，需投入多少元？
24．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
25．（本题12分）如图，在四边形中，，，，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线交于点F，交于点O．
请回答：
(1)直线与线段的关系是_______．
(2)若，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理分别求出和，再根据．
【详解】解：米，
米，
∴米，
故选C．
2．B
【分析】本题主要考查了点到原点的距离求法，利用勾股定理结合坐标计算即可．
【详解】解：点到原点的距离是．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断是否能构成直角三角形，需验证两个较小边的平方和是否等于最长边的平方．根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理逐一判断即可得答案．．
【详解】解：A.，不能构成三角形；
B.，不能构成三角形；
C.，能构成直角三角形；
D..，不能构成直角三角形；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积S．
【详解】解：由题意得，
，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边进行验证勾股定理的逆定理即可得出答案，牢记勾股数和准确计算是解题的关键．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当3和4是直角边时；当3是直角边，4是斜边时；运用勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：当3和4是直角边时，
在直角三角形中，第三边长为；
当3是直角边，4是斜边时，
在直角三角形中，第三边长为；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一，先根据勾股定理得出，再根据等腰三角形的性质得出．
【详解】解：如图，在中，，，，
由勾股定理知：，
∵，平分交于点E，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
C、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
D、由，该组数是勾股数，符合题意；
故选：D．
9．D
【分析】此题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，数形结合是解题的关键．根据勾股定理得到，根据内部小正方形面积为9得到，解得，再由最外围的大正方形的边长是即可求出答案．
【详解】解：小长方形的宽是a，长是b，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∵内部小正方形面积为9，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴最外围的大正方形的边长是，
故选：D
10．A
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和平移的性质是解题的关键．连接，过点作，交的延长线于点，则，由题意可知，再根据平移的性质得，，，推出，进而得到，然后由角的直角三角形的性质得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作，则，
根据题意得：，
由平移的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
即点到的距离是，
故选：A．
11．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键，先求解，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
所以以为边长的正方形的面积为．
故答案为．
12．
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
13．100
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．
14．
【分析】由的直角三角形的特点可得，根据可得，进一步根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了的直角三角形、勾股定理等．推出是解题关键．
15．8
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由可得，代入即可求值．
【详解】解：在中，斜边，
∴，
∴，
故答案为：8．
16．
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
17．5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意知，．
过A作于E．则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴它至少需要才能赶回巢中．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定为直角三角形，并且根据勾股定理计算是解题的关键．根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算的长度，在直角中，已知可以求得的长．
【详解】解：如图，
因为东北和东南的夹角为，所以为直角三角形．
在中，()，
()．
则()．
故答案为： ．
19．
【分析】本题考查了勾股定理的运用：易得根据勾股定理列式化简计算，即可作答．
【详解】解：依题意。
∵
∴
∴小明家距离体育中心为．
20．够用，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接．
，，，
．
∵，
是直角三角形，且．
∴四边形的面积为：
．
所以所需费用为：（万元）．
，
∴投入的费用够用．
21．证明过程见详解
【分析】是等边三角形，通过构造等边三角形，结合余对角四边形得出，在由勾股定理即可求解．
【详解】证明：∵，，
∴是等边三角形，
∵将绕点顺时针方向旋转，得，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵四边形为余对角四边形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵，，
∴，
故证明．
【点睛】本题主要考查等边三角形的变换问题，通过构造等边三角形，结合余对角四边形找出直角三角形，利用勾股定理即可求解，解题的关键在于将线条构造到直角三角形中．
22．是直角三角形
【分析】根据题中的三边长：，，，利用勾股定理的逆定理直接判定即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键．
23．元
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可．
【详解】在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴需要投入．
24．36
【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，最后根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
，
为直角三角形，
，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，
，
．
25．(1)直线垂直平分线段；
(2)．
【分析】（1）本题掌握垂直平分线基本作图过程，即可解题．
（2）本题连接，根据垂直平分线性质得到，利用平行线性质和等腰三角形性质得到，推出、的长，最后利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】（1）解：根据作图过程可知：
直线与线段的关系是：直线垂直平分线段；
故答案为：直线垂直平分线段；
（2）解：如图，连接，
直线垂直平分线段BD，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线基本作图、垂直平分线性质、平行线性质、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版（五四制））
单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，钓鱼竿的长为5.4米，露在水面上的鱼线长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为4.2米，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（本题3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（本题3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．5，7，8 B．1，2，3 C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，分别以，，为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积s的值为（ ）
A．64 B．8 C．2 D．34
5．（本题3分）下列各组数，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ）
A． B． C． D．或
7．（本题3分）如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（本题3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13
9．（本题3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中，，，点对应直尺的刻度为，将该三角尺沿直尺边缘平移，使移动到，点对应直尺的刻度为，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，中，，，，则以为边长的正方形的面积是 ．
12．（本题3分）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
13．（本题3分）如图，正方形A的面积为 ．
14．（本题3分）如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为 cm．
15．（本题3分）在中，斜边，则 ．
16．（本题3分）在中，，，是三角形的三条边，，，，则 ．
17．（本题3分）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中．
18．（本题3分）一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？
20．（本题8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．
21．（本题8分）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．
{问题探索}问题：如图1，已知、是余对角四边形的对角线，，．求证：．
探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，得，连接．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．
22．（本题10分）在中，，，，判断是否是直角三角形．
23．（本题10分）已知某校有一块四边形空地如图，现计划在该空地上种草皮，经测量，，，，．若种每平方米草皮需120元，需投入多少元？
24．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
25．（本题12分）如图，在四边形中，，，，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线交于点F，交于点O．
请回答：
(1)直线与线段的关系是_______．
(2)若，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理分别求出和，再根据．
【详解】解：米，
米，
∴米，
故选C．
2．B
【分析】本题主要考查了点到原点的距离求法，利用勾股定理结合坐标计算即可．
【详解】解：点到原点的距离是．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断是否能构成直角三角形，需验证两个较小边的平方和是否等于最长边的平方．根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理逐一判断即可得答案．．
【详解】解：A.，不能构成三角形；
B.，不能构成三角形；
C.，能构成直角三角形；
D..，不能构成直角三角形；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积S．
【详解】解：由题意得，
，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边进行验证勾股定理的逆定理即可得出答案，牢记勾股数和准确计算是解题的关键．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当3和4是直角边时；当3是直角边，4是斜边时；运用勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：当3和4是直角边时，
在直角三角形中，第三边长为；
当3是直角边，4是斜边时，
在直角三角形中，第三边长为；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一，先根据勾股定理得出，再根据等腰三角形的性质得出．
【详解】解：如图，在中，，，，
由勾股定理知：，
∵，平分交于点E，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
C、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
D、由，该组数是勾股数，符合题意；
故选：D．
9．D
【分析】此题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，数形结合是解题的关键．根据勾股定理得到，根据内部小正方形面积为9得到，解得，再由最外围的大正方形的边长是即可求出答案．
【详解】解：小长方形的宽是a，长是b，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∵内部小正方形面积为9，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴最外围的大正方形的边长是，
故选：D
10．A
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和平移的性质是解题的关键．连接，过点作，交的延长线于点，则，由题意可知，再根据平移的性质得，，，推出，进而得到，然后由角的直角三角形的性质得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作，则，
根据题意得：，
由平移的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
即点到的距离是，
故选：A．
11．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键，先求解，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
所以以为边长的正方形的面积为．
故答案为．
12．
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
13．100
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．
14．
【分析】由的直角三角形的特点可得，根据可得，进一步根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了的直角三角形、勾股定理等．推出是解题关键．
15．8
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由可得，代入即可求值．
【详解】解：在中，斜边，
∴，
∴，
故答案为：8．
16．
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
17．5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意知，．
过A作于E．则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴它至少需要才能赶回巢中．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定为直角三角形，并且根据勾股定理计算是解题的关键．根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算的长度，在直角中，已知可以求得的长．
【详解】解：如图，
因为东北和东南的夹角为，所以为直角三角形．
在中，()，
()．
则()．
故答案为： ．
19．
【分析】本题考查了勾股定理的运用：易得根据勾股定理列式化简计算，即可作答．
【详解】解：依题意。
∵
∴
∴小明家距离体育中心为．
20．够用，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接．
，，，
．
∵，
是直角三角形，且．
∴四边形的面积为：
．
所以所需费用为：（万元）．
，
∴投入的费用够用．
21．证明过程见详解
【分析】是等边三角形，通过构造等边三角形，结合余对角四边形得出，在由勾股定理即可求解．
【详解】证明：∵，，
∴是等边三角形，
∵将绕点顺时针方向旋转，得，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵四边形为余对角四边形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵，，
∴，
故证明．
【点睛】本题主要考查等边三角形的变换问题，通过构造等边三角形，结合余对角四边形找出直角三角形，利用勾股定理即可求解，解题的关键在于将线条构造到直角三角形中．
22．是直角三角形
【分析】根据题中的三边长：，，，利用勾股定理的逆定理直接判定即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键．
23．元
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可．
【详解】在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴需要投入．
24．36
【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，最后根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
，
为直角三角形，
，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，
，
．
25．(1)直线垂直平分线段；
(2)．
【分析】（1）本题掌握垂直平分线基本作图过程，即可解题．
（2）本题连接，根据垂直平分线性质得到，利用平行线性质和等腰三角形性质得到，推出、的长，最后利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】（1）解：根据作图过程可知：
直线与线段的关系是：直线垂直平分线段；
故答案为：直线垂直平分线段；
（2）解：如图，连接，
直线垂直平分线段BD，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线基本作图、垂直平分线性质、平行线性质、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
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