广东省江门市2023-2024学年高二上学期调研测试（一）（1月期末）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二上·江门月考）过点与平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·江门月考）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·江门月考）若，则（ ）
A．-8 B．-10 C．8 D．10
4．（2024高二上·江门月考）已知等差数列的前项和为-196，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2024高二上·江门月考）两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点，当直线经过抛物线的焦点时，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二上·江门月考）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．，或
C． D．，或
7．（2024高二上·江门月考）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·江门月考）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A． B． C． D．
二、/span> 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二上·江门月考）在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．直线的倾斜角不存在 B．直线与直线的倾斜角相等
C．直线与直线的斜率之和为0 D．点到直线的距离为
10．（2024高二上·江门月考）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（ ）
A．四点共面
B．
C．为直线的方向向量
D．
11．（2024高二上·江门月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则（ ）
A． B．为递减数列
C．若，则，且 D．当或时，取得最大值
12．（2024高二上·江门月考）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（ ）
A．的面积的最大值为2 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·江门月考）直线被圆截得的弦长为 .
14．（2024高二上·江门月考）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
15．（2024高二上·江门月考）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 .
16．（2024高二上·江门月考）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 .
四、/span> 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·江门月考）已知等差数列和等比数列满足，设数列的公比为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
18．（2024高二上·江门月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.
19．（2024高二上·江门月考）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值.
20．（2024高二上·江门月考）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，是的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21．（2024高二上·江门月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
22．（2024高二上·江门月考）已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：设所求直线方程为x-y+D=0 ，将（-2，0）代入得-2-0+D=0 ，所以D=2.
所以所求直线方程为x-y+2=0.
故答案为：C.
【分析】设出平行直线系方程，将（-2，0）代入即可求解.
2．【答案】D
【知识点】圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解： 因为方程表示一个圆， 所以.
所以 实数的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】根据圆的一般方程是圆的条件，代入即可求解.
3．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用向量加减法、数量积运算法则代入计算即可.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 等差数列中，公差d=-3-(-1)=-2，
所以前n项和为.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列求和公式列方程，解出即可.
5．【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设A()，B，联立得，同理，
因为直 线经过抛物线的焦点（1，0），所以 ，
所以 A(1，2)、B(1，-2)或B(1，2)、A(1，-2)，所以.
故答案为：D.
【分析】联立直线与抛物线方程，表示A、B坐标，利用直线经过焦点，求得k的值，从而得A、B坐标，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为 椭圆的对称轴为坐标轴，面积为 ，所以，
因为两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形， 所以b=c，又，所以，
所以所求椭圆方程为 ，或 .
故答案为：B.
【分析】根据椭圆面积、a、b、c关系结合b=c，解方程组求得a、b，即可得椭圆方程.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 渐近线 方程为， 双曲线渐近线的斜率的绝对值小于 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据双曲线 渐近线 方程为，得代入离心率公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：因为，同理，
所以就是 二面角的平面角，即，
设正方形边长为2，则
因为 分别为的中点， 所以
所以
，
所以.
故答案为：A.
【分析】先确定及的大小，然后根据求出即可.
9．【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：对于A，因为A（2，0），C（2，4）所以直线AC斜率不存在，所以倾斜角为，故A错误.
对于B， 直线与直线的斜率分别为 ，所以倾斜角不相等，
故B错误.
对于C，，故C正确.
对于D，直线AB的方程为y=-2x+4，即2x+y-4=0，所以 点到直线的距离为 ，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，根据A（2，0），C（2，4）横坐标相等得直线AC斜率不存在，倾斜角为，故A错误.
对于B， 求出直线与直线的斜率不相等，得倾斜角不相等，故B错误.
对于C，直线与直线的斜率相加为0，故C正确.
对于D，先求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式即可判断D正确.
10．【答案】A,C
【知识点】向量加减混合运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面的基本性质及推论；平行公理；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，
所以E，F，G，H四点共面，故A正确.
对于B，因为所以四边形EFGH是平行四边形，但不一定是菱形，
所以EG和FH不一定垂直，不一定成立，B错误.
对于C，因为，所以EH为直线BD的方向向量，故C正确.
对于D，，
故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据三角形中位线定理及公理4证得由公理3即可判断A正确.同理证得四边形EFGH为平行四边形，可判断B错误.根据方向向量定义可判断C正确.根据线段中点的向量表达式求出可判断D错误.
11．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 【解答】解： 等差数列中，前项和为，公差为 d，，故A、B正确.
若则，
所以若，则，且，故C错误.
，
当或时，取得最大值 为，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】利用列方程组解出即可判断A、B正确，根据等差数列前n项和公式代入，解出n即可判断C错误.将前n项和配方，由，即可判断D正确.
12．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：过的直线斜率不存在时，不符合题意.
当斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1)，
联立得或，
所以，故B、C正确.
所以 ，故A错误.
因为，所以，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】联立方程转化为关于x或y的一元二次方程，根据韦达定理即可判断B、C正确，将根与系数关系代入面积公式变形即可判断A错误.利用向量相等求出 ，即可判断D正确.
13．【答案】2
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由 得圆心O（2，0），半径r=2.
过O作OC弦AB于C，连接OA，则O到直线的距离，
所以.
故答案为：2.
【分析】根据圆方程求得圆心、半径，构造直角三角形，利用垂径定理及勾股定理即可求得.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 双曲线渐近线 方程为 ，双曲线焦点在轴上 ，所以，
取a=，b=1，所求双曲线方程为.
故答案为：.
【分析】先求出渐近线方程，根据焦点在y轴，取值即可.
15．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列中，
所以所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据累加法求得，代入求得，然后裂项求和法求和即可.
16．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：解析：在正三棱柱ABC-ABC中，在平面ABC内过点A作Ay AB，
则射线AB，Ay，AA，两两垂直，因此以点A为原点，直线AB，Ay， AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系如图所示.
因为正三棱柱ABC-ABC的所有棱长均为1，
所以 B(1，0，0)，B(1，0，1)，，所以
因为动点P在线段AB1上，所以令
所以，所以点 P到直线BC1距离，
当且仅当t=时，点 P到直线BC1距离最小值为，所以 面积的最小值为 .
故答案为：.
【分析】以点A为原点，直线AB，Ay， AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，求出各点坐标求出，，根据空间向量点到直线距离公式求出d的最小值，代入三角形面积公式即可.
17．【答案】（1）设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
.
（2）由（1）有，
因为
所以数列是以首项为4，公比为的等比数列
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式列方程组，求出公差、公比，代入相应通项公式即可.
(2)代入求得数列是以首项为4，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式即可.
18．【答案】（1）方法一：由题意知，又因为，
所以
由已知有，且为平面内两相交直线，
所以
又因为
所以.
方法二：因为平面，平面，
所以，，
因为，
所以，
所以，，即.
（2）方法一：由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
另外一种建系方式
由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别
为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
方法二：以为基底，不妨令，
，，
所以；
设求异面直线与所成角为，
，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；异面直线
【解析】【分析】（1）方法一：根据线面垂直判定证明即可证得.
方法二：根据向量数量积为0即垂直，证得即可.
（2）以为坐标原点，所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求出各点坐标，利用向量夹角公式代入即可求解.
19．【答案】（1）设动点，
由题意有
即
同时平方，有
整理得：
所以曲线的方程为
（2）联立方程
消去得（*）
①当即时，方程（*）有1个根，符合题意.
②当即时，
因为直线与曲线有1个公共点
故
解得：
综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点
【知识点】轨迹方程；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设点，找关系 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 代入坐标，化简即可.
（2）联立方程转化为关于x的一元二次方程，讨论二次项系数，时，方程有唯一解，求出k即可.
20．【答案】（1）证明：取的中点，连接
因为是正三角形，
所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD.
因为平面ABCD，
所以.
因为是AB的中点，
所以.
又因为底面ABCD是菱形，
所以，
所以.
因为，平面，
所以平面PEF.
因为平面PEF，
所以.
（2）连接，因为，
所以是正三角形，
所以.
以为坐标原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
令，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设面与面夹角为，
所以面与面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由面面垂直性质证得平面ABCD.从而得，结合三角形中位线得到的，得，利用线面垂直判定证得平面PEF即可.
（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，求出各点坐标，然后求出 平面与平面 的法向量，两法向量夹角余弦即为 平面与平面夹角的余弦值.
21．【答案】（1）解法一：设等比数列的公比为，
时，
时，.
，
，
解法二：
两式相减得：
即
为等比数列，设公比为，则
时，即
（2）由（1）得，由题得，
，
，
两式相减得
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）解法一：求出公比、首项，利用等比数列通项公式求解即可.
解法二：利用，得为公比为3的等比数列，求得公比、首项，利用等比数列通项公式求解即可.
（2）根据，求得，，然后利用错位相减法求和即可.
22．【答案】（1）∵，直线的斜率为1，
∴直线的方程为：
代入椭圆方程得：化简得：
设，则有
所以为.
（2）由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，
由方程组，消去整理得
，
直线：，令得：
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线
【知识点】直线的斜率；三点共线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）求出直线的方程，与椭圆方程联立，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系代入弦长公式计算即可.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，转化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系，求得直线与直线斜率相等且有公共点，即可证得.
1 / 1广东省江门市2023-2024学年高二上学期调研测试（一）（1月期末）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二上·江门月考）过点与平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：设所求直线方程为x-y+D=0 ，将（-2，0）代入得-2-0+D=0 ，所以D=2.
所以所求直线方程为x-y+2=0.
故答案为：C.
【分析】设出平行直线系方程，将（-2，0）代入即可求解.
2．（2024高二上·江门月考）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解： 因为方程表示一个圆， 所以.
所以 实数的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】根据圆的一般方程是圆的条件，代入即可求解.
3．（2024高二上·江门月考）若，则（ ）
A．-8 B．-10 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用向量加减法、数量积运算法则代入计算即可.
4．（2024高二上·江门月考）已知等差数列的前项和为-196，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 等差数列中，公差d=-3-(-1)=-2，
所以前n项和为.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列求和公式列方程，解出即可.
5．（2024高二上·江门月考）两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点，当直线经过抛物线的焦点时，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设A()，B，联立得，同理，
因为直 线经过抛物线的焦点（1，0），所以 ，
所以 A(1，2)、B(1，-2)或B(1，2)、A(1，-2)，所以.
故答案为：D.
【分析】联立直线与抛物线方程，表示A、B坐标，利用直线经过焦点，求得k的值，从而得A、B坐标，即可求解.
6．（2024高二上·江门月考）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为 椭圆的对称轴为坐标轴，面积为 ，所以，
因为两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形， 所以b=c，又，所以，
所以所求椭圆方程为 ，或 .
故答案为：B.
【分析】根据椭圆面积、a、b、c关系结合b=c，解方程组求得a、b，即可得椭圆方程.
7．（2024高二上·江门月考）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 渐近线 方程为， 双曲线渐近线的斜率的绝对值小于 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据双曲线 渐近线 方程为，得代入离心率公式计算即可.
8．（2024高二上·江门月考）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：因为，同理，
所以就是 二面角的平面角，即，
设正方形边长为2，则
因为 分别为的中点， 所以
所以
，
所以.
故答案为：A.
【分析】先确定及的大小，然后根据求出即可.
二、/span> 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二上·江门月考）在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．直线的倾斜角不存在 B．直线与直线的倾斜角相等
C．直线与直线的斜率之和为0 D．点到直线的距离为
【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：对于A，因为A（2，0），C（2，4）所以直线AC斜率不存在，所以倾斜角为，故A错误.
对于B， 直线与直线的斜率分别为 ，所以倾斜角不相等，
故B错误.
对于C，，故C正确.
对于D，直线AB的方程为y=-2x+4，即2x+y-4=0，所以 点到直线的距离为 ，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，根据A（2，0），C（2，4）横坐标相等得直线AC斜率不存在，倾斜角为，故A错误.
对于B， 求出直线与直线的斜率不相等，得倾斜角不相等，故B错误.
对于C，直线与直线的斜率相加为0，故C正确.
对于D，先求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式即可判断D正确.
10．（2024高二上·江门月考）如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（ ）
A．四点共面
B．
C．为直线的方向向量
D．
【答案】A,C
【知识点】向量加减混合运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面的基本性质及推论；平行公理；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，
所以E，F，G，H四点共面，故A正确.
对于B，因为所以四边形EFGH是平行四边形，但不一定是菱形，
所以EG和FH不一定垂直，不一定成立，B错误.
对于C，因为，所以EH为直线BD的方向向量，故C正确.
对于D，，
故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据三角形中位线定理及公理4证得由公理3即可判断A正确.同理证得四边形EFGH为平行四边形，可判断B错误.根据方向向量定义可判断C正确.根据线段中点的向量表达式求出可判断D错误.
11．（2024高二上·江门月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则（ ）
A． B．为递减数列
C．若，则，且 D．当或时，取得最大值
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 【解答】解： 等差数列中，前项和为，公差为 d，，故A、B正确.
若则，
所以若，则，且，故C错误.
，
当或时，取得最大值 为，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】利用列方程组解出即可判断A、B正确，根据等差数列前n项和公式代入，解出n即可判断C错误.将前n项和配方，由，即可判断D正确.
12．（2024高二上·江门月考）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（ ）
A．的面积的最大值为2 B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：过的直线斜率不存在时，不符合题意.
当斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1)，
联立得或，
所以，故B、C正确.
所以 ，故A错误.
因为，所以，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】联立方程转化为关于x或y的一元二次方程，根据韦达定理即可判断B、C正确，将根与系数关系代入面积公式变形即可判断A错误.利用向量相等求出 ，即可判断D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·江门月考）直线被圆截得的弦长为 .
【答案】2
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由 得圆心O（2，0），半径r=2.
过O作OC弦AB于C，连接OA，则O到直线的距离，
所以.
故答案为：2.
【分析】根据圆方程求得圆心、半径，构造直角三角形，利用垂径定理及勾股定理即可求得.
14．（2024高二上·江门月考）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 双曲线渐近线 方程为 ，双曲线焦点在轴上 ，所以，
取a=，b=1，所求双曲线方程为.
故答案为：.
【分析】先求出渐近线方程，根据焦点在y轴，取值即可.
15．（2024高二上·江门月考）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 .
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列中，
所以所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据累加法求得，代入求得，然后裂项求和法求和即可.
16．（2024高二上·江门月考）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：解析：在正三棱柱ABC-ABC中，在平面ABC内过点A作Ay AB，
则射线AB，Ay，AA，两两垂直，因此以点A为原点，直线AB，Ay， AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系如图所示.
因为正三棱柱ABC-ABC的所有棱长均为1，
所以 B(1，0，0)，B(1，0，1)，，所以
因为动点P在线段AB1上，所以令
所以，所以点 P到直线BC1距离，
当且仅当t=时，点 P到直线BC1距离最小值为，所以 面积的最小值为 .
故答案为：.
【分析】以点A为原点，直线AB，Ay， AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，求出各点坐标求出，，根据空间向量点到直线距离公式求出d的最小值，代入三角形面积公式即可.
四、/span> 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·江门月考）已知等差数列和等比数列满足，设数列的公比为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
【答案】（1）设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
.
（2）由（1）有，
因为
所以数列是以首项为4，公比为的等比数列
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式列方程组，求出公差、公比，代入相应通项公式即可.
(2)代入求得数列是以首项为4，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式即可.
18．（2024高二上·江门月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）方法一：由题意知，又因为，
所以
由已知有，且为平面内两相交直线，
所以
又因为
所以.
方法二：因为平面，平面，
所以，，
因为，
所以，
所以，，即.
（2）方法一：由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
另外一种建系方式
由题意知，以为坐标原点，所在的直线分别
为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
方法二：以为基底，不妨令，
，，
所以；
设求异面直线与所成角为，
，
故异面直线与所成夹角的余弦值为.
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；异面直线
【解析】【分析】（1）方法一：根据线面垂直判定证明即可证得.
方法二：根据向量数量积为0即垂直，证得即可.
（2）以为坐标原点，所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求出各点坐标，利用向量夹角公式代入即可求解.
19．（2024高二上·江门月考）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值.
【答案】（1）设动点，
由题意有
即
同时平方，有
整理得：
所以曲线的方程为
（2）联立方程
消去得（*）
①当即时，方程（*）有1个根，符合题意.
②当即时，
因为直线与曲线有1个公共点
故
解得：
综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点
【知识点】轨迹方程；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设点，找关系 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 代入坐标，化简即可.
（2）联立方程转化为关于x的一元二次方程，讨论二次项系数，时，方程有唯一解，求出k即可.
20．（2024高二上·江门月考）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，是的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接
因为是正三角形，
所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD.
因为平面ABCD，
所以.
因为是AB的中点，
所以.
又因为底面ABCD是菱形，
所以，
所以.
因为，平面，
所以平面PEF.
因为平面PEF，
所以.
（2）连接，因为，
所以是正三角形，
所以.
以为坐标原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
令，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设面与面夹角为，
所以面与面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由面面垂直性质证得平面ABCD.从而得，结合三角形中位线得到的，得，利用线面垂直判定证得平面PEF即可.
（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，求出各点坐标，然后求出 平面与平面 的法向量，两法向量夹角余弦即为 平面与平面夹角的余弦值.
21．（2024高二上·江门月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）解法一：设等比数列的公比为，
时，
时，.
，
，
解法二：
两式相减得：
即
为等比数列，设公比为，则
时，即
（2）由（1）得，由题得，
，
，
两式相减得
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）解法一：求出公比、首项，利用等比数列通项公式求解即可.
解法二：利用，得为公比为3的等比数列，求得公比、首项，利用等比数列通项公式求解即可.
（2）根据，求得，，然后利用错位相减法求和即可.
22．（2024高二上·江门月考）已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
【答案】（1）∵，直线的斜率为1，
∴直线的方程为：
代入椭圆方程得：化简得：
设，则有
所以为.
（2）由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，
由方程组，消去整理得
，
直线：，令得：
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线
【知识点】直线的斜率；三点共线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）求出直线的方程，与椭圆方程联立，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系代入弦长公式计算即可.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，转化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系，求得直线与直线斜率相等且有公共点，即可证得.
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