天津市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月过程性诊断（2）试卷
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．（2023高一上·天津市月考）向量，，，则（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
2．（2023高一上·天津市月考）已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023高一上·天津市月考）已知抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023高一上·天津市月考）已知直线：与：平行，则的值是（ ）
A．5 B．0或5 C．0 D．0或1
5．（2023高一上·天津市月考）已知等比数列中，，且，那么=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
6．（2023高一上·天津市月考）在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·天津市月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．40 B．70 C．90 D．100
8．（2023高一上·天津市月考）在数列中，，（，），则（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2023高一上·天津市月考）设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为e，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小5分，共30分）
10．（2023高一上·天津市月考）已知，若直线：与直线：相互垂直，则 .
11．（2023高一上·天津市月考）已知圆与相交于A，B两点，则直线的方程是 ．
12．（2023高一上·天津市月考）已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时， ．
13．（2023高一上·天津市月考）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是 .
14．（2023高二上·哈尔滨期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
15．（2023高一上·天津市月考）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题
16．（2023高一上·天津市月考）已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）从点向圆C作切线，求切线方程．
17．（2023高一上·天津市月考）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.
（1）求等比数列的通项公式和前n项和；
（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值.
（3）求数列的前项和
18．（2023高一上·天津市月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
19．（2023高一上·天津市月考）已知正项数列的前项和为，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列前n项和
（3）若，数列的前项和为，求的取值范围；
20．（2023高一上·天津市月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量的模；空间向量的加减法；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，，所以，解得，所以向量，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据向量，求得x得值，再利用向量模的坐标表示求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以.
故答案为：C.
【分析】易得圆心和半径，先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理求线段的长度即可.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，则点A到准线得距离为，根据抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离为.
故答案为：B.
【分析】易知抛物线的准线方程，求得点到准线得距离，再根据抛物线的定义即可得点到抛物线焦点的距离.
4．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，平行，所以，解得，当时，两直线重合，故.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，解得k，再检验排除重合即可得k的值.
5．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件结合等比数列的通项公式求得公比q，再根据等比数列的求和公式求值即可.
6．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为为的中点，为的中点，所以，.
故答案为：D.
【分析】根据条件求得，，代入即可求得.
7．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，首项为，因为，，所以，
解得，，
所以.
故答案为：D.
【分析】设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列式求得首项和公差，代入求和公式即可得.
8．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以；
；
，所以数列是以3为周期的周期数列，故.
故答案为：B.
【分析】利用数列的递推式求出数列得前4项，从而可得数列为周期数列，根据周期性再求的值即可.
9．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：设，由双曲线的定义可得：，所以，，
因为是以为直角顶点得等腰直角三角形，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】设，根据双曲线的定义求得，，，再根据为等腰直角三角形列式即可求得得值.
10．【答案】
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：相互垂直，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据直线垂直得重要条件列方程求解即可.
11．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：两圆方程作差可得： ，即，故直线的方程是.
故答案为：.
【分析】根据两圆相交与公共弦的关系，两相交圆方程作差即可得公共弦所在直线方程求解即可.
12．【答案】15
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，，则，即，因为，
所以，即等差数列是首项为正得递减数列，又因为，所以，
所以，
所以，
所以数列的前15项为正，从第16项开始为负，故数列的前15项和最大，所以.
故答案为：15.
【分析】根据题意可得等差数列是首项为正得递减数列，再由可得，分析可，从而判断数列得前15项为正，其和最大，从而可得n的值.
13．【答案】3
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线得焦点，准线为，如图所示：
过点作抛物线准线得垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，所以，当且仅当三点共线，即准线时，取得最小值，最小值为.
故答案为：3.
【分析】过点作抛物线准线得垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，推出，利用三点共线时，取最小值求解即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 联立解得，
可得AB的中点坐标为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，，
两式作差可得：，
则，可得，
即.
所以.
故答案为：.
【分析】 联立直线方程求得AB的中点坐标，再设A、B的坐标，利用点差法求出的值，再由离心率公式求解.
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 曲线 ，变形两边平方可得，即曲线表示以为圆心，2为半径的半个圆，
直线 与曲线有公共点，则满足条件得直线斜率为2，在过和圆得切线之间得一族平行线 ，b为直线在y轴上的截距，当直线平移到过点时，方程为，此时，当直线平移与曲线相切时，圆心到直线的距离等于半径2，，，则，（舍去），
综上可知， 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】曲线变形得，表示以为圆心，2为半径的半个圆，由圆心到直线的距离等于半径求得b，结合图形可得的取值范围.
16．【答案】（1）解：由题可知，所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立解得，所以圆心
又因为半径等于，所以圆的方程为.
（2）解：设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可得线段的中点以及中垂线得斜率，从而求得线段的中垂线的直线方程，联立方程粗即可求得圆心，再由，即可求得圆的方程；
（2）设圆的半径为，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时设斜率为，求得切线方程，利用圆心到直线得距离等于半径即可求得切线方程.
17．【答案】（1）解：设数列的公比为，
因为成等差数列，
所以1分
即，
所以，
解得或（舍去），
又，所以数列的通项公式
（2）解：由题意得，，
则，且，
故数列是首项为9，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，的最大值为25
（3）解：当时，，
当时，
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）设数列的公比为，，根据成等差数列列式借款求得公比，再根据等比数列得通项公式以及求和公式求解即可；
（2）由题意得，，推出数列为等差数列，根据等差数列求和公式列出，利用二次函数得性质即可求值；
（3）分和分别求和即可.
18．【答案】（1）证明：平面，平面，，，．
，，，，所以，又，
所以，，
，，，平面，平面
（2）解：平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形得判定与性质可得，结合线面垂直的盘点定理即可证明 平面 ；
（2）根据题意和线面垂直得性质可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为求出各点坐标以及平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值；
（3）利用空间向量求平面与平面的夹角的余弦值.
19．【答案】（1）解：当时，由，得，得，
由，得，两式相减，得
，即，即
因为数列各项均为正数，所以，所以.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为.
（2）解：
.
两式相减得
（3）解：由（1）知，所以
所以
所以
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，
所以，又，所以的取值范围为
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）当时求得，再由，可得两式相减化简整理得，推出数列为等差数列，即可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和即可；
（3）由（1）知，则，，利用裂项相消求得数列的前项和为，令根据单调性得定以即可推出数列的单调性，利用单调性即可求 的取值范围.
20．【答案】（1）解：由题意可得，，解得，
由，∴
则椭圆的方程为.
（2）解：当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
，解为，，
所以，，
，
设的中点为，则，
设，
由为等边三角形，，，
，
所以，解得，所以，
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意易得，根据椭圆中的关系，求得，即可得椭圆的方程；
（2）当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；当所在直线的斜率存在且不为轴时，设直线方程为，点，，联立方程组，化简整理结合文达定理即可求得，设的中点为，，根据为等边三角形，即可得，从而求得直线得方程.
1 / 1天津市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月过程性诊断（2）试卷
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．（2023高一上·天津市月考）向量，，，则（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】A
【知识点】向量的模；空间向量的加减法；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，，所以，解得，所以向量，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据向量，求得x得值，再利用向量模的坐标表示求解即可.
2．（2023高一上·天津市月考）已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以.
故答案为：C.
【分析】易得圆心和半径，先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理求线段的长度即可.
3．（2023高一上·天津市月考）已知抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，则点A到准线得距离为，根据抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离为.
故答案为：B.
【分析】易知抛物线的准线方程，求得点到准线得距离，再根据抛物线的定义即可得点到抛物线焦点的距离.
4．（2023高一上·天津市月考）已知直线：与：平行，则的值是（ ）
A．5 B．0或5 C．0 D．0或1
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，平行，所以，解得，当时，两直线重合，故.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，解得k，再检验排除重合即可得k的值.
5．（2023高一上·天津市月考）已知等比数列中，，且，那么=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件结合等比数列的通项公式求得公比q，再根据等比数列的求和公式求值即可.
6．（2023高一上·天津市月考）在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为为的中点，为的中点，所以，.
故答案为：D.
【分析】根据条件求得，，代入即可求得.
7．（2023高一上·天津市月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．40 B．70 C．90 D．100
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，首项为，因为，，所以，
解得，，
所以.
故答案为：D.
【分析】设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列式求得首项和公差，代入求和公式即可得.
8．（2023高一上·天津市月考）在数列中，，（，），则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以；
；
，所以数列是以3为周期的周期数列，故.
故答案为：B.
【分析】利用数列的递推式求出数列得前4项，从而可得数列为周期数列，根据周期性再求的值即可.
9．（2023高一上·天津市月考）设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为e，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：设，由双曲线的定义可得：，所以，，
因为是以为直角顶点得等腰直角三角形，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】设，根据双曲线的定义求得，，，再根据为等腰直角三角形列式即可求得得值.
二、填空题（每小5分，共30分）
10．（2023高一上·天津市月考）已知，若直线：与直线：相互垂直，则 .
【答案】
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：相互垂直，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据直线垂直得重要条件列方程求解即可.
11．（2023高一上·天津市月考）已知圆与相交于A，B两点，则直线的方程是 ．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：两圆方程作差可得： ，即，故直线的方程是.
故答案为：.
【分析】根据两圆相交与公共弦的关系，两相交圆方程作差即可得公共弦所在直线方程求解即可.
12．（2023高一上·天津市月考）已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时， ．
【答案】15
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，，则，即，因为，
所以，即等差数列是首项为正得递减数列，又因为，所以，
所以，
所以，
所以数列的前15项为正，从第16项开始为负，故数列的前15项和最大，所以.
故答案为：15.
【分析】根据题意可得等差数列是首项为正得递减数列，再由可得，分析可，从而判断数列得前15项为正，其和最大，从而可得n的值.
13．（2023高一上·天津市月考）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是 .
【答案】3
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线得焦点，准线为，如图所示：
过点作抛物线准线得垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，所以，当且仅当三点共线，即准线时，取得最小值，最小值为.
故答案为：3.
【分析】过点作抛物线准线得垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，推出，利用三点共线时，取最小值求解即可.
14．（2023高二上·哈尔滨期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 联立解得，
可得AB的中点坐标为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，，
两式作差可得：，
则，可得，
即.
所以.
故答案为：.
【分析】 联立直线方程求得AB的中点坐标，再设A、B的坐标，利用点差法求出的值，再由离心率公式求解.
15．（2023高一上·天津市月考）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 曲线 ，变形两边平方可得，即曲线表示以为圆心，2为半径的半个圆，
直线 与曲线有公共点，则满足条件得直线斜率为2，在过和圆得切线之间得一族平行线 ，b为直线在y轴上的截距，当直线平移到过点时，方程为，此时，当直线平移与曲线相切时，圆心到直线的距离等于半径2，，，则，（舍去），
综上可知， 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】曲线变形得，表示以为圆心，2为半径的半个圆，由圆心到直线的距离等于半径求得b，结合图形可得的取值范围.
三、解答题
16．（2023高一上·天津市月考）已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）从点向圆C作切线，求切线方程．
【答案】（1）解：由题可知，所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立解得，所以圆心
又因为半径等于，所以圆的方程为.
（2）解：设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可得线段的中点以及中垂线得斜率，从而求得线段的中垂线的直线方程，联立方程粗即可求得圆心，再由，即可求得圆的方程；
（2）设圆的半径为，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时设斜率为，求得切线方程，利用圆心到直线得距离等于半径即可求得切线方程.
17．（2023高一上·天津市月考）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.
（1）求等比数列的通项公式和前n项和；
（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值.
（3）求数列的前项和
【答案】（1）解：设数列的公比为，
因为成等差数列，
所以1分
即，
所以，
解得或（舍去），
又，所以数列的通项公式
（2）解：由题意得，，
则，且，
故数列是首项为9，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，的最大值为25
（3）解：当时，，
当时，
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）设数列的公比为，，根据成等差数列列式借款求得公比，再根据等比数列得通项公式以及求和公式求解即可；
（2）由题意得，，推出数列为等差数列，根据等差数列求和公式列出，利用二次函数得性质即可求值；
（3）分和分别求和即可.
18．（2023高一上·天津市月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：平面，平面，，，．
，，，，所以，又，
所以，，
，，，平面，平面
（2）解：平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形得判定与性质可得，结合线面垂直的盘点定理即可证明 平面 ；
（2）根据题意和线面垂直得性质可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为求出各点坐标以及平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值；
（3）利用空间向量求平面与平面的夹角的余弦值.
19．（2023高一上·天津市月考）已知正项数列的前项和为，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列前n项和
（3）若，数列的前项和为，求的取值范围；
【答案】（1）解：当时，由，得，得，
由，得，两式相减，得
，即，即
因为数列各项均为正数，所以，所以.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为.
（2）解：
.
两式相减得
（3）解：由（1）知，所以
所以
所以
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，
所以，又，所以的取值范围为
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）当时求得，再由，可得两式相减化简整理得，推出数列为等差数列，即可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和即可；
（3）由（1）知，则，，利用裂项相消求得数列的前项和为，令根据单调性得定以即可推出数列的单调性，利用单调性即可求 的取值范围.
20．（2023高一上·天津市月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程
【答案】（1）解：由题意可得，，解得，
由，∴
则椭圆的方程为.
（2）解：当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
，解为，，
所以，，
，
设的中点为，则，
设，
由为等边三角形，，，
，
所以，解得，所以，
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意易得，根据椭圆中的关系，求得，即可得椭圆的方程；
（2）当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；当所在直线的斜率存在且不为轴时，设直线方程为，点，，联立方程组，化简整理结合文达定理即可求得，设的中点为，，根据为等边三角形，即可得，从而求得直线得方程.
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