浙江省衢州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测试题 数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（2024高一上·衢州月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·衢州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·衢州月考）已知函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．（2024高一上·衢州月考）（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
5．（2024高一上·衢州月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·衢州月考）函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·衢州月考）根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·衢州月考）已知实数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·衢州月考）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到（ ）
10．（2024高一上·衢州月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·衢州月考）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的值域为 D．在上单调递增
12．（2024高一上·衢州月考）已知函数，，则（ ）
A．若函数有3个零点，则
B．函数有3个零点
C．，使得函数有6个零点
D．，函数的零点个数都不为4
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·衢州月考） 0（填“>”或“<”）.
14．（2024高一上·衢州月考） .
15．（2024高一上·衢州月考）已知函数的最大值为，最小值为，则 .
16．（2024高一上·衢州月考）已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·衢州月考）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·衢州月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，终边上有两点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19．（2024高一上·衢州月考）某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
20．（2024高一上·衢州月考）函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
21．（2024高一上·衢州月考）已知函数
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（2024高一上·衢州月考）已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若，关于的方程有四个不同的实数根，满足，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】利用集合的并集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据充分、必要条件判断即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即，即，
即，因为不恒为，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义直接计算即可.
4．【答案】D
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】逆用正弦的二倍角公式以及两角差的正弦公式化简求解即可.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取，则，
因为，
所以曲线对应的函数分别为.
故答案为：B.
【分析】取特值进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设，，
由题意，易知，则，
所以该基地受热带风暴中心影响的时长.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，解三角形即可求解.
8．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由，可得，则，
可得，因为函数在定义域上单调递增，
又因为，所以 ，解得，即
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由，可得，结合函数的的单调性，得到 ，求得，代入求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、由，解得，
则不是函数的对称轴，故B错误；
C、由得的所有单调递减区间为
，当时，，故C正确；
D、的图象向左平移个单位长度得到的图象，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据函数的最小正周期公式判断A；求函数的对称轴即可判断B；通过求出所有单调区间即可判断C；根据三角函数图象平移公式即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
当且仅当时等号成立，故A错误；
B、当时，成立，但不成立，故B错误；
C、因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D、因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 对任意，都有，
令，得，解得或，
令，得，
因为当时，，所以，
显然由，因此，故A正确；
因为，所以函数不可能为奇函数，故B错误；
再令，所以有，
当时，所以时，可得，
而，所以的值域为，故C正确；
设，显然，即有成立，
因为，
所以由，而，
所以由，
因为的值域为，所以，
因此由，即在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取值利用代入法，结合函数的奇函数、单调性的定义逐项判断即可.
12．【答案】B,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象如下图所示：
A、令，即函数与直线有三个不同的交点，由图象可知，
，故A错误；
B、由函数的图象可知：，令，可解，舍去，
当时，由图象可知有三个实数解，故B正确；
C、当函数有6个零点时，此时有，
当时，即，
当时，，
由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点，
因此要使函数有6个零点，则有，故C错误；
D、由，
令，则，
当时，即或，
当时，有两个不同的实根，
当时，有三个不同的实根
所以此时函数有五个零点，
当时，，或，或，
由图象可知此时时函数一共有七个零点，
当时，，或，或，
由图象可知函数此时一共有6个零点，
当时，，或，
由图象可知函数此时一共有3个零点，
当时，，即，此时不等式的解集为空集，
综上所述：，函数的零点个数都不为4，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据指数函数和对数函数的图象性质，结合函数零点的定义逐项判断即可.
13．【答案】＞
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为位于第二象限，所以；位于第三象限，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据各象限三角函数的符号判断即可.
14．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用指数、对数的运算性质求解即可.
15．【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：原函数变形可得，
令，易知定义域为R，且满足，即为奇函数，
故，，由奇函数的对称性质可知.
故答案为：.
【分析】先将函数变形，再构造函数利用奇偶性计算即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正切公式；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为为方程的两个实数根，，
由韦达定理可得：，解得，或；
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得，由方程有解可知：，
即，解得，所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合韦达定理可得，解得，由，化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可求解.
17．【答案】（1）解：由题意得
若，则，
所以
（2）解：由知，
所以，得
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B，将代入求得集合A，再根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由可知，根据集合的关系列式求解即可.
18．【答案】（1）解：法一：因为，所以，
所以
法二：因为，所以，易知a，b同号，
所以
（2）解：因为，所以，
所以
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）法一：根据已知条件，利用任意角正切三角函数值公式计算即可；法二：利用任意角的三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及正弦的二倍角公式化简求值即可.
19．【答案】（1）解：当，
当，
所以
（2）解：当，当时，最大，最大利润为；
当，当时，即时，最小为240，
此时最大为106，
因为，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，
最大利润为112亿元
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合产量的不同取值分类讨论进行求解即可；
（2）由（1）的结论，根据二次函数的性质和基本不等式分别求最大值，再比较求利润的最大值即可.
20．【答案】（1）解：设的周期为，区间为的，
则，
由，则，
所以
（2）解：
因为，所以，
则，故的值域为
【知识点】函数的值域；二倍角的正弦公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合余弦型函数的周期计算公式以及特殊点进行求解即可；
（2）根据正弦二倍角公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可.
21．【答案】（1）解：当时，，
由的值域为知
（2）解：先考虑对恒成立.
①若，则当时，，不满足
②若对恒成立，满足
③若对恒成立
令，则只需
由于
所以，解得
综上得
再证当时对恒成立
由于，故当时，
由得
所以.
所以的取值范围是
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；基本不等式；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质以及函数值域的求法计算即可；
（2）先利用函数的性质及基本不等式分类讨论时满足的的取值范围，再结合二次函数的性质适当放缩证明在此条件下对恒成立即可.
22．【答案】（1）解：由题意可知需在区间上单调递减，
所以，则
（2）解：设的两根分别为，不妨设，
则，
所以为的两个根，为的两个根，
由韦达定理得：，
所以，
所以，再由韦达定理得，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号成立.
所以的最小值为11.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性可知需在区间上单调递减，再根据对称轴列不等式求解即可；
（2）设的两根分别为，则为的两个根，为的两个根，结合韦达定理得，再根据韦达定理得，最后利用基本不等式求解最值即可.
1 / 1浙江省衢州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测试题 数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（2024高一上·衢州月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】利用集合的并集运算求解即可.
2．（2024高一上·衢州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据充分、必要条件判断即可.
3．（2024高一上·衢州月考）已知函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即，即，
即，因为不恒为，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义直接计算即可.
4．（2024高一上·衢州月考）（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】逆用正弦的二倍角公式以及两角差的正弦公式化简求解即可.
5．（2024高一上·衢州月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
6．（2024高一上·衢州月考）函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取，则，
因为，
所以曲线对应的函数分别为.
故答案为：B.
【分析】取特值进行判断即可.
7．（2024高一上·衢州月考）根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设，，
由题意，易知，则，
所以该基地受热带风暴中心影响的时长.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，解三角形即可求解.
8．（2024高一上·衢州月考）已知实数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由，可得，则，
可得，因为函数在定义域上单调递增，
又因为，所以 ，解得，即
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由，可得，结合函数的的单调性，得到 ，求得，代入求解即可.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·衢州月考）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到（ ）
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、由，解得，
则不是函数的对称轴，故B错误；
C、由得的所有单调递减区间为
，当时，，故C正确；
D、的图象向左平移个单位长度得到的图象，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据函数的最小正周期公式判断A；求函数的对称轴即可判断B；通过求出所有单调区间即可判断C；根据三角函数图象平移公式即可判断D.
10．（2024高一上·衢州月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
当且仅当时等号成立，故A错误；
B、当时，成立，但不成立，故B错误；
C、因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D、因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
11．（2024高一上·衢州月考）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的值域为 D．在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 对任意，都有，
令，得，解得或，
令，得，
因为当时，，所以，
显然由，因此，故A正确；
因为，所以函数不可能为奇函数，故B错误；
再令，所以有，
当时，所以时，可得，
而，所以的值域为，故C正确；
设，显然，即有成立，
因为，
所以由，而，
所以由，
因为的值域为，所以，
因此由，即在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取值利用代入法，结合函数的奇函数、单调性的定义逐项判断即可.
12．（2024高一上·衢州月考）已知函数，，则（ ）
A．若函数有3个零点，则
B．函数有3个零点
C．，使得函数有6个零点
D．，函数的零点个数都不为4
【答案】B,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象如下图所示：
A、令，即函数与直线有三个不同的交点，由图象可知，
，故A错误；
B、由函数的图象可知：，令，可解，舍去，
当时，由图象可知有三个实数解，故B正确；
C、当函数有6个零点时，此时有，
当时，即，
当时，，
由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点，
因此要使函数有6个零点，则有，故C错误；
D、由，
令，则，
当时，即或，
当时，有两个不同的实根，
当时，有三个不同的实根
所以此时函数有五个零点，
当时，，或，或，
由图象可知此时时函数一共有七个零点，
当时，，或，或，
由图象可知函数此时一共有6个零点，
当时，，或，
由图象可知函数此时一共有3个零点，
当时，，即，此时不等式的解集为空集，
综上所述：，函数的零点个数都不为4，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据指数函数和对数函数的图象性质，结合函数零点的定义逐项判断即可.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·衢州月考） 0（填“>”或“<”）.
【答案】＞
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为位于第二象限，所以；位于第三象限，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据各象限三角函数的符号判断即可.
14．（2024高一上·衢州月考） .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用指数、对数的运算性质求解即可.
15．（2024高一上·衢州月考）已知函数的最大值为，最小值为，则 .
【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：原函数变形可得，
令，易知定义域为R，且满足，即为奇函数，
故，，由奇函数的对称性质可知.
故答案为：.
【分析】先将函数变形，再构造函数利用奇偶性计算即可.
16．（2024高一上·衢州月考）已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正切公式；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为为方程的两个实数根，，
由韦达定理可得：，解得，或；
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得，由方程有解可知：，
即，解得，所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合韦达定理可得，解得，由，化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可求解.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·衢州月考）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得
若，则，
所以
（2）解：由知，
所以，得
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B，将代入求得集合A，再根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由可知，根据集合的关系列式求解即可.
18．（2024高一上·衢州月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，终边上有两点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：法一：因为，所以，
所以
法二：因为，所以，易知a，b同号，
所以
（2）解：因为，所以，
所以
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）法一：根据已知条件，利用任意角正切三角函数值公式计算即可；法二：利用任意角的三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及正弦的二倍角公式化简求值即可.
19．（2024高一上·衢州月考）某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：当，
当，
所以
（2）解：当，当时，最大，最大利润为；
当，当时，即时，最小为240，
此时最大为106，
因为，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，
最大利润为112亿元
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合产量的不同取值分类讨论进行求解即可；
（2）由（1）的结论，根据二次函数的性质和基本不等式分别求最大值，再比较求利润的最大值即可.
20．（2024高一上·衢州月考）函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）解：设的周期为，区间为的，
则，
由，则，
所以
（2）解：
因为，所以，
则，故的值域为
【知识点】函数的值域；二倍角的正弦公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合余弦型函数的周期计算公式以及特殊点进行求解即可；
（2）根据正弦二倍角公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可.
21．（2024高一上·衢州月考）已知函数
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
由的值域为知
（2）解：先考虑对恒成立.
①若，则当时，，不满足
②若对恒成立，满足
③若对恒成立
令，则只需
由于
所以，解得
综上得
再证当时对恒成立
由于，故当时，
由得
所以.
所以的取值范围是
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；基本不等式；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质以及函数值域的求法计算即可；
（2）先利用函数的性质及基本不等式分类讨论时满足的的取值范围，再结合二次函数的性质适当放缩证明在此条件下对恒成立即可.
22．（2024高一上·衢州月考）已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若，关于的方程有四个不同的实数根，满足，求的最小值.
【答案】（1）解：由题意可知需在区间上单调递减，
所以，则
（2）解：设的两根分别为，不妨设，
则，
所以为的两个根，为的两个根，
由韦达定理得：，
所以，
所以，再由韦达定理得，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号成立.
所以的最小值为11.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性可知需在区间上单调递减，再根据对称轴列不等式求解即可；
（2）设的两根分别为，则为的两个根，为的两个根，结合韦达定理得，再根据韦达定理得，最后利用基本不等式求解最值即可.
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