2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）--第2章测评

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2024北师版高中数学必修第二册
第二章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在 ABCD中,=(2,8),=(-3,4),则= (　　)
A.(-1,-12) B.(-1,12)
C.(1,-12) D.(1,12)
2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(　　)
A.a=b B.a·b=1
C.a=-b D.|a|=|b|
3.已知向量a=(5,-2),b=(2,6),则a·b=(　　)
A.-2 B.-3
C.-4 D.-5
4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么= (　　)
A.
B.-
C.-
D.
5.[2021全国乙,文15]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.
6.[2021全国乙,理14]已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　　.
7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
8.已知||=||=||=1,D为BC的中点,且||=,则的最大值为(　　)
A. B.
C. D.2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A= (　　)
A.30° B.60° C.150° D.120°
10.在梯形ABCD中,DC∥AB,且AB=2DC,E为BC的中点,则下列结论不正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
11.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是(　　)
A.b=7,c=3,C=
B.b=5,c=6,C=
C.a=6,b=3,B=
D.a=20,b=15,B=
12.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是(　　)
A.若,则点M是边BC的中点
B.若=2,则点M在边BC的延长线上
C.若=-,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=　　　　,|b+c|=　　　　.
14.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是　　　　　.
15.已知△ABC的面积为3,AB=2,B=,则=　　　　　.
16.在△ABC中,A=30°,AB=2,4≤BC2≤12,则△ABC面积的范围是　　　　　　　　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知=(-1,3),=(3,m),=(1,n),且.
(1)求实数n的值;
(2)若,求实数m的值.
18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2=0,
(1)用表示;
(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.
19.(12分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算:|a+b|;
(2)当实数k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)
20.(12分)在△ABC中,已知A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),AD⊥BC于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)求证:AD2=BD·DC.
21.(12分)
如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°.
求:(1)BD的长;
(2)CD的长.
22.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a+c)(a-c)=b(b+c).
(1)求角A的大小.
(2)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.若b=3,c=4,点D是BC边上的一点,且　　　　　,求线段AD的长.
①AD是△ABC的中线;
②AD是△ABC的角平分线;
③BD=2CD.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
参考答案
第二章测评
1.B　因为四边形ABCD是平行四边形,所以=(-1,12).
2.D　两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A,C错误;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所以选项B错误;|a|=|b|=1,则选项D正确.
3.A　依题意a·b=5×2+(-2)×6=-2.故选A.
4.D　).
5.2　由题意可知△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.
因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2(负值已舍去).
6.　由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=.
7.B　由题可知∠ABC=50°,A,B,C位置如图,排除ACD,
故选B.
8.C　因为||=||=||=1,
所以A,B,C在以O为圆心半径为1的圆上.
以O为原点,OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
因为||=,||=1,D为BC的中点,所以|OD|=,则B-,-,C,-,D0,-,设A(x,y),则=-x,--y,=(,0),所以=-x,因为-1≤x≤1,当A与E重合,即x=-1时,的最大值为.故选C.
9.BD　因为S=bcsin A=,所以×2×sin A=,所以sin A=,因为0°故选BD.
10.CD　
由题知,,故A正确;
==,故B正确;
,故C错误;
,故D错误.
故选CD.
11.BC　A选项,因为C=,为锐角,c=3所以三角形无解;
B选项,因为C=,为锐角,c=6>b=5,所以三角形有一解;
C选项,因为B=,为锐角,b=3=asin B=3,所以三角形有一解;
D选项,因为B=,为锐角,b=15>asin B=10,所以三角形有两解.故选BC.
12.ACD　A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;
B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误.
C项,如图,设BC的中点为D,
则=-=2,由重心性质可知C成立.
D项,=x+y,
且x+y= 2=2x+2y,2x+2y=1,
设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,
可知B,C,E三点共线,
所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.
13.-1　　因为a=(2,-1),b=(-1,m),
所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)∥c,c=(-1,2),
所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.
则b+c=(-2,1),则|b+c|=.
14.等边三角形　根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.
因为B=60°,2b=a+c,所以=a2+c2-2accos 60°,
整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60°,
所以△ABC是等边三角形.
15.　因为AB=2=c,S△ABC=acsin B=×a×2×=3,解得a=6,所以b2=a2+c2-2accos B=36+4-2×6×2×=28,b=2,所以.
16.(0,]∪[2,3]　因为在△ABC中,A=30°,AB=2,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 30°=12+AC2-6AC,又因为4≤BC2≤12,4≤12+AC2-6AC≤12,
解得0而S△ABC=AB·AC·sin 30°=AC,
所以0故△ABC面积的范围是(0,]∪[2,3].
17.解(1)因为=(-1,3),=(3,m),=(1,n),
所以=(3,3+m+n).
因为,所以3(3+m+n)-3m=0,解得n=-3.
(2)因为=(2,3+m),=(4,m-3),又,所以=0,即8+(3+m)(m-3)=0,解得m=±1.
18.(1)解因为2=0,所以2()+()=0,2-2=0,所以=2.
(2)证明如图,=-(2).
故.
即DA∥OC,且DA≠OC.
故四边形OCAD为梯形.
19.解(1)因为(a+b)2=a2+2a·b+b2=48,
所以|a+b|=4.
(2)(a+2b)·(ka-b)=0 ka2+(2k-1)a·b-2b2=0 16k+(2k-1)(-16)-128=0 k=-7.
20.(1)解设D点坐标为(x,y),
则=(x-2,y-4),=(5,5),=(x+1,y+2).
因为AD⊥BC,所以=0,
即5(x-2)+5(y-4)=0.
所以x+y=6. ①
又因为B,D,C三点共线,所以,
所以5(x+1)-5(y+2)=0,所以x-y=1. ②
联立①②,解得所以点D的坐标为.
(2)证明由(1)得,=,-,=,=,所以,所以AD2=BD·DC.
21.解(1)在△ABD中,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,
由余弦定理可得,AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠BDA,即49=25+BD2-2×5·BD·cos 60°,
则BD2-5BD-24=0,解得BD=8(BD=-3舍去).
(2)在△BCD中,∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°,又∠BCD=135°,则∠CBD=180°-135°-15°=30°.
由(1)得BD=8,由正弦定理得,
即,解得CD=4.
22.解(1)由(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc,
由余弦定理知,cos A==-,
因为0(2)选①,因为AD是△ABC的中线,
所以),
所以||2=|2+|2+c2+b2+bc·cos A=4++6×,所以AD=.
选②,因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,
所以bcsin A= b·ADsinc·ADsin,
即×3×4·sin×3AD·sin×4AD·sin,解得AD=.
选③,因为BD=2CD,
所以)=,
所以||2=|2+|2+c2+b2+bc·cos A=+4+,故AD=.
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