2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）---1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册
第六章1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
A级必备知识基础练
1.[2023山西太原]下列平面图形中,通过绕定直线旋转可得到如图几何体的是(　　)
2.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
3.已知圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为(　　)
A.10 cm B.20 cm
C.20 cm D.10 cm
4.已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,则球心与截面圆圆心的距离是　　　　cm.
5.一圆锥底面半径为2,母线长为6,将此圆锥沿一条母线展开,得到的扇形的面积为　　　　　.
B级关键能力提升练
6.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0.5
7.如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)
A. B. C. D.
8.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号)
C级学科素养创新练
9.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x);
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
参考答案
1.3　简单旋转体——
球、圆柱、圆锥和圆台
1.C　A是上面一个圆锥,下面一个圆台,不符合;
B是上下两个圆锥,中间一个圆柱,不符合;
C是上面一个圆柱,下面一个圆锥,符合题图;
D是两个圆锥,不符合.故选C.
2.AC　对于A,根据圆锥的母线的定义,可知A正确;
对于B,把梯形的腰延长后有可能不交于一点,此时得到的几何体不是棱台,故B错误;
对于C,根据圆台的定义,可知C正确;
对于D,当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,得到的截面不是圆和矩形,故D错误.
故选AC.
3.A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高,设为h cm.
这个等腰三角形的腰长为20 cm,顶角的一半为30°.
故h=20cos 30°=10(cm).
4.8　如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球半径为R.由题意知,R=10(cm),由πr2=36π,得r=6(cm),所以d==8(cm).
5.12π　因为圆锥的底面半径为2,所以底面圆的周长为4π,故将此圆锥沿一条母线展开,所得扇形的面积为×4π×6=12π.
6.B　如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,∴两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.
∵球心到两个截面的距离d1=,d2=,
∴d1-d2==1,∴R2=9,∴R=3.
7.B　折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形,其外接圆半径r=,球半径R=1,由球面的截面小圆性质知,球心到截面距离d=,
蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高,等于,
所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为.
8.①⑤　由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴,故只能是①⑤.
9.解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L就是圆O的周长,
∴L=2πr=2π,
∴∠ASM=.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,
其值为AM=(0≤x≤4),
∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,
在△SAM中,
∵S△SAM=SA×SM=AM×SR,
∴SR=(0≤x≤4),
即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,
∴f(x)的最大值为f(4)=32.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)