2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）--2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

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2024北师版高中数学必修第二册
第四章2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
A级必备知识基础练
1.[2023重庆渝中期中]sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10°= (　　)
A. B. C. D.-
2.[2023江苏扬州宝应月考]若sin α+cos α=,则sin=(　　)
A. B. C. D.
3.[2023四川宜宾模拟]已知tan α=,tan β=,则tan(β-α)=(　　)
A.1 B. C. D.
4.[2023宁夏三模]已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
5.(多选)下列式子中结果为的是(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)
C.
D.
6.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　)
A. B.2
C.1+ D.5
7.形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.
8.已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则=　　　　　,α-β=　　　　　.
9.化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α).
B级关键能力提升练
10.已知α∈0,,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值是(　　)
A.- B.-
C.- D.-
11.在平面直角坐标系中,角α,β∈R,且以Ox为始边,则“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
12.(多选)若tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,则下列结论正确的是(　　)
A.tan x1+tan x2=-k
B.tan(x1+x2)=-k
C.k>2
D.k>2或k<-2
13.[2023上海黄浦月考]已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第三象限角,则sin=　　　　　.
14.已知sin+α=,cosβ-=,且0<α<<β<,则sin(α+β)的值是　　　　　.
15.[2023武汉武昌月考]已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<0,-<β<0,则α+β的值为　　　　　.
16.已知cosx-=,x∈.
(1)求sin x的值;
(2)求sinx+的值.
C级学科素养创新练
17.在①角α的终边经过点P(1,2),②α∈0,,sin α=,③α∈0,,sin α+2cos α=这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
问题:已知　　　　　,且tan(α+β)=4,求tan β的值.
参考答案
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.B　sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故选B.
2.A　因为sin α+cos α=,
所以sinsin α+cos α=(sin α+cos α)=.故选A.
3.C　tan α=,tan β=,
则tan(β-α)=.故选C.
4.C　sin α=,α是第一象限角,cos α=,则tan α=,又tan(α+β)=1,tan β=tan [(α+β)-α]==-.故选C.
5.ABC　对于A,利用正切的变形公式可得原式=.
对于B,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=.
对于C,原式==tan 60°=.
对于D,原式=.故选ABC.
6.B　∵α+β=,∴tan(α+β)==-1,
∴tan α+tan β=tan αtan β-1,∴(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan α·tan β=2.
7.-1　sin 15°-cos 15°=2sin 15°-cos 15°=2sin(15°-45°)=2sin(-30°)=-1.
8.-7　-45°　=-7.
因为tan(α-β)==-1,
0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,
所以α-β=-45°.
9.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.
10.D　tan α=tan[(α-β)+β]=,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,
因为0<α<,0<β<π,tan β=->-1,所以<β<π,
-π<-β<-,-π<α-β<-,-π<2α-β<-,
所以2α-β=-.故选D.
11.B　若sin(α-β)=sin α-sin β,推不出角α,β以Ox为终边,如:α=β=,则sin(α-β)=0=sin α-sin β,故充分性不成立;
若角α,β以Ox为终边,则α=2k1π,β=2k2π(k1,k2∈Z),则sin(α-β)=sin[2(k1-k2)π]=0=sin α-sin β,故角α,β以Ox为终边能推出sin(α-β)=sin α-sin β,故必要性成立,所以“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的必要不充分条件.故选B.
12.BC　因为tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,
所以k2-8>0,tan x1+tan x2=k,tan x1tan x2=2,
所以k>2或k<-2,tan(x1+x2)==-k,
所以tan x1+tan x2≥2=2,
当且仅当tan x1=tan x2时等号成立.
因为tan x1≠tan x2,所以k>2.故选BC.
13.　∵sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,
∴sin(-β)=,即sin β=-,
∵β是第三象限角,则cos β=-,
∴sin=sin βcos-cos βsin=-.
14.　因为sinπ+α=,即sin++α=,则cos+α=.
又0<α<,即+α<,则sin+α=,
而cosβ-=<β<π,即0<β-,sinβ-=,
则有sin(α+β)=sin+α+β-=sin+αcosβ-+cos+αsinβ-=.所以sin(α+β)的值是.
15.-　由条件可知,
所以tan(α+β)=.
因为-<α<0,-<β<0,所以-π<α+β<0,
所以α+β=-.
16.解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sinsinx-+cosx-=sinx-+,
因为x∈,所以x-∈,
所以sinx-=,
所以sin x=.
(2)因为sin x=,x∈,故cos x=-,
sinx+=sin xcos+cos xsin+-×.
17.解选择条件①,∵角α的终边经过点P(1,2),
∴tan α=2,
则tan(α+β)==4,
解得tan β=.
选择条件②,∵α∈0,,sin α=,
∴cos α=,∴tan α=,则tan(α+β)==4,解得tan β=.
选择条件③,∵α∈0,,sin α+2cos α=,
由sin2α+cos2α=1,可得sin α=,cos α=,
∴tan α==3,
则tan(α+β)==4,
解得tan β=.
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