2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）--3.1-3.2　第1课时　关于平面的3个基本事实和推论

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2024北师版高中数学必修第二册
第六章§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识　3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
A级必备知识基础练
1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l不在α内,A∈l,则A α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
2.[2023山东青岛市北期中]下列说法正确的是(　　)
A.如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合
B.若四点不共面,则其中任意三点不共线
C.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
3.(多选)下图中图形的画法正确的是(　　)
4.三个平面最多能把空间分为　　　　　部分,最少能把空间分成　　　　　部分.
5. 如图,四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.
B级关键能力提升练
6.如图所示,用符号语言可表述为(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n α,A∈m,A∈n
7.(多选)[2023江苏无锡新吴月考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则(　　)
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
8.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　　　　.
9.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点.
10.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
C级学科素养创新练
11.如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
参考答案
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
1.ABD　α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点.
若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α,由平面的基本性质的基本事实1,可得A正确;
α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实2,可得B正确;
若l不在α内,A∈l,则A∈α或A α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实3,可得D正确.
2.B　如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面可能相交或重合,故A错误;
若四点不共面,则其中任意三点不共线,故B正确;
空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内,如三棱锥P-ABC,相交于同一点P的三条直线PA,PB,PC不在同一平面内,故C错误;
三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分,故D错误.
故选B.
3.ACD
4.8　4　三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分.
5.证明因为AB∥CD,
所以直线AB,CD确定一个平面β,因为AB∩α=E,
所以E∈AB,E∈α,所以E∈β,所以E在α与β的交线l上.同理,F,G,H也在α与β的交线l上,所以E,F,G,H四点必定共线.
6.A　由图形可知,α∩β=m,n α,m∩n=A或表示为A∈m,A∈n.即A正确.
7.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,四边形A1B1C1D1的中心.
对于A,可知O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;
对于B,因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;
对于C,由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;
对于D,连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面(图略).
故选ACD.
8.36　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
9.证明如图,在梯形ABCD中,因为AD∥BC,
所以AB与CD必交于一点,
设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD,
又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β,
又因为α∩β=l,所以M∈l,
所以AB,CD,l共点.
10.证明因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又=2,
所以GH∥BD,且GH=BD,
所以EF∥GH,且EF>GH,所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
因为EG 平面ABC,FH 平面ACD,
所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
11.证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.
因为P∈AA',AA' 平面A'C,
所以P∈平面A'C.
同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
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