2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步 精选题练习（拔高卷）（含答案）

2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步精选题练习（拔高卷）
一、选择题
1．已知平面，，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（　　）
A．4 B．2 C． D．
3．龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径盆底直径盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（　　）
A． B． C． D．
4．若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．28
5．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—PAC的体积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3
8．如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（　　）
A．直线与所成的角为60°
B．过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60°
C．过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为
D．过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
10．如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆O的直径为2．E为线段的中点，C是圆O上异于A，B的一点，D为弦的中点，则（　　）
A．平面
B．平面平面
C．线段长度的取值范围为
D．三棱锥体积的最大值是
11．如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，P为线段内的动点（含端点），则（　　）
A．平面
B．存在点P，使得
C．平面与底面ABCD所成角的余弦值是
D．三棱锥的体积是
三、填空题
12．将正方形延对角线折起，当时，三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的体积为　 　．
13．已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为　 　.
14．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为　 　.
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，底面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
16．如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
17．已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面为边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积.
18．如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
19．如图，在三棱柱 中， 底面 ，且 为等边三角形， ，D为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：平面平面
平面 平面
（2）证明：平面平面
为等腰直角三角形，为斜边的中点
平面 平面
16．【答案】（1）解：设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
17．【答案】（1）解：连接交于点，连接，
因为四边形是矩形，则为的中点
又是的中点，，
又面，面，所以面；
（2）解：，是的中点，，
又平面，平面，所以，
平面，平面，
由于平面，所以平面平面，
所以是三棱锥的高，
又，
所以；
18．【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由，
得四边形是菱形，且，
因为，分别为，的中点，
则，，，
于是四边形是平行四边形，
即，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：解：由知，，平面，平面，
则平面，
于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，，平面，
得，，
而，
则，
则底边上的高，
于是的面积，
而，
由，得，
即，
解得，
所以点到平面的距离是．
19．【答案】（1）连接 交 于 ，连接 ，在 中， 为 中点， 为 中点，所以 ，又 面 ，∴直线 面 ；
（2）∵ 面 ， 面 ，∴ ．又 ，
，∴ ， 面 ，∴ 面 ．
又 面 ，∴面 面 ；
（3）∵ 为正三角形， 为 中点，∴ ，由 ，可知 ，
．∴ ，又∵ 面 ，且 ，
∴ 面 ，且 ，∴ ．