2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 精选题练习（拔高卷）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 精选题练习（拔高卷）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 626.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-08 21:33:09 | ||
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文档简介
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题练习（拔高卷）
一、选择题
1．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点（A在B的左边），则的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
2．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题
9．抛物线：的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．存在直线，使得，两点关于对称
10． 已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程是
B．若的中点为，则直线的方程为
C．若点的坐标为，则直线的方程为
D．若点在直线上运动，则直线恒过点
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过，两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
三、填空题
12．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
13． 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 .
14．双曲线的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值 ．
四、解答题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
16．在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为.
（1）求的方程；
（2）已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上.
17．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，是椭圆上一点，，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上.
18．如图所示，已知椭圆过点，且满足为坐标原点，平行于的直线交椭圆于两个不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与轴交于点．证明的平分线所在直线与轴垂直．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，设是第一象限内上一点，，的延长线分别交于点，.
（1）求的周长；
（2）设，分别为，的内切圆半径，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,D
12．【答案】
13．【答案】9
14．【答案】
15．【答案】（1）解：当时，，，
可得，
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以①
又双曲线的离心率为，所以②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）证明：当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
16．【答案】（1）解：由已知，得，
当最小时，即，
易知，
的面积为，
，且，
为方程的两个根，即方程的两个根，
又，
的标准方程为.
（2）解：设，
则，
均在上，
，
，
欲使，只需，
只需
即，
联立整理得，
，且，
只需，即，解得，
，
，即上存在点满足题设，
显然在定直线上，证毕.
17．【答案】（1）解：由题意得，得
又，
在中
化简得，解得
所以得椭圆方程为：.
（2）解：设，，
由消整理得：
因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交
得，
又为线段中点，所以
所以，得
由，消整理得：，
设点坐标，进而得，
设点坐标为，由得：
整理得：（※）
又，带入（※）
得，约去
得即
所以点在定直线上.
18．【答案】（1）解：因为椭圆过点，
所以，
又因为，所以，
解得，即：；
（2）解：设，则代入椭圆方程中，得；
即，
设则，
设直线的斜率分别为，则，
直线与横轴交于点，
，
因此，
则的角平分线所在的直线方程为，显然与轴垂直．
19．【答案】（1）解：，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
由椭圆定义得，
由题意，得，即的周长为.
（2）解：易知，，设，，，由条件知，，
直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
则，得，，故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为.
一、选择题
1．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点（A在B的左边），则的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
2．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题
9．抛物线：的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．存在直线，使得，两点关于对称
10． 已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程是
B．若的中点为，则直线的方程为
C．若点的坐标为，则直线的方程为
D．若点在直线上运动，则直线恒过点
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过，两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
三、填空题
12．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
13． 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 .
14．双曲线的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值 ．
四、解答题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
16．在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为.
（1）求的方程；
（2）已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上.
17．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，是椭圆上一点，，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上.
18．如图所示，已知椭圆过点，且满足为坐标原点，平行于的直线交椭圆于两个不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与轴交于点．证明的平分线所在直线与轴垂直．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，设是第一象限内上一点，，的延长线分别交于点，.
（1）求的周长；
（2）设，分别为，的内切圆半径，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,D
12．【答案】
13．【答案】9
14．【答案】
15．【答案】（1）解：当时，，，
可得，
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以①
又双曲线的离心率为，所以②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）证明：当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
16．【答案】（1）解：由已知，得，
当最小时，即，
易知，
的面积为，
，且，
为方程的两个根，即方程的两个根，
又，
的标准方程为.
（2）解：设，
则，
均在上，
，
，
欲使，只需，
只需
即，
联立整理得，
，且，
只需，即，解得，
，
，即上存在点满足题设，
显然在定直线上，证毕.
17．【答案】（1）解：由题意得，得
又，
在中
化简得，解得
所以得椭圆方程为：.
（2）解：设，，
由消整理得：
因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交
得，
又为线段中点，所以
所以，得
由，消整理得：，
设点坐标，进而得，
设点坐标为，由得：
整理得：（※）
又，带入（※）
得，约去
得即
所以点在定直线上.
18．【答案】（1）解：因为椭圆过点，
所以，
又因为，所以，
解得，即：；
（2）解：设，则代入椭圆方程中，得；
即，
设则，
设直线的斜率分别为，则，
直线与横轴交于点，
，
因此，
则的角平分线所在的直线方程为，显然与轴垂直．
19．【答案】（1）解：，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
由椭圆定义得，
由题意，得，即的周长为.
（2）解：易知，，设，，，由条件知，，
直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
则，得，，故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为.