2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 精选题练习（基础卷）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 精选题练习（基础卷）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 209.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-08 21:33:44 | ||
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文档简介
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题练习（基础卷）
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
3．双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
5．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 上的点 到椭圆一个焦点的距离为7，则 到另一焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
二、多项选择题
9．已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知双曲线方程，则下列结论正确的是（ ）
A．一个焦点为
B．一条渐近线方程
C．双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是6
D．双曲线的离心率是
三、填空题
12．写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
13．若双曲线的焦点在轴上，则实数的取值范围为 .
14．设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 .
四、解答题
15．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（2）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.
16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
（2）经过点和.
18．求满足下列条件的曲线标准方程：
（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
19．平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.
（1）求点轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于 两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】（答案不唯一）
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题设方程为，
将代入，解得
所以抛物线的标准方程为.
焦点坐标为（1，0）.
（2）解：因为直线，过点，所以直线的方程为，
联立，
消得
设，，则，.
（或）
所以.
16．【答案】解：设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，-).
∵|AF|=3，∴y0+=3，
∵|AM|=，∴+(y0+)2=17，
∴=8，代入方程=2py0得，
8=2p(3-)，解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y
17．【答案】（1）解：由已知， ， ，得： ， ，从而 .
所以椭圆的标准方程为 .
（2）解：由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 ， .
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 .
18．【答案】（1）解：设所求椭圆的标准方程为
两焦点分别为，，
又椭圆过点，，又
，，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：方法一：
(i)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
(ii)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或
方法二：
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）
焦距为，
，
双曲线的标准方程为：或
19．【答案】（1）解：设点坐标为，且.
由题意，
整理得
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB的中点
联立方程得
则，且，
从而，即
设，由于为正三角形，则
，即，即
又∵，，
，
故，即，
即
即，解得，
直线的斜率
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
3．双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
5．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 上的点 到椭圆一个焦点的距离为7，则 到另一焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
二、多项选择题
9．已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知双曲线方程，则下列结论正确的是（ ）
A．一个焦点为
B．一条渐近线方程
C．双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是6
D．双曲线的离心率是
三、填空题
12．写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
13．若双曲线的焦点在轴上，则实数的取值范围为 .
14．设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 .
四、解答题
15．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（2）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.
16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
（2）经过点和.
18．求满足下列条件的曲线标准方程：
（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
19．平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.
（1）求点轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于 两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】（答案不唯一）
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题设方程为，
将代入，解得
所以抛物线的标准方程为.
焦点坐标为（1，0）.
（2）解：因为直线，过点，所以直线的方程为，
联立，
消得
设，，则，.
（或）
所以.
16．【答案】解：设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，-).
∵|AF|=3，∴y0+=3，
∵|AM|=，∴+(y0+)2=17，
∴=8，代入方程=2py0得，
8=2p(3-)，解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y
17．【答案】（1）解：由已知， ， ，得： ， ，从而 .
所以椭圆的标准方程为 .
（2）解：由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 ， .
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 .
18．【答案】（1）解：设所求椭圆的标准方程为
两焦点分别为，，
又椭圆过点，，又
，，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：方法一：
(i)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
(ii)，若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或
方法二：
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）
焦距为，
，
双曲线的标准方程为：或
19．【答案】（1）解：设点坐标为，且.
由题意，
整理得
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB的中点
联立方程得
则，且，
从而，即
设，由于为正三角形，则
，即，即
又∵，，
，
故，即，
即
即，解得，
直线的斜率