2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第四章 数列 精选题练习（拔高卷）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第四章 数列 精选题练习（拔高卷）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 33.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-08 21:34:13 | ||
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文档简介
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第四章数列精选题练习（拔高卷）
一、选择题
1．在数列中，若，，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（ ）
A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）
3．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
4．已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
5．设是正项数列的前n项和，，则（ ）
A．如果，那么 B．
C．如果，那么 D．
6．在归国包机上，孟晚舟写下月是故乡明，心安是归途，其中写道“过去的天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的天，山重水复，不知归途在何处”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为的数列是（ ）
A． B．
C． D．
7． 已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
8．设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二、多项选择题
9．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．使的的最小值为 B．
C．当取最小值时， D．为单调递减的数列
10．在数列中，（，，p为非零常数），则称为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
11．已知正项数列 满足：， 则（ ）
A． B．是递增数列
C． D．
三、填空题
12．已知等比数列的公比为，前项和为，且满足．若对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
13．设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ．
14． 若是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，，为的前n（）项和，则的值为 ．
四、解答题
15．数列满足：或．对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．
（1）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（2）记．若，证明：；
（3）若，求的最小值．
16．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即 （），我们称其为“对称数列”．例如，1，2，5，2，1是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S．
17．某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
（1）求，；
（2）求的表达式；
（3）设，证明：.
18．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
19．已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：（）；
（3）对任意的正整数，设求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：数列满足：或．
对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．
在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；
在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；
在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．
（2）证明：当时，设数列中出现频数依次为，
由题意．
①假设，则有（对任意），
与已知矛盾，所以．
同理可证：．
②假设，则存在唯一的，使得．
那么，对，有两两不相等，与已知矛盾，所以．
综上：，
所以．
（3）解：设1，2，…，2022出现频数依次为．
同（2）的证明，可得，则，
取，
得到的数列为：：1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，2021，2022，2022，2022，2022．
下面证明满足题目要求．对，不妨令，
①如果或，由于，所以符合条件；
②如果或，由于，所以也成立；
③如果，则可选取；同样的，如果，，
则可选取，使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为2030．
16．【答案】（1）解：设数列的公差为d，则，
解得，
所以数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：，，.
（2）解：由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，
∴，∴.
（3）解：.
设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，
∴，则，
即，
∴
18．【答案】（1）解：因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1（n∈N*）．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n≥2），
两式相减，得anbn＝2n·3n－1（n≥2），
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n（n≥2），
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1（符合上式），
所以bn＝n（n∈N*）．
（2）解：因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列，所以 因为 恒成立，所以 ， 即实数 的最小值为 .
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，即，可得.
从而的通项公式为.
由，，又，可得，解得，
从而的通项公式为.
（2）证明：由（1）可得，
故，，
从而，所以.
（3）解：当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和①
由①得②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前项和为.
一、选择题
1．在数列中，若，，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（ ）
A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）
3．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
4．已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
5．设是正项数列的前n项和，，则（ ）
A．如果，那么 B．
C．如果，那么 D．
6．在归国包机上，孟晚舟写下月是故乡明，心安是归途，其中写道“过去的天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的天，山重水复，不知归途在何处”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为的数列是（ ）
A． B．
C． D．
7． 已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
8．设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二、多项选择题
9．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．使的的最小值为 B．
C．当取最小值时， D．为单调递减的数列
10．在数列中，（，，p为非零常数），则称为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
11．已知正项数列 满足：， 则（ ）
A． B．是递增数列
C． D．
三、填空题
12．已知等比数列的公比为，前项和为，且满足．若对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
13．设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ．
14． 若是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，，为的前n（）项和，则的值为 ．
四、解答题
15．数列满足：或．对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．
（1）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（2）记．若，证明：；
（3）若，求的最小值．
16．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即 （），我们称其为“对称数列”．例如，1，2，5，2，1是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S．
17．某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
（1）求，；
（2）求的表达式；
（3）设，证明：.
18．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
19．已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：（）；
（3）对任意的正整数，设求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：数列满足：或．
对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．
在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；
在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；
在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．
（2）证明：当时，设数列中出现频数依次为，
由题意．
①假设，则有（对任意），
与已知矛盾，所以．
同理可证：．
②假设，则存在唯一的，使得．
那么，对，有两两不相等，与已知矛盾，所以．
综上：，
所以．
（3）解：设1，2，…，2022出现频数依次为．
同（2）的证明，可得，则，
取，
得到的数列为：：1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，2021，2022，2022，2022，2022．
下面证明满足题目要求．对，不妨令，
①如果或，由于，所以符合条件；
②如果或，由于，所以也成立；
③如果，则可选取；同样的，如果，，
则可选取，使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为2030．
16．【答案】（1）解：设数列的公差为d，则，
解得，
所以数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：，，.
（2）解：由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，
∴，∴.
（3）解：.
设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，
∴，则，
即，
∴
18．【答案】（1）解：因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1（n∈N*）．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n≥2），
两式相减，得anbn＝2n·3n－1（n≥2），
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n（n≥2），
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1（符合上式），
所以bn＝n（n∈N*）．
（2）解：因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列，所以 因为 恒成立，所以 ， 即实数 的最小值为 .
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，即，可得.
从而的通项公式为.
由，，又，可得，解得，
从而的通项公式为.
（2）证明：由（1）可得，
故，，
从而，所以.
（3）解：当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和①
由①得②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前项和为.