2023-2024学年福建省福州市骐丽三牧教育高三（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年福建省福州市骐丽三牧教育高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，( )
A. B.
C. D.
2.“”是“函数为奇函数的”( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图形大致为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若，，满足，下列正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边分别为，，下面四个结论正确的是( )
A. ，，则的外接圆半径是
B. 若，则
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则
10.已知，是正数，且，下列叙述正确的是( )
A. 最大值为 B. 的最小值为
C. 最小值为 D. 最小值为
11.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间单位：之间的关系为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是( )
A.
B. 函数在定义域上是周期为的函数
C. 直线与函数的图象有个交点
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若向量，满足，，，则与的夹角为______．
14.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 ______．
15.函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______．
16.如图，在中，若，，，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和在上的值域；
若，求的值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若是上一点，为角的平分线，求．
19.本小题分
如图，直线，线段与，均垂直，垂足分别是，，点在上，且，，分别是，上的动点，且满足设，面积为．
写出函数解析式；
求的最小值．
20.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
证明：当时，．
21.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，且满足．
求角的大小；
若是锐角三角形，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为全集或或，，
所以．
故选：．
由全集或或，求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若函数为奇函数，则，，
“”是“函数为奇函数的”充分不必要条件．
故选：．
函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
即，
两边同时平方可得，，
则．
故选：．
两边同时平方，然后结合二倍角正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】
【解析】解：，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，
当且当时，，排除，
故选：．
先判断函数的奇偶性，利用极限思想进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及极限思想是解决本题的关键，难度不大．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
，则，
，得，可得，
．
故选：．
求出原函数的导函数，可得，进一步求得，可得，然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：，，且，，即，
的图像关于点中心对称，
，且，即，解得，
，
取，，，
将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，
的图像关于轴对称，，解得，
，
当时，得，
故选：．
根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，所以，所以，
所以，所以，，
所以，
易知，所以，
所以．
故选：．
根据三角恒等变换化简计算即可．
本题主要考查三角恒等变换，考查转换思想与运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，令得．
令，得，
，．
因为为偶函数，
，即，
曲线关于直线对称．
又，
图像关于点中心对称，
，
可得，即，
又，
的周期．
，
，
．
故选：．
由已知条件推导出函数周期为，，可求．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：由正弦定理得，即外接圆半径是，故A正确；
对于：由正弦定理及得，，即，
又，则，故B正确；
对于：有余弦定理得，则为锐角，但，不确定，故C错误；
对于：若，即，则由正弦定理得，故D正确．
故选：．
根据正余弦定理及其应用，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，因为，是正数，且，所以，当且仅当时，等号成立，即A正确；
选项B，，当且仅当时，等号成立，即B正确；
选项C，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，即C错误；
选项D，，当且仅当，即时，等号成立，即D正确．
故选：．
选项A，由，得解；
选项B，配凑可得，结合选项A中所得，即可得解；
选项C，配凑可得，结合选项A中所得，即可得解；
选项D，采用“乘法”，即可得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，“乘法”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以，
所以，选项B错误；
振幅为筒车的半径，即，所以选项A正确；
由题意，时，，即，，即，选项C正确、选项D错误．
故选：．
由题意可得、、和、的值，即可判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了的图象与性质，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：为定义在上的偶函数，
且当时，有，
且当时，，
故函数的图象如下图所示：
由图可得：，故A正确；
函数在定义域上不是周期函数，故B错误；
直线与函数的图象有个交点，故C错误；
函数的值域为，故D正确；
故选：．
根据已知中函数的奇偶性，及当时，有，且当时，，画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象和性质，其中根据已知画出满足条件的函数图象是解答的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
所以，
由于，与的夹角为．
故答案为：．
求出向量的模，根据向量的夹角公式即可求得答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为函数的最小正周期为，所以；
又因为函数图象关于直线对称，可得，
可得，且，所以，所以，
所以．
故答案为：．
根据题意，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得
故答案为：
将看成一个整体，结合的图象，可判断的取值范围．
本题考查三角函数图象的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
在中，由余弦定理有，，
，
，当且仅当时取等号．
故答案为：．
设，先由余弦定理求得，再根据同角三角函数的基本关系求得，进而表示出的面积，配方后即可得到最大值．
本题考查余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由已知，
，
又，则，
则．
所以的最小正周期为
在时的值域为．
由知，，
所以，
则 ．
【解析】利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行转化，结合函数的周期性，单调性与值域的关系进行求解即可．
利用条件建立方程关系，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．考查学生的转化能力，难度中等．
18.【答案】解：由题意结合正弦定理，可得，
所以，
即，
整理可得．
因为，，
所以，
所以，
所以；
由题可得在中，，，，，
所以，
解得，则，
又因为为角的平分线，，
所以，
即，
所以．
【解析】由正弦定理边化角，可得，化简整理可得，即有，根据的范围，即可得出答案；
根据余弦定理求出，再根据，以及三角形的面积公式，列出方程，求出即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及两角和的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：结合图形可知，若，则，所以，
又，所以，
又在中，，
在中，，
所以面积为．
由，，
因为，所以，所以的取值范围是，
所以当时，取得最小值．
【解析】根据直角三角形的边角关系得，关于的表达式，再根据三角形面积公式即可得函数解析式；
利用三角恒等变换化简，再根据函数的性质即可得的最小值．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，函数解析式的求法，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：的定义域为，
，
当时，有，即在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知时，时，函数取得极小值即最小值，
当时，，
令，，
，
在上单调递减，在上单调递增，
时函数取得极小值即最小值，
，
，即当时，．
【解析】求出导函数，对分类讨论，可得其单调性；
由可知时，时，函数取得极小值即最小值，当时，，令，，利用导数研究其单调性与极值即可证明结论．
本题考查了利用导数研究其单调性与极值及最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由得：，
，则，
又，
；
是锐角三角形，，
，解得：，
由正弦定理得：其中，，
当时，，
当时，，
当时，，
的取值范围为．
【解析】将已知等式配凑成的形式，由此可得；
根据锐角三角形的特征可求得的范围；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围可确定最值，由此可得结果．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角函数的恒等变换，属于中档题．
22.【答案】解：定义域为，
，
令，即，解得，
当，时，，当，时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为，．
证明：要证，即证，
设函数，，则，
令，则恒成立，所以在上单调递增．
又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，结合，知，
所以，则，
故原不等式得证．
【解析】求导函数，令，得，确定区间，，，导函数符号，即可得函数的单调区间；
将所证不等式转化为，构造函数，，求导确定函数的单调性及取值情况，即可证得结论．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了导数与函数性质在不等式证明中的应用，属于中档题．
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