备战2024届广东新高考数学仿真模拟练习卷（二）（新结构）（含解析）

备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（二）（新结构）
考生注意：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑-.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A．90 B．125 C．180 D．243
6．平行四边形中，，，，，则的值为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
7．年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段或直线上两点，，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图，一条直线垂直于一个平面，直线有两点，位于平面的同侧，求平面上一点，使得最大建立如图所示的平面直角坐标系设，两点的坐标分别为，，设点的坐标为，当最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（ ）

A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若存在，使得对都有，则的最小值为
C．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为
11．（本题6分）已知一圆锥，其母线长为且与底面所成的角为，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（ ）（参考数值：，）
A．一个半径为的球
B．一个半径为与一个半径为的球
C．一个边长为且可以自由旋转的正四面体
D．一个底面在圆锥底面上，体积为的圆柱
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
13．已知圆：，若为直线：上的点，过点可作两条直线与圆分别切于点，，且为等边三角形，则实数的取值范围是 .
14．已知函数，有唯一零点，则的值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
16．（本题15分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，．
(1)求证：
(2)若，求二面角的余弦值．
17．（本题15分）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
18．（本题17分）已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
19．（本题17分）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（二）（新结构）
答案解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式求得集合B，再根据并集的概念计算即可.
【详解】由可得，即，
而，所以.
故选：B.
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数除法运算即可化简，由共轭的定义即可求解.
【详解】由得，
故，
故选：A.
3．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.
【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．
故选：A．
4．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解.
【详解】若是递增数列，则公差，所以，
故，所以为递增数列，
若为递增数列，则，则，
故，所以是递增数列，
故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，
故选：C.
5．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A．90 B．125 C．180 D．243
【答案】A
【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.
【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，
所以不同的安排方法共有种.
故选：A．
6．平行四边形中，，，，，则的值为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【分析】以作为基底，得，代入数值即可.
【详解】因为平行四边形中，，，，，
所以，
,
故选：D.
7．年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段或直线上两点，，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图，一条直线垂直于一个平面，直线有两点，位于平面的同侧，求平面上一点，使得最大建立如图所示的平面直角坐标系设，两点的坐标分别为，，设点的坐标为，当最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到结果.
【详解】由题意可知是锐角，且，
而，
所以，
而 ，当且仅当 ，即时取等号，
因为是锐角，
所以当时，最大，此时最大.
故选：D.
8．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】做轴于点，得到点的纵坐标，从而得到，然后根据，列出方程，即可得到结果.
【详解】
由题意，做轴于点，
因为四边形是等腰梯形，则，
则点的横坐标为，代入椭圆方程，
可得，即，
因为，则，
由，则，
化简可得，，同时除可得，
即，
对于
当时，，当时，，
在时，方程有根，
且，故应舍，所以.
故选：D.
【点睛】解答本题的关键在于得到点的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到的关系式.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（ ）

A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
【答案】BD
【分析】对A，根据条形图数据可判断；对B，根据数据计算年增长率可判断；对C，计算极差可判断；对D，根据80%分位数概念计算可判断.
【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；
对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，
2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，
2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，
故年增长率最大的是2021年，故B正确；
对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；
对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，
所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.
故选：BD.
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若存在，使得对都有，则的最小值为
C．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】化简的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】已知函数，可知其值域为，故选项A正确；
若存在，使得对都有，
所以的最小值为，故选项B错误；
函数的单调递增区间为，
，
所以，令，则的取值范围为，故选项C正确；
若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，，
由如图可得：，

的取值范围为，故选项D正确；
故选：ACD.
11．（本题6分）已知一圆锥，其母线长为且与底面所成的角为，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（ ）（参考数值：，）
A．一个半径为的球
B．一个半径为与一个半径为的球
C．一个边长为且可以自由旋转的正四面体
D．一个底面在圆锥底面上，体积为的圆柱
【答案】ABC
【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】如图1，球与圆锥侧面、底面均相切，球与球、圆锥侧面相切，
作圆锥的轴截面如图2，设小球半径为，球与边相切于点E，
，，，
所以，，
，故A正确；
设小球半径为，同理可知，故B正确；
将棱长为的正四面体放置到正方体中，如图
AI
则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点处，半径为的一半长，易知，，所以，
故棱长为的正四面体外接球半径为，则则边长，
，故C正确；
如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为，高为，
因为，又易知，，代入，
整理得到，所以圆柱的体积，
令，得或，
则体积在上单调递增，在上单调递减，
，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式可得，由题意分析可知是的子集，根据子集关系列式求解即可.
【详解】由可得，则，解得，
即，
若是的充分条件，则是的子集，
可得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13．已知圆：，若为直线：上的点，过点可作两条直线与圆分别切于点，，且为等边三角形，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出圆心和半径，由已知条件可得，利用圆心到直线：的距离，解不等式即可求解.
【详解】由可得，所以圆心，半径，
过点可作两条直线与圆分别切于点，，且为等边三角形，
所以，所以，
圆心到直线：的距离，
解得：，
故答案为：.
14．已知函数，有唯一零点，则的值为 .
【答案】2
【分析】设，转化为方程有唯一解，即有唯一解，设，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.
【详解】由题意知有唯一解，，
故，
设，即，设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；，
故方程有唯一解，即有唯一解，即有唯一解，
设，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当趋近于0和趋近于时，趋近于，
故只需满足，
设，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故，故成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)；(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
16．（本题15分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，．
(1)求证：
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）根据平面平面，，得到平面，进而得到，再由，利用线面垂直的判定定理得到平面证明；
（2）结合（1）建立空间坐标系，分别求得平面的一个法向量 和平面的一个法向量，由求解.
【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以，又，
则；
（2）以O为原点，以CA，CB和的中垂线，分别为x，y，z轴，建立如图所示空间坐标系：
设，由题意得，
则，
所以，
设平面的一个法向量为： ，
则，即，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
所以二面角的余弦值为：.
17．（本题15分）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意可知共有个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去），
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，
这3个团队全是跟团游团队的概率为；
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为
0 1 2 3 4
P
数学期望.
18．（本题17分）已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）结合题意，利用渐近线之间的关系找到，再利用点F到双曲线的一条渐近线的距离，求出即可;
（2）分别将直线的方程，直线的方程与联立，结合弦长公式表示出，化简即可证明为定值.
【详解】（1）由双曲线：可得其中一条渐近线的方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，即，
所以，所以的一个焦点为，
点F到双曲线的一条渐近线的距离为，
所以，故的方程为．
（2）设，则，即，，
由题意上任意一点关于直线的对称点为，得，
设，，由题意直线与的渐近线的平行，故的斜率为，
则直线的方程为，与，
联立得，
直线的方程为，与,
联立得，
所以，
故为定值．

【点睛】关键点点睛：当过圆锥曲线上一点或平面上的一点作一条直线与圆锥曲线相交时，可以联立方程,当该点特殊时，利用韦达定理快速求出另一交点坐标，有了交点坐标，计算起来会更加方便快捷，不需要韦达定理来解题.
19．（本题17分）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
【答案】(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集；(2)见见解析；(3)
【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；
（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合去绝对值的方法即可证明；
（3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，由此得解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.
【详解】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解元规范数集的定义，得到，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.