备战2024届广东新高考数学仿真模拟练习卷（四）（新结构）（含解析）

备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（四）（新结构）
考生注意：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑-.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数对任意的有，且当时，，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．11
5．体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．72种 D．96种
6．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．己知正实数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．
月份 1 2 3 4 5 6
生产总值 30 33 35 38 41 45
根据上表可得到回归方程，则（ ）
A．
B．与正相关
C．若表示变量与之间的相关系数，则
D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元
10．已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．在区间上既有极大值又有极小值
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
11．己知正方体的边长为1，点P满足，其中，，则（ ）
A．当时，存在点P，使得平面
B．当时，不存在点P，使得平面
C．当，满足时，点到平面的距离的最小值为
D．当，满足时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
13．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
14．直线与双曲线的左、右支分别相交于两点，为坐标原点，是双曲线右焦点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本题15分）2023年湖北省羽毛球青少年俱乐部联赛鄂北大区赛在襄阳举行，来自襄阳、十堰、孝感、随州4个城市的28支俱乐部的305名运动员挥拍上阵，展现了湖北省基层青少年羽毛球运动的活力与潜力、赛前各俱乐部对此赛事积极准备，某俱乐部计划对男子个大单打项目的运动员进行内部选拔，在队员甲和乙中选择优胜者参加比赛．选拔规则是两人比赛，先连胜两局者直接胜出，比赛结束．若赛完5局仍未出现连胜，则获胜局数多者胜出．现已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率是，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲恰好在第4局比赛后胜出的概率；
(2)记比赛结束时的比赛局数为，求的分布列与期望．
17．（本题15分）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（本题17分）己知椭圆的上、下顶点分别是A，B，点E（异于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为，椭圆C的短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P，N，若为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
19．（本题17分）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为．
(1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．
备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（四）（新结构）
答案解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.
【详解】由题设，，
所以，
故，即为.
故选：D.
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.
【详解】，故虚部为.
故选：C.
3．已知函数对任意的有，且当时，，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，得到函数是奇函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.
【详解】由得，则函数是奇函数，排除A、C
当时，，对应的图象为D，
故选：D.
4．数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．11
【答案】A
【分析】设的公差为，的公比为，利用计算即可.
【详解】设的公差为，且，的公比为，
因为，所以，则，
因为，
所以，
所以的公比.
故选：A.
5．体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．72种 D．96种
【答案】C
【分析】利用间接法，先让5名学生排成一排，再让2名女生相邻，即可得结果.
【详解】让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，
让2名女生相邻，不同的排法共有种，
所以符合题设的不同的排法共有种.
故选：C.
6．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.
【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，
点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，
则点为三棱锥外接球的球心，
因为平面，且为等边三角形，，
所以四边形为矩形，，，
所以，即三棱锥外接球的半径，
则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．
【详解】，
则．
故选：A．
8．己知正实数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由等式想到构造函数和，分别考查两函数的单调性和最值情况以及函数值大小关系，得到函数与的图象，由图可得，，再结合先放缩成，即，构造函数，判断其单调性得到其值域，从而得到，即得.
【详解】因，由可得：，则．
由化简得：，分别设函数，．
由，，则当时，，当时，，
则在上递减,在上递增，故.
又，则当时，，当时，，
则在上递减；在上递增， 故．
由，则时，；时，；时，．函数与的图象如图．
令．由于，则，，排除C，D；
由于，，则．
令，其在R上单调递增．由于，则，
则有，即得．
综上，.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造函数利用其单调性等性质比较参数大小的问题,属于难度较大题.
解决的关键在于结合题设条件，构造相应的函数，通过研究函数的图象性质，如单调性，最值，值域以及两函数的函数值大小关系，得到自变量（参数）的范围.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．
月份 1 2 3 4 5 6
生产总值 30 33 35 38 41 45
根据上表可得到回归方程，则（ ）
A．
B．与正相关
C．若表示变量与之间的相关系数，则
D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元
【答案】ABD
【分析】对于A，先算出代入验算即可；对于B，由判断即可；对于C，由的公式对比即可求解；对于D，代入预测模型表达式验算即可.
【详解】对于A，，，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以与正相关，故B正确；
对于C，相关系数，故C错误；
对于D，当时，，故D正确.
故选：ABD.
10．已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．在区间上既有极大值又有极小值
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
【答案】AB
【分析】由题意根据函数的图象变换规律，即正弦函数的图象和性质，逐一判断每一选项即可得解.
【详解】由题意在函数的部分图象上，
所以，即，所以，
再根据，即，
结合图象可得，所以，，
对于A，由于为函数的最大值，所以，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，所以没有极大值，故C错误；
对于D，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故D错误.
故选：AB.
11．己知正方体的边长为1，点P满足，其中，，则（ ）
A．当时，存在点P，使得平面
B．当时，不存在点P，使得平面
C．当，满足时，点到平面的距离的最小值为
D．当，满足时，三棱锥的体积的最小值为
【答案】ACD
【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．对于A，当时，取，则点P与A重合，得，可得，则，即可判断A；对于B，当时，取，则点P与B重合，得，可证得，，从而平面，即可判断B；对于C，由条件，利用向量法求出点到平面的距离的表达式，进而可判断C；对于D，由条件可设，则，利用向量法得出点到平面的距离的表达式，结合三角函数的性质求出最小值，进而得三棱锥的体积的最小值，即可判断D.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
对于A，当时，取，则点P与A重合，得，
∴，∴，∴,
∵平面,平面,∴平面，故A正确；
对于B，当时，取，则点P与B重合，得，
∵，
∴，
，
∴，，
又∵,平面，
∴平面，故B错误；
对于C，由及，
得，则，
∴，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴点到平面的距离为，
∵，∴当时，，故C正确；
对于D，为正三角形，，则，
由，，，可得，
则可设，
则，
则，，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴点到平面的距离为
，
∵，∴，
∴当，即时，取最大值，从而，
∴三棱锥的体积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
【答案】40
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】展开式的通项，令，得.
所以的系数为.
故答案为：40.
13．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
【答案】5
【分析】利用导数可得导函数为0时或，则得到的范围.
【详解】，
时，或，
因为函数定义域为，则在左端点处无法取到极值，
，故对于正整数取5，经检验满足题意，
故答案为：5.
14．直线与双曲线的左、右支分别相交于两点，为坐标原点，是双曲线右焦点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据，结合正切函数定义推出，从而求出直线的斜率，设，利用直线的垂直关系，求出的表达式，代入双曲线方程，可得关于的齐次式，即可求得答案.
【详解】如图，，则,
因为，故，
故，
则，即直线的斜率为，

设，则，即，
又，，c为双曲线的半焦距，
则,即，即，
则，将，代入，
得，整理得，
即，解得或，
由于，故，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解答的关键是利用题意，求出B点坐标的表达式，进而代入双曲线方程，得到关于的齐次式，即可求解离心率.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）因为平面平面，所以．
又因为，且，所以平面，
且平面，所以，
而，且，平面，
所以平面．
（2）如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
因为，则，
令，可得，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角余弦值为．
16．（本题15分）2023年湖北省羽毛球青少年俱乐部联赛鄂北大区赛在襄阳举行，来自襄阳、十堰、孝感、随州4个城市的28支俱乐部的305名运动员挥拍上阵，展现了湖北省基层青少年羽毛球运动的活力与潜力、赛前各俱乐部对此赛事积极准备，某俱乐部计划对男子个大单打项目的运动员进行内部选拔，在队员甲和乙中选择优胜者参加比赛．选拔规则是两人比赛，先连胜两局者直接胜出，比赛结束．若赛完5局仍未出现连胜，则获胜局数多者胜出．现已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率是，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲恰好在第4局比赛后胜出的概率；
(2)记比赛结束时的比赛局数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求的分布列；以及期望．
【详解】（1）用A表示甲恰好在第局赢得比赛的是事件，表示第局甲获胜，表示第局乙获胜，
则，，，
所以.
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
所以.
17．（本题15分）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【分析】（1）求出，当时，求出的解即可；
（2）所求的问题为在上恒成立，设，，注意，所以在递增满足题意，若存在区间递减，则不满足题意，对分类讨论，求出单调区间即可.
【详解】（1）当时，，
则.
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，得在上恒成立.
设，则.
设，
①当时，，则在上恒成立，
在上单调递增，在恒成立，
所以当时，在上恒成立；
②当时，令，
得或（舍去）.
所以当时，，
则是上的减函数；
当时，，
则是上的增函数.
所以当时，.
因此当时，不恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.
18．（本题17分）己知椭圆的上、下顶点分别是A，B，点E（异于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为，椭圆C的短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P，N，若为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在稳定点，理由见详解
【分析】（1）根据题意可得两点坐标，设出点，由化简可得椭圆C的标准方程；
（2）设直线，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，又，，从而可求的表达式， 即可求解.
【详解】（1）由题，，即，所以，，
设，由可得，
，化简得，又点满足上式，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）存在这样的点，设直线，，，，
联立，消去整理得，
，，，
又，，
，
要使上式为定值，则，故当时，为定值，
综上，存在这样的稳定点.
【点睛】思路点睛：第二问，设出直线与椭圆方程联立，得到根与系数关系，又利用两点间距离公式可得又，，代入运算化简得解.
19．（本题17分）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为．
(1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．
【答案】(1)，；(2)0；(3)见解析
【分析】（1）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；
（2）分情况讨论，结合题意分析求解；
（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过．
【详解】（1）因为，
经过变换后得到的数阵，
经过变换后得到的数阵，
所以.
（2）若，则，可得；
若，则，可得；
若，则，可得；
若其中一个为3，另外两个属于，则，
可得；
若，则，可得；
若，其中一个为3，另外一个属于，
则，可得；
若，其中一个为3，另外一个属于，
则，可得；
若，则，可得；
综上所述：的所有可能取值的和为.
（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、；
不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为
.
若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为、．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为．
同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为．
所以的所有可能取值的和为，
又因为、、、，所以的所有可能取值的和不超过．
【点睛】方法点睛：从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义，再运用新定义解决问题，然后得出结论.