备战2024届广东新高考数学仿真模拟练习卷（五）（新结构）（含解析）

备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（五）（新结构）
考生注意：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑-.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设（其中i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
3．已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
5．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥
8．已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．下列结论中正确的是（ ）
A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
10．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为 B．
C．的最小值为 D．的最大角为
11．已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为五边形
D．当，，时，截面为梯形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知的展开式中含项的系数为8，则实数 .
13．已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
14．已知函数恰有两个零点，则 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知函数，．
(1)若不单调，求实数a的取值范围；
(2)若的最小值为，求实数a的取值范围．
16．（本题15分）如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
(1)求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
17．（本题15分）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束.
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
获胜概率
(1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
(2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
18．（本题17分）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)求面积的最小值.
19．（本题17分）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(2)设，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（五）（新结构）
答案解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解法求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以.
故选：A.
2．设（其中i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】将表示的复数代入所求式，化简成一个复数的模，再运用模的运算公式计算即得.
【详解】因，则.
故选：B.
3．已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】在上的投影向量为 ,
故选：A.
4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
【答案】D
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
由，得第30百分位数是第2个数据，故,
由，得第50百分位数是第3与4个数据平均值，解得．
所以.
故选：D．
5．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】小青瓦所要覆盖的面由两个矩形及四个正三角形组成，分别求解即可.
【详解】由题意，，且，则，
则正四面体的一个面为边长为的正三角形，其面积为；
又，
则正三棱柱的一个侧面为长为，宽为的矩形，其面积为；
所以小青瓦所要覆盖的面积为个正三角形与个矩形的面积和，
则.
故选：A.
6．记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】若为等差数列，则数列的前项和为，
若数列的前项和为，
则时，，
所以，，
两式相减得，，
所以为等差数列；
综上所述，甲是乙的充要条件.
故选：C.
7．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥
【答案】A
【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.
【详解】依题意，，，，
，，B对，
，A错；
，，
所以，，所以，事件与事件不相互独立，C对，
由题意可知，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，
因此，事件、、两两互斥，D对.
故选：A.
8．已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义求出，结合余弦定理可求离心率.
【详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接，
因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以，
因为，，
所以.
因为，所以；
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，即.
故选：D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．下列结论中正确的是（ ）
A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
【答案】BD
【分析】根据独立性检验的公式，可得判定A不正确；根据方差的性质，可判定B正确；根据相关性的定义，可判定C不正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确.
【详解】对于A中，若的列联表中的每个数字变成原理的2倍，
则，
此时变为原理的2倍，所以A错误；
对于B中，在随机变量服从正态分布，若，则，所以B正确；
对于C中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据完全相关，所以这组样本数据的样本相关系数为，所以C不正确；
对于D中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，可得，，可得，所以事件是相互独立事件，所以D正确.
故选：BD.
10．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为 B．
C．的最小值为 D．的最大角为
【答案】ACD
【分析】由动点的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求的最大值验证选项D.
【详解】设，依题意有，化简得，
所以动点的轨迹方程为，A选项正确；
方程表示圆心为半径为2的圆，圆心到直线的距离，
所以的最小值为，B选项错误；
，当三点共线时，有最小值，
最小值为点到直线的距离，C选项正确；
的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确；
故选：ACD.
11．已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为五边形
D．当，，时，截面为梯形
【答案】AC
【分析】分类讨论不同的位置，即可得出结论.
【详解】由题意，在直三棱柱中，
，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，
A项，当时，截面为等边三角形，
此时，且，A正确；
B项，当时，点在三棱锥内部，为三角形，
当时，不为平行四边形，
当时，不为平行四边形，
当时，不为平行四边形，
当有两个大于时，不为平行四边形,
当有三个大于时，截面为,
∴不存在正实数，，，使得截面为平行四边形，B错误；
C项，当，时，，解得：（舍）或，
当时， ，在三棱柱外，在三棱柱内，截面为五边形,故C错误；
D项，当，，时，截面为四边形,
易知与相交，
假设，因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，所以（矛盾），
故四边形不是梯形，
故D错误.
故选：AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知的展开式中含项的系数为8，则实数 .
【答案】3
【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为：.
13．已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用三角恒等变换将化简，再结合的图像和性质得解.
【详解】
，
，
，
设，，
有三个极值点和三个零点，由的性质可得，
，.
故答案为：.
14．已知函数恰有两个零点，则 .
【答案】
【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为，
所以
令，则，令，
故当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
即当时函数有最小值，
若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符，且当时，的零点为1；
若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，
设交点为，且，即，
所以当或时，即，此时函数为增函数，
当时，即，此时函数为减函数，
依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，
所以或，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数的交点个数问题求解.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知函数，．
(1)若不单调，求实数a的取值范围；
(2)若的最小值为，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性，即可求解；
（2）由（1）知函数的单调性，求出函数的最小值即可求解.
【详解】（1），
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵在上不单调，∴；
（2）由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，
所以实数a的取值范围为.
16．（本题15分）如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
(1)求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先证明平面，即可得出线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，向量法求解线面角即可.
【详解】（1）因为，所以四点共面.
因为平面，平面，
所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
（2）由题意，，，互相垂直，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
则，，，
设平面的法向量为，
所以由，得，
令，可得，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线CN和平面AMN所成角的正弦值为.
17．（本题15分）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束.
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
获胜概率
(1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
(2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜,最多比赛四场结束且甲队获胜，对应如下应事件，利用独立事件和互斥事件的概率计算即可得出结果；
（2）事件表示第一场甲获胜，则事件A表示甲以3：1获胜，即求条件概率，由，计算即可得出结果.
【详解】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜
（2）设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则
.
所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为.
18．（本题17分）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）列出关于的方程组，求得后再求出得椭圆方程，设，直线的斜率分别为，设直线为，代入椭圆方程应用韦达定理得，，计算并代入韦达定理的结论可证；
（2）设，则，由直线方程求得的纵坐标，从而求得，计算到直线的距离，计算出面积，再转化为一元函数后，利用判别式法求得最值．
【详解】（1）由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，
设，直线的斜率分别为，
设直线为，与椭圆联立，
可得，
所以，
，
代入可得，
所以直线与的斜率之积为定值.
（2）设，则，又点到直线的距离是，
由解得，同理.
所以，代入得
，
设，则，由题意得，
化简得，解得或，故，
故，等号成立当仅当，或者.
所以面积的最小值为．
【点睛】直线与圆锥曲线相交中的定值问题，一般可设出交点坐标为，，设出过两交点的直线方程，并代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得出（或），然后再由交点坐标求出需证定值的量，一般代入韦达定理的结论化简后可得定值．
19．（本题17分）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(2)设，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数与函数单调性的关系，结合零点定理，可得答案；
（2）对函数求导并分解因式，利用分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（2）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是含谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，，
由得，所以，
由得，所以，
所以当时，；当时，，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.