黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

2023-2024学年高二下学期开学考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．-8 C．64 D．-64
4．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
5．平面内动点P在椭圆上，则（O为坐标原点）的最大值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
6. 等差数列中，，则前项的和（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．已知直线与，则（ ）
A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则
C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等
10. 在等差数列中，，，为的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知圆，直线，则（ ）
A. 圆C的圆心为 B. 点在l上
C. l与圆C相交 D. l被圆C截得的最短弦长为4
12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．知抛物线：（），为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．设，，下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，平分，则点横坐标为3
C. 若，抛物线在点处的切线方程为
D. 若，抛物线上存在点，使得
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线与直线平行，则实数______．
14．数列的前项和为，则 ．
15．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．
16. 定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．(10分)的三个顶点是，，，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程.
18. (12分)如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由．
19. （12分）已知数列满足，
（1）证明是等比数列，
（2）求数列的前项和
20. （12分）如图，四棱锥，底面为正方形，平面，为线段的中点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
21. （12分）已知等差数列的公差，前3项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
22. （12分）已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积．
2023-2024学年高二下学期开学考试
数学试卷答案
1—8 BDDB BDAC
9.AC 10.ABC 11. BCD 12. AC
13. 14. 15. 16. 8091
17．(10分)【答案】(1)；(2).
【详解】（1）由题设，的中点坐标为，则中线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，
所以上的中线所在直线的方程为.
（2）由题设，边的斜率为，则边高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为，
所以上的高所在直线的方程.
18.(12分)【答案】（1）. （2）.
解：（1）因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，
设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，
所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；
（2）因为点，有，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，
检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.
19.（12分）【答案】（1）见解析；（2）
解：（1）由得，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，
（2）由（1）知的通项公式为；则
所以
20.（12分）【答案】（1）证明见解析 （2）
【小问1详解】连接，设与交点为，连接，
因为为正方形，所以，因为平面，所以，因为，BD,PB含于面PBD,所以平面，所以；
【小问2详解】
因为底面为正方形，且平面，
所以，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，如图所示．
所以，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，设直线与平面所成角为，由图可知为锐角，
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
21.（12分）【答案】（1）（2）
【详解】（1）∵，∴①
又∵成等比数列，∴，②
∵，由①②解得：，，∴
（2）∵，，
∴
两式相减，得∴
22.（12分）【答案】（1） （2）直线的方程为；的面积为.
【小问1详解】因为双曲线的左、右焦点为，，
所以，双曲线：的渐近线为，因为，
所以到双曲线一条渐近线的距离为：,
则，所以双曲线：.
【小问2详解】证明：由题意可得，设直线，
由，消去，整理得：，，
可得，，
设直线方程，可得，
设直线，可得，
所以，因为
所以，
又
所以，所以，即，
所以直线的方程为：. 则.