高二模拟测试卷数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列的首项为－4，公比为，则该数列的第3项为（ ）
A －9 B. －6 C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列的性质求解即可.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
由题意可知：，
所以.
故选：A.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. －3 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，
若，则，即，
解得：.
故选：D.
3. 已知直线的倾斜角大于，且在轴上的截距小于0，则不可能经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角以及截距即可判断直线经过的象限.
【详解】直线的倾斜角大于，则直线必经过第二和第四象限，
在轴上的截距小于0，故直线经过第二和三象限，
因此直线经过二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A.
4. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义可知，再由，解方程即可得出答案.
【详解】因为，则，
由椭圆的定义可知：，
又因为，解得：.
故选：B.
5. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中为常数．若当时，该质点的瞬时速度为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】质点在某时刻的瞬时速度即为该函数在该时刻的导数值，先将代入导函数，求出的值，再将代入导函数求值即可.
【详解】由函数关系式，
得其导函数为：，
由于当时，该质点的瞬时速度为，
将代入导函数，得，
所以，
则由函数关系式，其导函数为：，
将代入导函数，得，
所以当时，该质点的瞬时速度为，
故选：C.
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】如图所示，四面体中，满足，
可得
．
故选：C.
7. 已知函数的导函数为，且，则必有（ ）
A. 函数为增函数 B. 函数为增函数
C. 函数为减函数 D. 函数为减函数
【答案】D
【解析】
【分析】求导即可根据导函数的正负确定单调性.
【详解】由可得，
由于的正负无法确定，因此无法判断单调性，
由得，
因此函数为减函数，故D正确 ，ABC错误，
故选：D
8. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天
【答案】C
【解析】
【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），
则，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由则，因为，
即，又，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前项和为，且，其中为常数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，是等差数列 B. 当时，
C. 当时，是等比数列 D. 当时，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差等比数列的定义及性质即可判断AC，根据求和公式即可判断B，根据等比数列基本量的计算即可求D.
【详解】当时，，则，
故为常数，所以是等差数列，
此时，则，故AB正确 ，
当时，，当时，此时，故不是等比数列，C错误，
当时，，若，所以，故，
则，D正确，
故选：ABD.
10. 已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（ ）
A. 的坐标为
B. 的坐标为
C. 平行四边形第四条边所在直线的方程可能为
D. 平行四边形第四条边所在直线的方程可能为
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立直线的方程即可求解交点坐标，判断AB，根据直线平行，结合平行线距离公式以及面积可得，即可根据待定系数法求解.
【详解】由,解得，所以,
由,解得，所以,故A错误，B正确，
由于，故，且之间的距离为，
根据平行四边形的面积为5，所以,故，
设：，则，
在上，所以，
又，
解得或，
所以直线方程可能为，和，CD正确，
故选：BCD
11. 假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A. 直线与曲线双切
B. 直线与曲线单切
C. 直线与曲线交切
D. 存在唯一的直线，与曲线单切且交切
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的图象可作出的图象，数形结合，即可判断A，C；结合单切的含义以及导数的几何意义可判断B；根据函数图象的对称性可判断D.
【详解】令，则，
令或；令；
则在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
且时，或，
由此可得的图象，继而可作出的图象，如图：
对于A，C，直线与曲线相切，切点为，
故直线与曲线双切，同时还与曲线相交，
故直线与曲线交切，A，C正确；
对于B，由于，则，故曲线不存在斜率为的切线，
令，解得，即曲线斜率为4的切线的切点横坐标位于内，
结合的图象知：曲线斜率为的切线的切点横坐标位于内，故作出直线与曲线相交，B错误；
对于D，由于定义域为R，满足，故为偶函数，其图象关于y轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线单切且交切，
否则若存在直线与曲线单切且交切，如图，则必存在关于y轴对称的直线与曲线单切且交切，D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的准线方程为______，写出一个以的焦点为右焦点的椭圆的标准方程：______．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据准线方程即可求解空1，根据抛物线焦点得椭圆焦点，即可根据椭圆的几何性质求解空2.
【详解】的准线方程为，
的焦点为，所以椭圆的右焦点为，
故椭圆方程可以为，
故答案为：，（答案不唯一）
13. 函数的极小值点为______，极大值为______．
【答案】 ①. ②. 18
【解析】
【分析】求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】由得，
令，解得或，
令，解得，
故在和上单调递增，在单调递减，
故在处取极小值，在处取极大值，
故，，
故答案为：，18，
14. 已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的右焦点为，根据双曲线的对称性可知四边形为矩形，且，结合双曲线的离心率与三角恒等变换计算，即可求解.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，
由双曲线的对称性可知四边形为矩形，且，
所以，，
由双曲线的定义知，，而，
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据裂项求和以及分组求和，即可求解.
【小问1详解】
设公差为，由可得，解得，
故
【小问2详解】
，
所以
16. 已知圆的方程为，点的坐标为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论,结合点到直线的距离等于半径即可；
（2）设出直线的方程，利用垂径定理建立关于的方程，解出后即可得出答案．
【小问1详解】
圆心坐标，半径为2，
当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则，即，解得，
此时直线的方程为；
综上，直线的方程为或；
【小问2详解】
显然直线的斜率存在，
设其方程为，即，
由（1）可知，圆心到直线的距离为，
由垂径定理可知，，
则，解得或，
则直线直线的方程为或．
17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.
（2）以直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.
【小问1详解】
因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为平面，平面平面
【小问2详解】
过点作，垂足为，
在中，，
所以，因为，
所以，设，
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得
设二面角的大小为，易得为锐角，
则，所以二面角的余弦值为.
18. 已知点，动点P到y轴的距离为d，且，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）若，是C上不同的两点，点A在第一象限，直线的斜率为k，且，求.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，由可得C的方程；
（2）求出坐标，当B在曲线上时，设直线的方程为，联立直线与抛物线求出坐标，根据求得；当B在曲线上时，根据求得.
【小问1详解】
设，则，.
由，可得，整理得.
当时，；
当时，.
所以C的方程为或.
【小问2详解】
因为A在第一象限，所以.
设B在曲线上，则直线方程为，即，代入，得.
由韦达定理得，
则，.
因为，所以，解得或4.
当时，B与A重合，不符合题意，所以，.
设B在曲线上，，
因为，所以，解得（正根已舍去）.
综上，或.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】19. 答案见详解
20.
【解析】
【分析】（1）求出导数，对分三种情况讨论判断的正负，得解；
（2）先通过特例，得，然后利用（1）的结论，求解函数的最大值即可.
【小问1详解】
由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.高二模拟测试卷数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列的首项为－4，公比为，则该数列的第3项为（ ）
A. －9 B. －6 C. 6 D. 9
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. －3 D. 3
3. 已知直线的倾斜角大于，且在轴上的截距小于0，则不可能经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中为常数．若当时，该质点的瞬时速度为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的导函数为，且，则必有（ ）
A. 函数为增函数 B. 函数为增函数
C. 函数为减函数 D. 函数为减函数
8. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前项和为，且，其中为常数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，是等差数列 B. 当时，
C. 当时，是等比数列 D. 当时，若，则
10. 已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（ ）
A. 的坐标为
B. 坐标为
C. 平行四边形第四条边所在直线的方程可能为
D. 平行四边形第四条边所在直线方程可能为
11. 假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A. 直线与曲线双切
B. 直线与曲线单切
C 直线与曲线交切
D. 存在唯一的直线，与曲线单切且交切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线准线方程为______，写出一个以的焦点为右焦点的椭圆的标准方程：______．
13. 函数的极小值点为______，极大值为______．
14. 已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16. 已知圆的方程为，点的坐标为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程．
17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知点，动点P到y轴的距离为d，且，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）若，是C上不同两点，点A在第一象限，直线的斜率为k，且，求.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
