2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）--6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册
第二章6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
A级必备知识基础练
1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状不可能是(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是(　　)
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
3.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m为(　　)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
5.点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
6.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,流速大小为20 km/h,若不考虑其他因素,求帆船行驶的速度大小与方向.
B级关键能力提升练
7.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,若共线,则 (　　)
A.)
B.)
C.
D.=2()
8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　)
A.　　　　　　　　　　B.2
C.3 D.2
9.如图所示,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q,且P,Q用轻线相连.现用恒力F沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为　　　　　.
10.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重(单位:kg)约为多少 (参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,≈1.732)
C级学科素养创新练
11.已知某河流河水自西向东流速大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
参考答案
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
1.AD　因为P是△ABC所在平面内一点,
且||-|-2|=0,
所以||-|()+()|=0,
即||=||,
所以||=||,两边平方并化简得=0,所以,
所以∠A=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形.
故选AD.
2.BD　根据向量将船速v分解,当v垂直于河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短.
3.B　如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20 N,
所以|F1|=|F2|=10 N.
当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,
此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10 N.
4.D　由+2=m,得.
设,则,所以A,B,D三点共线.
如图所示.
因为反向共线,
所以,
所以,
解得m=-4.故选D.
5.D　∵,
∴()·=0,
∴=0,∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC,OC⊥AB,
∴O为三条高所在直线的交点.
6. 解如图所示,建立平面直角坐标系(x轴的正方向为东,y轴的正方向为北).风力的方向为北偏东30°,速度大小为|v1|=20 km/h,水流的方向为正东,速度大小为|v2|=20 km/h,帆船行驶的速度为v,
则v=v1+v2.由题意可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10),向量v2=(20,0),
则v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),
∴|v|==20(km/h),
tan α=.
∵α为锐角,∴α=30°.
故帆船向北偏东60°方向行驶,速度大小为20 km/h.
7.C　设=m().
因为=m(),
所以=m(),
所以=(m-1)+m(),
取BC边的中点D,连接OD,则OD⊥BC,
所以=2=0.
又因为AH⊥BC,
所以=0.
所以=(m-1)+2m=0,
所以0=(m-1).
又因为不恒为0,
所以必有m-1=0,
解得m=1.
所以.
故选C.
8.B　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.
设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),
所以=(2,-a),=(4,a).
因为,所以=0,
所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8,
所以a=2,
所以=(2,-2),
所以||==2.
9.　对受力进行分析,依题意,重力可以忽略不计,记Q受轻线的拉力为T,由于两环稳定时受力平衡,只能是轻线与OA杆垂直,即轻线与OB的夹角为-θ,故|T|=.
10.解由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图,记F为F1与F2的合力,则有|G|=|F|,其中|G|=mg,m(单位:kg)为学生的体重,
因为|F1|=|F2|=360 N,F1与F2的夹角为60°,
所以|F|=|F1+F2|==360 N.
又g取10 m/s2,所以10m=360,m=36,
把≈1.732代入,可得m≈62.故该学生体重约为62 kg.
11.解如图①,设=v0,=v1,=v2,
则由题意知v2=v0+v1,||=1,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
图①
图②
(1)由此人朝正南方向游,得四边形OACB为矩形,且||=AC=,如图②所示,则在直角三角形OAC中,|v2|=OC==2(m/s).
因为tan∠AOC=,且α=∠AOC∈,
所以α=.
故他实际前进方向与水流方向的夹角α为,v2的大小为2 m/s.
图③
(2)由题意知∠OCB=,且|v2|=OC=,BC=1,如图③所示,
则在直角三角形OBC中,|v1|=OB==2.
因为tan∠BOC=,∠BOC∈,
所以∠BOC=,
则β=∠BOA=.
故他游泳的方向与水流方向的夹角β为,v1的大小为2 m/s.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)