2024北师版高中数学必修第二册练习题（含答案）--6.3　球的表面积和体积

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第六章6.3　球的表面积和体积
A级必备知识基础练
1.如图,该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,若球O的体积为,则圆柱O1O2的表面积为(　　)
A.4π B.5π
C.6π D.7π
2.[2023浙江杭州高一期中]直径为6 cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.27
3.若长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　　.
4.已知三个球的半径分别为R1,R2,R3,且满足R1+2R2=3R3,则它们相应的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是　　　　　,它们相应的体积V1,V2,V3满足的等量关系是　　　　　.
B级关键能力提升练
5.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为(　　)
A.2+4 cm2 B.8+16 cm2
C.4+8 cm2 D.16+32 cm2
6.已知一个几何体的三视图如图,则其外接球的体积为 (　　)
A.18π B.27π C.36π D.45π
7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.意思是:球的体积V乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为(　　)
A.S=d2 B.S=d2
C.S=d2 D.S=d2
C级学科素养创新练
8.已知一个表面积为120的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积.
参考答案
6.3　球的表面积和体积
1.C　由球O的体积V=πr3=,可得球的半径r=1,所以底面圆的半径为1,圆柱的高为2r=2,所以圆柱O1O2的表面积为2πr2+2πr·2r=6πr2=6π.
2.D　小球的体积为×13,大球的体积为×33,
所以可铸成这样的小球的个数为=27.故选D.
3.14π　球的直径是长方体的体对角线,所以2R=,所以球O的表面积为S=4πR2=14π.
4.+2=3+2=3　因为S1=4π,所以R1=,同理可得R2=,R3=.由R1+2R2=3R3,得+2=3.
由V1=,得R1=.
同理可得R2=,R3=.
由R1+2R2=3R3,得+2=3.
5.B　设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,=2R=4,所以h=2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16(cm2),故选B.
6.C　根据三视图还原原几何体,如图所示.
由图可知,该几何体为三棱锥A-BCD,且AB⊥平面BCD,将三棱锥A-BCD补成长方体AEFG-BCDH,
所以,三棱锥A-BCD的外接球直径为2R==6,故R=3,因此,该几何体的外接球的体积为V=πR3=36π.
7.A　因为=d,所以V=3,
所以π=,所以S=4π2=4×d2.
故选A.
8.解如图所示为过正方体对角面的截面图.
设正方体的棱长为a,半球的半径为R,
由6a2=120,得a2=20,
在Rt△AOB中,AB=a,OB=a,
由勾股定理,得R2=a2+=30.所以半球的表面积为S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π.
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