潍坊国开中学高二开学收心考试数学试卷（2024.3）
一、单选题
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，求出 p值，再根据开口方向求得焦点坐标．
【详解】抛物线的标准方程为，
则，即，开口向下，
所以焦点坐标为 .
故选:B.
2. 已知，则可能取值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为，则或，解得或.
故选：D.
3. 已知圆则其圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先整理圆的一般方程为标准方程，得到圆心坐标，再由双曲线方程得到渐近线方程，最后结合点到直线距离公式求解即可.
【详解】由题，圆的方程为，即，
所以圆心为，
又双曲线方程为，则，，
所以渐近线方程为，即，
所以圆心到渐近线的距离为，
故选：B
4. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件概率计算公式直接计算即可.
【详解】，.
故选：D.
5. 已知不同的直线与直线，不同的平面与平面，则下列能使的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可.
【详解】对于A，若，，则或或与相交，故A错误；
对于B，若，，则或或与相交，故B错误；
对于C，由面面平行的性质及线面垂直的判定定理易证，故C正确；
对于D，若，，则或或与相交，故D错误.
故选：C.
6. 已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可.
【详解】由已知，又，
则点A到平面的距离为.
故选：D.
7. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程为 D. 的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，利用渐近线方程直接进行求解；B选项，设椭圆方程为，利用双曲线定义和椭圆定义求出和，得到离心率；C选项，在B基础上求出，得到椭圆方程；D选项，利用余弦定理，同角三角函数关系，面积公式求出答案.
【详解】A选项，双曲线：的渐近线方程为，A错误；
B选项，由题意得，，
故，由双曲线定义得，故，
设椭圆方程为，故，即，解得，
又，故离心率为，B错误；
C选项，，故椭圆的方程为，C错误；
D选项，在中，由余弦定理得
，
故，
所以的面积为，D正确.
故选：D
8. 已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为直线与圆有交点，从而列式即可得解.
【详解】依题意，设，整理得，
因为点在圆上运动，
所以直线与圆有交点，
又圆心为，半径为，所以，解得，
经检验，满足题意，
所以最大值为.
故选：C.
二、多选题
9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D. 的坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，
因为点在抛物线上，且，
根据抛物线的定义，可得，解得，
又因为，所以，即，
则.
故选：ABC.
10. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，则 B. 如果，则
C. 如果A，B相互独立，则 D. 如果A，B相互独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据事件的运算及概率公式即可判断AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断CD.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为A，B相互独立，所以，故C错误；
对于D，因为A，B相互独立，所以相互独立，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线l必过点
B 直线l与圆E必相交
C. 圆与圆E有3条公切线
D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.
【详解】A：由，则必过定点，错；
B：将定点代入圆，有，
故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；
C：由题设且半径为，而且半径为，
所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；
D：由题设，则到直线的距离，
故直线l被圆E截得的弦长为，错.
故选：BC
12. 如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点
作空间直角坐标系如下图所示，
,
，
A项，，
面的一个法向量为，
∵，
∴平面，A正确；
B项，，B正确；
∵，平面的一个法向量为，
设线与平面所成角为，
，
∴C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13. 经过点且与直线平行的直线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到所求直线的斜率，再将点代入求解.
【详解】解：经过点且与直线平行的直线的斜率为：，
所求直线方程为：.即：.
故答案为：.
14. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种．
【答案】60
【解析】
【分析】高（1）班分类，只有高一（1）班被安排到A基地，还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，利用排列组合求解.
【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，所以高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60.
15. 过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆的几何特征得到,，再由求解即可.
【详解】结合题意：当时，可得到,，
所以，
因为,所以，即，
整理得，即，
解得：.
故答案为：.
16. 某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，
得，
因此该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知二项式的展开式中共有11项.
（1）求展开式的第3项的二项式系数；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据项数求出，再求解第3项的二项式系数；
（2）利用通项公式求解含的项.
【小问1详解】
因为二项式的展开式中共有11项，所以，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
【小问2详解】
的展开式的通项公式为；
令可得，所以展开式中含的项为.
18. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【小问1详解】
由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
【小问2详解】
由，得，
则，
设，，则，，
所以.
19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，
因为是直棱柱，
所以平面，
因此平面的一个法向量为，
所以，即，又平面，所以平面；
【小问2详解】
因为，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角，则，
所以.
20. 如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为，
取中点M，连接CM，则，
,,所以,
即,
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC；
【小问2详解】
以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，
因为E是PB的中点,则
所以．
设平面EAC的法向量为，
则即，令，则
所以平面EAC的法向量为，
显然，平面PDC的法向量为.
设平面PDC和平面EAC的夹角为，为锐角
则．
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．
21. 2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
（1）求甲，乙都通过考试的概率;
（2）记事件“甲、乙共答对两道题”，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，求出，，，，，，再由相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，
由题意，，，
，，，
由题意得，甲，乙都通过考试的概率．
【小问2详解】
由题意得，，
所以
．
22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存，
【解析】
【分析】（1）依题意列式求出即可；
（2）依题意联立方程，运用韦达定理即可求解.
【小问1详解】
由题意得：，
解得，
椭圆的标准方程是.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，，，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去整理得：，
，
解得或，
由韦达定理得
，
，
，
解得，满足，
所以存在符合题意的直线，其方程为.潍坊国开中学高二开学收心考试数学试卷（2024.3）
一、单选题
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则可能取值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3. 已知圆则其圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A B.
C. D.
4. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知不同的直线与直线，不同的平面与平面，则下列能使的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程为 D. 的面积为
8. 已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、多选题
9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D. 坐标为
10. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，则 B. 如果，则
C. 如果A，B相互独立，则 D. 如果A，B相互独立，则
11. 已知直线，圆，则下列说法正确是（ ）
A. 直线l必过点
B. 直线l与圆E必相交
C. 圆与圆E有3条公切线
D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为
12. 如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
13. 经过点且与直线平行的直线方程是___________.
14. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种．
15. 过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是_________.
16. 某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为__________．
四、解答题
17. 已知二项式的展开式中共有11项.
（1）求展开式的第3项的二项式系数；
（2）求展开式中含的项.
18. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
20. 如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
21. 2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
（1）求甲，乙都通过考试的概率;
（2）记事件“甲、乙共答对两道题”，求．
22. 已知椭圆两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
