第七章 7.1 7.1.1
A级——基础过关练
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)等于( )
A． B．
C． D．
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A． B．
C． D．1
3．(2023年哈尔滨期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教育咨询、交通宣传、文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件A为“5名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则P(A|B)＝( )
A． B．
C． D．
4．(2023年黄石期末)吸烟有害健康，据统计，一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则该职员在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( )
A． B．
C． D．不确定
5．(2023年武汉模拟)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
1 2 3 4 5 6
A． B．
C． D．
6．(2022年宜宾二模)设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，若0
A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝
C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A)
7．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B)＝ D．P(B|A)＝
8．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为“该地区下雨”，事件B为“该地区刮四级以上的风”，则P(B|A)＝________．
9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．
10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年长沙月考)设，分别为随机事件A，B的对立事件，若0A．P(B|A)＋P＝1
B．P(B|A)＋P＝0
C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B)
12．有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为( )
A． B．
C． D．
13．(2023年天津期中)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，且比赛结果没有和棋，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为________．
14．甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．若以A1表示“从甲罐取出的球是红球”的事件，以M表示“从乙罐取出的球是红球”的事件，则P(M|A1)＝________，P(M)＝________.
15．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
第七章 7.1 7.1.1
A级——基础过关练
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)等于( )
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】P(AB)＝P(A)P(A|B)＝×＝.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A． B．
C． D．1
【答案】B 【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
3．(2023年哈尔滨期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教育咨询、交通宣传、文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件A为“5名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则P(A|B)＝( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】由已知得事件B的基本事件个数为44，事件AB的基本事件个数为A，所以P(A|B)＝＝＝.
4．(2023年黄石期末)吸烟有害健康，据统计，一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则该职员在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( )
A． B．
C． D．不确定
【答案】A 【解析】记事件A为“某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病”，记事件B为“某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病”，则由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝＝＝＝.
5．(2023年武汉模拟)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
1 2 3 4 5 6
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】根据条件概率的计算公式可得P(A|B)＝＝＝.
6．(2022年宜宾二模)设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，若0A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝
C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A)
【答案】C 【解析】∵B发生A必定发生，∴P(A＋B)＝P(A)，P(AB)＝P(B)，故A，D错误；P(B|A)＝＝，故B错误；P(A|B)＝＝＝1，故C正确．故选C．
7．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B)＝ D．P(B|A)＝
【答案】ABD 【解析】由题意得P(A)＝＝＝，故A正确；P(AB)＝＝，故B正确；P(B)＝1－＝1－＝，故C错误；P(B|A)＝＝＝，故D正确．
8．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为“该地区下雨”，事件B为“该地区刮四级以上的风”，则P(B|A)＝________．
【答案】 【解析】由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.
9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．
【答案】0.72 【解析】记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.
10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)方法一 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B).不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
方法二 P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年长沙月考)设，分别为随机事件A，B的对立事件，若0A．P(B|A)＋P＝1
B．P(B|A)＋P＝0
C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B)
【答案】AC 【解析】P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)＋P(B|)＝＋＝＋＝2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式可得P(B|A)＝0，而P(B)∈(0，1)，故D错误．故选AC．
12．有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥，又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
13．(2023年天津期中)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，且比赛结果没有和棋，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为________．
【答案】 【解析】设事件A为“甲获得冠军”，事件B为“比赛进行了三局”．∵甲在每局比赛中获胜的概率均为，失败的概率为，且各局比赛结果相互独立且没有平局，∴P(A)＝×＋××＋××＝，P(AB)＝××＋××＝，故在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为P(B|A)＝＝.
14．甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．若以A1表示“从甲罐取出的球是红球”的事件，以M表示“从乙罐取出的球是红球”的事件，则P(M|A1)＝________，P(M)＝________.
【答案】 【解析】依题意，P(A1)＝＝，P(MA1)＝×＝，于是得P(M|A1)＝＝＝；事件M是甲罐中分别取红球、白球、黑球放入乙罐，再在乙罐取出红球的事件B1，B2，B3的和，它们互斥，P(B1)＝P(MA1)＝，P(B2)＝×＝，P(B3)＝×＝，所以P(M)＝P(B1＋B2＋B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝＋＋＝.
15．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步乘法计数原理，n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.第七章 7.1 7.1.2
A级——基础过关练
1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )
A． B．
C． D．
2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
3．5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )
A． B．
C． D．
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )
A． B．
C． D．
5．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
品牌 甲 乙 丙
数量/瓶 240 120 40
优质率 95% 90% 85%
现从该药店任意买一瓶消毒液，则买到优质品的概率为( )
A．0.925 B．0.935
C．0.945 D．0.955
6．(多选)若0A．P(A|B)＝
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋PP
D．P(A|B)＝
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为( )
A． B．
C． D．
8．两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起．设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．
9．(2023年德州期末)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.若“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是________．
10．有三个箱子，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球，4个白球；2号箱装有2个红球，3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．
B级——能力提升练
11．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B．
C． D．
12．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，其中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，其中60%表现出症状S.下列结论正确的有( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
13．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．
(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________；
(2)从乙箱中取出白球的概率是________．
14．设袋中装有10个大小、形状相同的阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，则没人抓得有物之阄的概率为________．
15．盒中有a个红球，b个黑球，球除颜色外均相同．今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．
第七章 7.1 7.1.2
A级——基础过关练
1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】设A＝“一个人取到黄球”B＝“二个人取到黄球”，则P(B)＝P(A)(B|A)＋P()P(B|)，由题意知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝×＋×＝.
2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
3．5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】设A＝“取得红球”，B1＝“来自甲袋”，B2＝“来自乙袋”，则P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝.由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝＝＝.
5．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
品牌 甲 乙 丙
数量/瓶 240 120 40
优质率 95% 90% 85%
现从该药店任意买一瓶消毒液，则买到优质品的概率为( )
A．0.925 B．0.935
C．0.945 D．0.955
【答案】A 【解析】设事件A1，A2，A3分别表示“买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌”；事件B表示“买到优质品”．由题意，得P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.3，P(A3)＝＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.85.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925.
6．(多选)若0A．P(A|B)＝
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋PP
D．P(A|B)＝
【答案】BCD 【解析】由条件概率公式知A错误；由概率的乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋PP，所以P(A|B)＝＝，故D正确．故选BCD．
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω.由题意知P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
8．两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起．设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．
【答案】 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，那么第一台机床生产的零件占总零件的，第二台机床生产的零件占总零件的，由全概率公式，得所求概率为(1－0.03)×＋(1－0.02)×＝.
9．(2023年德州期末)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.若“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是________．
【答案】0.175
10．有三个箱子，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球，4个白球；2号箱装有2个红球，3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．
解：记Ai＝“球取自i号箱”，i＝1，2，3，B＝“取得红球”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥．
由题意，得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝1，
所以P(B)＝×＋×＋×1＝.
B级——能力提升练
11．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
12．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，其中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，其中60%表现出症状S.下列结论正确的有( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】ABC
13．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．
(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________；
(2)从乙箱中取出白球的概率是________．
【答案】 【解析】设A＝“从甲箱中取出白球”，B＝“从乙箱中取出白球”，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，利用全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.
14．设袋中装有10个大小、形状相同的阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，则没人抓得有物之阄的概率为________．
【答案】 【解析】设A，B分别为“甲、乙抓得有物之阄”的事件．
∴P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋×＝，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.∴1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
15．盒中有a个红球，b个黑球，球除颜色外均相同．今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．
解：设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”．
由题意，得P(A)＝，P(B|A)＝，
P()＝，P(B|)＝.
由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝＋＝.