数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.1二项式定理 课件（共19张ppt）

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6.3.1 二项式定理
一、问题引入
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开的问题。
(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律
(2)根据你发现的规律，你能写出的展开式吗
(3)进一步地，你能写出的展开式吗
同学们回顾一下(a＋b)2 ,(a＋b)3 的展开式？
追问1：展开式中每一项是如何得到的？
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
追问2：在合并同类项之前， 的展开式共有多少项？
合并同类项之前有______项，合并同类项之后有______项。
4
3
追问3：你能用计数原理的知识解释为什么展开式合并同类项之前有4项吗？
每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有＝22项.
追问4：的展开式中的每一项是否都是a2－kbk (k=0,1,2)的形式构成的？
每一项都是
追问5：你能的展开式中形如a2－kbk (k=0,1,2)的同类项的个数吗？
由1个 (a+b) 中选a，另1个 (a+b) 中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取1个b的组合数 ，即ab共有2个.
由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个.
2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个；
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋2ab＋b2
思考： 仿照上述过程，你能利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3 的展开式吗？
思考： 仿照上述过程，你能利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3 ,(a＋b)4 的展开式吗？
a3
a2b
a2b
a2b
b3
ab2
ab2
ab2
合并同类项前展开式共有： 项 ，
项的形式 ：
项的形式：a4－k×bk
(k=0,1,2,3,4)
合并同类项前展开式共有： 项，
归纳猜想：
你能给出上述猜想的证明吗？
an
an-1b
…
bn
an-2b2
合并同类项前展开式共有： 项，
项的形式：an－k×bk (n=0,1,2,…，n )
b
……
概念形成
上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数.
式中 的叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：
在二项式定理中，若设a=1, b=x，则得到公式
1. 二项式系数：
2. 次数规律：
(1)各项的次数均为n；
(2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.
3. 项数规律：
共有n+1个项 .
4. 通项:
二项展开式中的（二项式）系数、次数、项数以及通项的变化，
是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、
以及数、式的整除方面有广泛应用 .
定理的特征：
例1 求 的展开式 .
解：根据二项式定理，可得
求　　　的展开式．
变式1：
解：
典例分析
追问：例1中第几项是常数项？
例2
解：(1) 由通项公式，可得
第4项的二项式系数是多少？
注意：二项展开式中第n项、第n项的系数以及第n项的二项式系数是不同的概念，解题时要注意区分！不是同一个概念
解：
由通项公式，可得
课本P31
追问：第3项的系数以及二项式系数各是多少？
解：
由通项公式，可得
课本P31
变式：若n=6 , 求展开式中的有理项。
解：
由通项公式，可得
课本P31
解：
含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是
课本P31
巩固训练1 已知 的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比是14：3，求展开式中的常数项.
解：
故展开式中常数项是
巩固训练2 求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数.
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
课堂小结