数学（北师大版）必修五教学设计：第二章解三角形复习

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教学设计
本章复习
教学分析　　　　　
首先了解新课标对本章的定位．解三角形作为三角系列的最后一章，突出了基础性、选择性与时代性．本章重在研究三角形边角之间的数量关系，如正弦定理、余弦定理等．正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具．
本章的数学思想方法是一条看不见的暗线，数 ( http: / / www.21cnjy.com )学思想方法是数学的精髓．在初中，教科书着重从空间形式定性地讨论了三角形中线段与角之间的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而较清晰地解决了三角形的确定性问题，本章对两个定理的推导引入中十分强调这一量化思想方法．本章中将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定基础．
本章时代气息浓厚，所选用的例、习题大部分都与现实生活密切相关，凸现时代感．如三角形刀状古代佩玉一角损坏问题，联系环境、气候的台风问题，机器人足球比赛问题，上海东方明珠塔问题，自动卸货汽车的液压机构问题，简单的测量问题，海防警戒线问题，曲柄连杆机构问题等等．并且所选例、习题中配上了大量图片，有图表、图像、示意图、漫画及照片，图文并茂，加强直观性及趣味性，充分展现几何直观性．复习时应体现教材的这些设计意图．
三维目标　　　　　
1．熟练掌握三角形中的边角关系：内角和定理 ( http: / / www.21cnjy.com )、正(余)弦定理、大边对大角定理、两边之和大于第三边定理；掌握边与角的转化方法；掌握三角形形状的判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定．余弦定理判定法是：如果c是三角形的最大边，则有a2＋b2＞c2→△ABC是锐角三角形；a2＋b2＜c2→△ABC是钝角三角形；a2＋b2＝c2→△ABC是直角三角形．
2．通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认 ( http: / / www.21cnjy.com )识，熟练掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力．
3．注重思维引导及方法提炼，展现学生的主体作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心．
重点难点　　　　　
教学重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形．
教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用，及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题是本章的难点．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)根据上 ( http: / / www.21cnjy.com )节布置的作业，结合学生阅读的“本章小结建议”，本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总结；系统掌握解三角形的方法与技巧．由此展开新课的探究．
思路2.(问题导入)我们共同解决了生活 ( http: / / www.21cnjy.com )中与三角形有关的许多实际问题，思维巧妙、方法独特．你能对我们所学的知识方法作一个全面的整合归纳、总结提高吗？由此展开新课．
推进新课　　　　　
①本章我们学习了哪些知识方法？请画出本章的知识结构图.
②解三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？分别是初中哪些知识的进一步深化？【出处：21教育名师】
③在解三角形中应用两个定理要注意些什么问题？
④本章中解三角形的知识主要应用于哪些问题？
活动：教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示：
从图中我们很清晰地看出本章我们学习 ( http: / / www.21cnjy.com )了正弦定理、余弦定理，以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在三角形中的几何计算以及解三角形的实际应用举例．教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：
正弦定理、余弦定理：
＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
正弦定理、余弦定理的应用：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
①已知三边，求三个角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
除了正弦定理、余弦定理外，我们还学 ( http: / / www.21cnjy.com )习了三角形面积公式S＝bcsin A＝acsin B＝absin C，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积问题．
教师利用多媒体投影演示课件如下：
解三角形的时可用的定理和公式 适用类型 备注
余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos Ab2＝a2＋c2－2accos Bc2＝b2＋a2－2bacos C (1)已知三边(2)已知两边及其夹角 类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理＝＝＝2R (3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解和无解
三角形面积公式S＝bcsin A＝acsin B＝absin C (5)已知两边及其夹角
教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体．实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化．余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广．本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题．21世纪教育网版权所有
在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：
(1)在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在( ( http: / / www.21cnjy.com )0，π)内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解．
(2)在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形的内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围．21·cn·jy·com
(3)在进行边角、角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式．[]
讨论结果：①～④略．
例1 判断满足下列条件的三角形形状，
(1)acos A＝bcos B；
(2)sin C＝.
活动：教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些．学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边．鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣．www.21-cn-jy.com
解：(1)方法一：用余弦定理，得a×＝b×.
∴c2(a2－b2)＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴三角形是等腰三角形或直角三角形．
方法二：用正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
∵A，B为三角形的内角，
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.[]
因此三角形为等腰三角形或直角三角形．
(2)方法一：先用正弦定理，可得c＝，即c(cos A＋cos B)＝a＋b.
再用余弦定理，得c·＋c·＝a＋b.
化简并整理，得a3＋b3＋a2b＋ab2－ac2－bc2＝0，(a＋b)(a2＋b2－c2)＝0.
∵a＞0，b＞0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
∴三角形为直角三角形．
方法二：∵sinA＝sin(B＋C)，sin B＝sin(A＋C)，
∴原式可化为sinC·cos A＋cos B·sin C＝sin(B＋C)＋sin(A＋C)，
即sin C·cos A＋cos B·sin c
＝sin B·cos C＋cos B·sin C＋sin A·cos C＋cos A·sin C.
∴sin B·cos C＋sin A·cos C＝0，即cos C(sin A＋sin B)＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴sin A＋sin B≠0.∴cos C＝0.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.
∴三角形为直角三角形．
点评：第(1)题中的方法二 ( http: / / www.21cnjy.com )得出sin 2A＝sin 2B时，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.这样就漏掉了一种情况，因为sin 2A＝sin 2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意．第(2)题方法二中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)等常见结论对解三角形大有益处.21·世纪*教育网
变式训练
1．在△ABC中，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，求tan C的值．
活动：本题涉及三角形的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积，面积公式又是以三角形的三边a，b，c的形式给出，从哪里入手考虑呢？教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A有三个，代入哪一个呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？显然思路不明．这时教师适时点拨可否化简等式右边试试呢？这样右边为(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab.用余弦定理即得a2＋b2－c2＋2ab＝2abcos C＋2ab，这就出现了目标角C，思路逐渐明朗，由此得到题目解法．www-2-1-cnjy-com
解：由已知，得(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab
＝2abcos C＋2ab＝2×absin C.
∴2(1＋cos C)＝sin C，
∴2×2cos2＝2sin·cos.
∵0°＜C＜180°，∴0°＜＜90°，即cos≠0.
∴tan＝2.∴tanC＝＝＝－.
点评：通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口.
2.在△ABC中，tan A＝，tan B＝，
(1)求角C的大小；
(2)若AB边的长为，求BC边的长．
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)，
∴tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－1.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝135°.
(2)∵tan A＝＝，sin2A＋cos2A＝1,0°＜A＜90°，
∴sinA＝.
由正弦定理，得＝，∴BC＝AB·＝.
例2 A，B，C是一条直路上的三点，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝BC＝1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．2-1-c-n-j-y
活动：教师引导学生正确理解题意，画出示意图，找到有关的三角形，根据正弦定理或余弦定理建立方程．
解：如图1所示，过C，B，P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M，N，Q.
图1
设BN＝x，则PQ＝x，PA＝x.
∵AB＝BC，
∴CM＝2BN＝2x.
∵＝，
＝，
∴＝＝＝.
∴PC＝·x＝2x.
在△PAC中，由余弦定理，得
AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos 75°，
即4＝2x2＋4x2－4x2·.[]
解得x2＝.
过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．
在△PAC中，由AC·PD＝PA·PC·sin 75°，
得PD＝＝
＝··＝(km)．
答：塔到直路的距离为 km.
点评：解任何数学问题时，都应认真仔细地 ( http: / / www.21cnjy.com )分析题意，揭示问题的本质，对本例来说，首先将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决这个数学问题．
例3 将一块圆心角为120°，半径 ( http: / / www.21cnjy.com )为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图2、图3的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．　　21*cnjy*com
活动：解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到，解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决．21教育名师原创作品
解：
图2 　　　　图3
按图2的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点M在圆弧上，设∠MOA＝θ，显然0°＜θ＜120°，则|MP|＝20sin θ，|OP|＝20cos θ，从而S＝400sin θcos θ＝200sin 2θ，即当θ＝时，Smax＝200.
按图3的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠MOQ＝θ，显然0°＜θ＜120°，在△MOQ中，∠OQM＝90°＋30°＝120°，【版权所有：21教育】
由正弦定理得|MQ|＝＝sinθ.
又因为|MN|＝2|OM|sin(60°－θ)＝40sin(60°－θ)，
所以S＝|MQ|·|MN|＝sin θsin(60°－θ)
＝
＝[cos(2θ－60°)－cos 60°]．
所以当θ＝30°时，Smax＝.
由于＞200，所以用图3的裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为 cm2.
点评：正弦定理、余弦定理在测量(角度 ( http: / / www.21cnjy.com )、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用．从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决．
例4 如图4，在四边形ABDC中，CD＝，∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求AB的长．
图4
解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝.
在△CBD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°.
由正弦定理，可得BC＝×＝，在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA，
∴AB2＝()2＋()2－2×××cos 75°＝5.
∴AB＝.
点评：先让学生尝试练习，让个别学生回答解题思路，经过讨论，选择最佳方案．[]
课本复习题二　A组1,2,3,4.
先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高？解决本章的基本问题都有哪些体会？可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得．
教师进一步画龙点睛，总结解题思路：(1)运用方程观点结合恒等变形的方法巧解三角形；
(2)运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘．
课本复习题二　A组5,6,7，B组1，C组2.
本教案设计注重了优化知识结构，进一步加深对知识的巩固．在此过程中，学生对思想方法的领悟也更具深刻性；注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练．通过一题多解训练了学生对事物现象选择角度地观察，从而把握事物的本质．21教育网
本教案设计意图还按照习题的内容分类处理 ( http: / / www.21cnjy.com )进行．注重了思维引导及方法提炼，展现了学生的主体作用，关注学生愉悦情感的积极体验，深挖了三角形本身内在美的价值，意在激发学生强烈的探究欲望，培养学生积极向上的心态．21*cnjy*com
一、备选习题
1．△ABC中，若sinA＝，sin B＝，则△ABC一定是(　　)．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a∶b∶c＝3∶3∶5，则等于(　　)．
A．－ B．－ C. D．不是常数
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c＝7，＝＝，则a＝__________，b＝__________.
4．对△ABC，有下面结论：① ( http: / / www.21cnjy.com )满足sinA＝sin B的△ABC一定是等腰三角形；②满足sinA＝cosB的△ABC一定是直角三角形；③满足＝＝c的△ABC一定是直角三角形．则上述结论正确的命题的序号是__________．
5．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccos C＝acosA，试判断△ABC的形状．
6．我舰在敌岛A南偏西50°相距12海 ( http: / / www.21cnjy.com )里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
7．如图5，P为△ABC内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，求证：＝＋＋.
图5
参考答案：
1．B　2.C
3.，　4.①③
5．解：∵bcosB＋ccos C＝acosA，
由正弦定理，得sin BcosB＋sinCcos C＝sinAcosA，即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，
∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA.
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.
而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0.
∴2cosBcos C＝0.
∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝或C＝，即△ABC是直角三角形．
6．解：如图6，在△ABC中，由余弦定理得
图6
BC2＝AC2＋AB2－2·AB·AC·cos∠BAC
＝202＋122－2×12×20×(－)＝784，BC＝28，
∴我舰的追及速度为14海里/时．
又在△ABC中，由正弦定理得
＝，即sin B＝＝＝，
∴B≈38°.
答：我舰需以14海里/时的速度沿北偏东12°的方向才能用2小时追上敌舰．
点评：解决本题的关键是建立数学模型．有时实际问题经抽象后涉及的三角形只有一个，根据题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．【来源：21·世纪·教育·网】
7．证明：在△PAC中，由正弦定理，得＝.
又∵∠APC＝180°－θ－(A－θ)＝180°－A.∴＝.
从而S△PAB＝c·APsin θ＝c··sin θ＝bcsin A·＝S△ABC·.
同理可得S△PBC＝S△ABC·，S△PCA＝S△ABC·.
相加后即得S△ABC＝S△ABC(＋＋)．
∴＝＋＋.
二、避暑山庄中的数学
一位富翁在风光宜人的湖泊地区游览观光，打算 ( http: / / www.21cnjy.com )在那里建造他的避暑山庄，他选中了三个方方正正、酷似正方形的湖泊——杉湖、榕湖与鸳鸯湖，其面积分别为18亩、20亩和26亩，湖中正好有一块三角形的土地，恰似天造地设一般．可以想象，一旦山庄造成，花晨月夕，美景无比，可以终老于其中．于是富翁二话不说，把它们统统买进了．
图7
为了绝对安静以及防盗防匪，避 ( http: / / www.21cnjy.com )免闲人打扰起见，需要在土地的边缘建造起架有电网的高墙．因此，他干脆一不做二不休，把毗邻的三块土地也一起收购下来，其全部辖区如图7所示．2·1·c·n·j·y
现在请你回答：他这块领地(包括全部土地 ( http: / / www.21cnjy.com )与湖泊)一共有多少面积？另外，再添上一个比较苛刻的条件：算出来的数据必须完全正确，否则一分不给．[]
粗粗一看，这道题目真是别开生面，但是看 ( http: / / www.21cnjy.com )来似乎不难，很明显，AD＝AB＝，AE＝AC＝，根据简易的三角公式可知，△ABC的面积＝AB·AC·sin∠BAC，但∠DAE＋∠BAC＝180°，由于sin(180°－∠DAE)＝sin∠DAE，从而可知△DAE的面积等于△ABC的面积．
同理可知，左上角与右上角的两块土地面积也与中心的一块土地面积相等．于是问题聚焦到一点：只要求出中央的一块，即△ABC的面积，其他即可迎刃而解．
已知三边求面积有何难哉，也许你已经想出好办法来了．
号称“趣味数学三位大师”之一的英国人亨利·杜德耐(Henry Dudeney)想出了一个精妙绝伦的办法来解决本题．
如图8所示，作一个邻边之长分别为4与5的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD，然后在边AB上截取AE＝1，得E点；再在边BC上截取BF＝3，得F点；然后连接DE，EF及DF.
图8
现在，明眼者可以一望而知，DE＝，DF＝，而EF＝.从而△DEF的面积＝4×5－×1×5－×3×3－×2×4＝20－－－4＝9.
宅邸的面积即已求出，所以这位富翁的领地一共是26＋20＋18＋4×9＝100(亩)．
不多不少，正好是100亩，何其巧哉！
不言而喻，这道题目是经过精心设计的．连答数也凑得好，也许100是个“吉祥物”，所以才有张邱建百鸡术、一百和尚吃一百馒头等趣题．21cnjy.com
杜德耐的解法令人印象深刻，究其思路，不是简单的辅助线或辅助角，而是完整的“辅助图形”了．无疑，这种想法是崭新而具有创造性的．【来源：21cnj*y.co*m】
(设计者：沈传年)
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