数学（北师大版）必修五教学设计：第三章不等式+复习
文档属性
| 名称 | 数学（北师大版）必修五教学设计：第三章不等式+复习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 11.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-30 08:59:33 | ||
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文档简介
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教学设计
本章复习
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
由本章知识网络图可知，我们在这一章中重点 ( http: / / www.21cnjy.com )探究了几种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及基本不等式，在了解了这几种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用．那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想、数形结合思想、等价变换思想，以及分类讨论思想、类比思想、换元思想等．
1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中 ( http: / / www.21cnjy.com )学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，都与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．21·cn·jy·com
2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查基本不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，c≠0ac＞bc(忘了c＞0)，ac＞bd(忘了a，b，c，d＞0)，等等．
3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．
4．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参 ( http: / / www.21cnjy.com )数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．
5．不等式的应用是本章的重 ( http: / / www.21cnjy.com )点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或基本不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．
三维目标
1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用实数性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握基本不等式≥(a≥0，b≥0)的应用方法与技巧．
2．通过对一元二次不等式解法的复习 ( http: / / www.21cnjy.com )，设计求解的流程图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图像、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．
3．通过对全章内容的复习，通过对问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质；通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣，并树立辩证的科学世界观．
重点难点
教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、基本不等式〕的概念、方法及应用．
2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．
3．掌握构建基本不等式解决函数的最值问题，利用基本不等式解决实际问题．
教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；基本不等式解决函数最值的正确运用．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．
思路2.(问题导入)先让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生结合本章的小结建议，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．
推进新课
①通过我们对本章四个部分的回顾，你能作出本章知识框图吗？
②什么是一元二次不等式？怎样求解一元二次不等式的解集？,
活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．通过查看课本、笔记及作业一一回顾以上几个问题．确定一元二次不等式的概念后，探究了它的解法，并尝试用一个流程图把求解一元二次不等式的过程表示出来，为前面学过的算法找到了用武之地．21教育网
由一元二次不等式的一般形 ( http: / / www.21cnjy.com )式，知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数图像有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
教师给出下列表格，并让学生填空(用多媒体)．
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 x1,2＝ x1＝x2＝－
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集 []
学生完成上述的表格后，再引导学生回忆基本不等式≥(a≥0，b≥0)的探究过程、证明过程、成立的条件、几何解释．
下面我们将对以上内容，通过具体例题的探究做进一步的归纳整合．
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|| x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝，(2)A∩B C，分别求出m的取值范围．
活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．
解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，
欲使A∩C＝，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.
(2)欲使A∩B C，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，
只需即即1≤m≤2.
点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．
变式训练
已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B等于( )．
A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]
解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．
则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．
答案：A
例2 不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.
活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式．训练学生的等价转化能力．
解法一：将＜1化为＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0.
由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，
∴[(1－a)x－1](x－1)＞0.
∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2.
解得a＝.
解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，
即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0.
依题意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，
∴解得a＝.
点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义.
变式训练
若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝_________.
答案：4
例3 若正数x，y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．
活动：基本不等式的功能就是“和积互化” ( http: / / www.21cnjy.com )．通过此例，教师引导学生回忆如何用基本不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值．因此，首先联想基本不等式．本例可让学生上黑板板演．
解：∵x，y为正数，则6x,5y也是正数，
∴≥＝，当且仅当6x＝5y时，取“＝”．
∵6x＋5y＝36，则≤，即xy≤.
∴xy的最大值为.
点评：本例旨在说明基本不等式的应用．事 ( http: / / www.21cnjy.com )实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝，代入xy，得xy＝x·(36－6x)＝－x2＋x(x＞0)，利用二次函数的图像和性质也很容易解出来，教师可在活动前与学生说明．学生用基本不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨，让学生自己去纠正，然后补充一道变式训练作为补偿性练习.
变式训练
已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．
解析一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2.
∴xy≥6，当且仅当＝＝1，
即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6.
解析二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈，
∴x＝，y＝.
∴x·y＝＝.
∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3.
∴xy的最小值是6.
解析三：由＋＝2，得y＝.
∴xy＝(x＞1)．
令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.
∴＝＝≥＝6，
当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.
∴xy有最小值6.
答案：6[]
思路2
例1 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
活动：由于最高次项的系数含有字母a ( http: / / www.21cnjy.com )，不等式可以是二次不等式，也可以是一次不等式，且影响两根的大小，所以首先要确定让我们解的是几次不等式，其次判定根的大小．有人不考虑字母a对不等式次数的影响，看成了二次不等式，解集的范围将变小．有人考虑不周密，分类不全，造成漏解．
解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)＜0，这时两根的大小顺序为2＞，所以解集为.
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)＞0，
①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为2＜，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；
③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为.
综上所述，不等式的解集为
a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，
a＜0时，，0＜a＜1时，，
a＞1时，.
点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．
例2 已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集是{x|2＜x＜}，求不等式ax2－(5a＋1)x＋ma＞0的解集．
活动：条件中的不等式含参数a，而其解集中 ( http: / / www.21cnjy.com )又含有参数m，解决此类问题一般有两种策略．策略之一：求出原不等式解集，与{x|2＜x＜}比较；策略之二：抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜}的一元二次不等式，再与原不等式比较．若求原不等式的解集，需讨论，较繁．
解：x＞ax2＋ ax2－x＋＜0,2＜x＜ (x－2)(x－)＜0 x2－(2＋)x＋2＜0.
对照不等号方向及x2的系数可知a＞0且＝＝，解得a＝，m＝36.
∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞0x2－x＋36×＞0x2－13x＋36＞0(x－4)(x－9)＞0x＜4或x＞9.
点评：本例清晰地反映了二次函数、二次方程、二次不等式这“三个二次”之间的关系，应让学生仔细领悟.
变式训练
已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题意，不等式组的解集为{x|2＜x＜3}．
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则由题意，结合三个二次之间的关系有解得a≤9.
答案：(－∞，9]
例3 解下列不等式：
(1)≥0；(2)＜3.
活动：教师引导学生观察这种分子、分母 ( http: / / www.21cnjy.com )都含有x的不等式，回忆以前的解题方法，其基本思想是先把不等式的右边化为0，然后等价转化为整式不等式来求解，提醒学生不能两边同乘．本例可让学生自主探究解决，教师适时点拨． 21*cnjy*com
解：(1)不等式≥0可等价转化为不等式组
解得x≤－1或x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．
(2)不等式＜3可等价转化为＜0，即(x－1)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
点评：本例体现了分式不等式与整式不等式之间的等价转化，提醒学生注意转化的等价性．如(1)中易忽略x≠3.21*cnjy*com
例4 为了保护环境，造福人类，某县环 ( http: / / www.21cnjy.com )保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图1)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
图1
活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．
解：设净水池长为x m，则宽为 ( http: / / www.21cnjy.com ) m，高为h m，则总造价f(x)＝400·h＋100··h＋60×200＝800h＋12 000(x＞0)，当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时，上述不等式取到等号．
故当净水池的长设计为15 m时，总造价最低．
点评：对应用问题的处理，关键是把实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用基本不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．
已知a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠，求a的取值范围．
解：由f(x)为二次函数，知a≠0.
令f(x)＝0，解得其两根为x1＝－，x2＝＋.
由此可知x1＜0，x2＞0.
(1)当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＜3，即＋＜3，解得a＞.
(2)当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＞1，即＋＞1，解得a＜－2.
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪.
[]
1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？
2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、函数与方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系．
本章复习题三A组1,2,4,5，B组1,2，C组2.
1．本教案设计体现了复习课的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．
2．本教案设计重视了学生的探究活动，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众的情况．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．
3．本教案设计体现了复习中前后知识的联 ( http: / / www.21cnjy.com )系．注重了复习应涉及哪些内容，重难点是什么，与其前沿知识和后继知识有哪些联系，在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.学完本章后再来看本章的章头图：芭 ( http: / / www.21cnjy.com )蕾舞演员的美妙身姿，你将会有什么感想？是否感受到了等与不等的辩证互补？感受到等与不等的形影不离及概念上的亲缘关系？本节课将对全章内容进一步归纳整合．
思路2.我们曾对平面区域、线性规划问题进行了 ( http: / / www.21cnjy.com )探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用意识．
推进新课
①在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式 组 的解集表示平面上的区域？
②确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？
③利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？
④解线性规划实际问题的方法步骤是什么？
活动：教师引导学生回忆并思考以上问题 ( http: / / www.21cnjy.com )．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的 ( http: / / www.21cnjy.com )所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．【出处：21教育名师】
(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)
用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：
平面区域
二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＞0，C＜0) Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＞0，C＜0) Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＜0，C＜0) Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＜0，C＜0)
说 明 对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成虚线
本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进 ( http: / / www.21cnjy.com )行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
(1)阅读题意，寻找线性约束条件、线性目标函数；[]
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；2·1·c·n·j·y
(4)由实际问题的实际意义作答．
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 画出不等式组表示的平面区域．
活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．
解：不等式x＋y－6≥0表示在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图2所示．【来源：21cnj*y.co*m】
图2
点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握.
变式训练
如图3所示，在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )．
A．[7,8] B．[7,15] C．[6,8] D．[6,15]
图3 图4
解析：由题意知要求在约束条件下目标函数z＝3x＋2y的取值范围，作出如图4所示目标函数取最大值时的可行域．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，
∴在B点处取最小值，C点处取最大值，且B(1,2)，C(0,4)．
∴当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]．
答案：A
例2 某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：
级别 加工能力(个/人天) 成品合格率(%) 工资(元/天)
Ⅰ 240 97 65.6
Ⅱ 160 95.5 53.6
工厂要求每天至少加工配件2 400个 ( http: / / www.21cnjy.com )，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．
活动：学生对求解简单线性规划实际应用题 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的步骤已经很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．
解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x，y人．
线性约束条件：
化简即为
目标函数为z＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋65.6x＋53.6y，
化简z＝80x＋68y.根据题意知即求目标函数z的最小值．
画出约束条件的可行域，如图5，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小的点．然而A点非整数点．故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知(6,7)为满足题意的整数解．
图5
此时zmin＝80×6＋68×7＝956(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．
答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．
点评：通过本例的求解我们可以 ( http: / / www.21cnjy.com )看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．它很有实际意义，即它是在以理论指导实际生产需要．实际上，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．常见类型有：(1)物资调运问题．例如：已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
(2)产品安排问题．例如某 ( http: / / www.21cnjy.com )工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？21世纪教育网版权所有
(3)材料问题．
同学们在课外的研究中将会陆续碰到这些问题．
例3 有三块合金，第一块含60%的铝和4 ( http: / / www.21cnjy.com )0%的铬，第二块含10%的铬和90%的钛，第三块含20%的铅、50%的铬和30%的钛．现需要由它们组成含钛45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围．
解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量的百分比分别为x，y，z，则含铬百分比为w＝0.4x＋0.1y＋0.5z，
其中消去z得即(x，y)对应的点集为线段AB(包括端点)，如图6.
图6
由于w＝0.4x－1.4y＋0.75，即y＝x＋－w表示的直线与线段AB有公共点，
由此得直线截距的取值范围为≤－w≤，得0.25≤w≤0.4，
即含铬的百分比范围是[0.25,0.4]．
思路2
例1 设实数x，y满足不等式组或
(1)求点(x，y)所在的平面区域；
(2)设a＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)＝y－ax的最大值和最小值．
活动：教师引导学生思考本例的关键是准确地画出 ( http: / / www.21cnjy.com )平面区域．可让学生上黑板板演，教师作点评．但第(2)问由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要对参数a进行讨论．方法是让直线l动起来．21教育名师原创作品
解：(1)点(x，y)所在平面区域为如图7所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的阴影部分(含边界)，其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
[]
图7
(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a＞－1，∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大．
∵C点的坐标为(－3,7)， ( http: / / www.21cnjy.com )∴f(x，y)的最大值为7＋3a.如果－1＜a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，f(x，y)最小，最小值为－1－2a.如果a＞2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.
例2 非负实数y满足则x＋3y的最大值是__________．
活动：本例是学生比较熟悉的用线性 ( http: / / www.21cnjy.com )规划求最优解问题，按常规解法，学生不难完成本例．为了打破学生的思维定势，提高学生的发散思维能力，教师可引导学生从消元的角度来探究本例．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域如图8.
图8
令z＝x＋3y，由图8知，使目标函数z＝x＋3y取得最大值的点一定在边界2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0上取得，这里0≤x≤2.
由解得
(1)当0≤x≤1时，z＝x＋3y＝x＋3(－x＋3)＝－2x＋9，在[0,1]上为减函数，
∴x＝0时，zmax＝9；
(2)当1≤x≤2时，z＝x＋3y＝x＋3(－2x＋4)＝－5x＋12，在[1,2]上为减函数，
∴x＝1时，zmax＝7.
综上知，当x＝0时，z＝x＋3y有最大值为9.
答案：9
点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数，然后利用函数单调性求解，既体现了函数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”．教师应提倡并鼓励学生发散思维的发展．许多发明创造都是借助于发散思维获得成功的．可以说发散思维是创造的发源地．对于线性问题求解的新视角还有待定系数法、变换坐标法等，可鼓励学生进一步探究.2-1-c-n-j-y
变式训练
在如图9所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )．
图9
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：由目标函数，得y＝－x＋.
当a＝－3时，y＝x－.此时目标函数对应的直线与AC平行．
答案：A
例3 A，B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D，E，F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：
(万元) 到D 到E 到F
从A 4 5 6
从B 5 2 4
怎样确定调运方案，使总的运费最少？
点评：本例表中的数据较多．可设从A运到 ( http: / / www.21cnjy.com )D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x，y表示，即12－x－y，则B运到D，E，F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.
解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D，E，F分别为8－x,6－y，x＋y－6.
约束条件为目标函数为f＝－3x＋y＋100.
可行域为如图10所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x＝8，y＝0时，f最小，即运费最省．
图10
故当从A运到D8千吨、从A运到F4千吨、从B运到E6千吨、从B运到F2千吨时，总的运费最少．
点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性.
变式训练
行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用 ( http: / / www.21cnjy.com )，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋(n为常数，n∈N)．做两次刹车试验，有数据如图11，其中5＜y1＜7,13＜y2＜15.
图11
(1)求出n的值；
(2)要求刹车距离不超过18.4 m，则行驶的最大速度应为多少？
解：(1)将x1＝40，x2＝70分别代入y＝＋.
有y1＝n＋4，y2＝n＋.
依题意，有(n∈N)．解得n＝3.
(2)y＝＋≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.
1．实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析：设点D(x，y)在图中阴影 ( http: / / www.21cnjy.com )部分内，如图12.ω＝，即动点(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．l1的斜率k1＝kAB，由得B点坐标为(1,0)，k1＝－.l2与x－y＝0平行，ω∈.
图12
答案：D
2．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？
解：设8角邮票可买x张，2元邮票可买y张，根据题意有
不等式表示的平面区域如图13所示，而在 ( http: / / www.21cnjy.com )该区域内，x，y都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
图13
1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？
2．本节课重点复面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定势，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．21cnjy.com
本章复习题三A组3,6,7,8，B组3,4，C组1.
1．本教案设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．
2．本教案设计关注了学生的层次，关 ( http: / / www.21cnjy.com )注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．
3．本教案设计注意了数学思想方法的教 ( http: / / www.21cnjy.com )学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．
一、备用例题
【例1】 已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
活动一：原函数式可化为y＝－3x2＋x，利用二次函数求某一区间的最值．
解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)
活动二：挖掘隐含条件，∵3x＋1－3x＝1为定值，且0＜x＜，则1－3x＞0；可用基本不等式．
解法二：∵0＜x＜，
∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当 3x＝1－3x，即x＝时， ymax＝.www.21-cn-jy.com
【例2】求y＝sin x＋的最小值，x∈(0，π)．
错解：∵x∈(0，π)，
∴sin x＞0.
∴y＝sin x＋≥2.
∴ymin＝2.
错因：y＝2的充要条件是sin x＝，即sin2x＝5，这是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sin x＞0.又y＝sin x＋＝sin x＋＋≥2＋，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时，取“＝”．而此时也有最小值4，
∴当sin x＝1时，ymin＝6.
【例3】已知正数x，y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．
错解：∵1＝2x＋y≥2，∴≤，即≥2.
∴＋≥2≥2·2＝4，即＋的最小值为4.
错因：过程中两次运用了基本不等式，但这两次取“＝”的条件是不同的，故结果错．
正解一：∵2x＋y＝1，∴＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，取“＝”．21·世纪*教育网
而即此时＋的最小值为3＋2.
正解二：∵＋＝＋＝3＋＋(以下同正解一)．
小结：用基本不等式求最值时，要注意检验 ( http: / / www.21cnjy.com )最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用基本不等式求最值，则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的诸条件是否相容．www-2-1-cnjy-com
【例4】 已知正数x，y满足xy＝x＋y＋3，试求xy，x＋y的范围．
解法一：由x＞0，y＞0，则xy＝x＋y＋3xy－3＝x＋y≥2，即()2－2＋3≥0.
解得≤－1(舍去)或≥3，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，y＞0，xy＝x＋y＋3(x－1)y＝x＋3知x≠1，则y＝.由y＞0＞0x＞1，则xy＝x·＝＝＝(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－1)＋＋2
≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．
点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧．
总之，利用基本不等式求最 ( http: / / www.21cnjy.com )值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的．
【例5】 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2 m2的正四棱锥形有盖容器(如图14)，设容器高为h m，盖子边长为a m，
图14
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V m3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．
命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用基本不等式求函数的最值．
知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用基本不等式可求得最值．
解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得
消去h′，解得a＝(a＞0)．
(2)由V＝a2h＝(h＞0)，
得V＝，而h＋≥2＝2.
所以V≤，当且仅当h＝，即h＝1时取等号；
故当h＝1 m时，V有最大值，V的最大值为 m3.
二、不等式的证明方法探究
1．配方法
把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的．
2．判别式法
通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证．
3．比较法
为了证明A＞B，可转化为证明 A－B＞0或者当B＞0时转化为证明＞1.
4．分析法
分析要证明的结论的特征，对其进行等价转化，使之与已知条件的联系更加密切．
5．综合法
利用一些现成的结论(比如重要不等式)，从已知条件直接入手，逐步得到要证明的结论．
在实际证明过程中，分析法和综合法常结合使用．
6．放缩法
为了证明A＜B，可设法证明A＜C，且C＜B.
7．数学归纳法
常用来证明与正整数有关的命题．
8．构造法
构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来．
9．辅助函数法
函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系．
通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式．通常我们可以利用以下一些函数的性质：①函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，则y≥0Δ≤0；②三角函数的有界性；③函数的单调性．【版权所有：21教育】
10．换元法
通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式．
应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式．
常用的换元方法有三角换元和均值换元．
(1)三角换元
x2＋y2＝r2(r＞0) (0≤α＜2π)；x2＋y2≤a2(0≤α＜2π，0≤r≤|a|)；x2－y2＝r2(r＞0)(0≤α＜2π)．
(2)均值换元
x＋y＝ax＋y＋z＝a
另外，在证明的过程中还经常使用整体换元，即用一个变量代替一个整式．
11．逐步调整法
在证明不等式的过程中，对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小)，观察函数值的变化，从中发现函数式的最值．
三、数学中的等与不等关系
数学是研究空间形式和数量关系的科学 ( http: / / www.21cnjy.com )，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴涵着极为丰富的辩证唯物主义因素．等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系．
等的关系体现了数学的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质．如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异．如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．
数学科学是一个不可分割的有机整体， ( http: / / www.21cnjy.com )它的生命力正是在于各个部分之间的联系．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系．因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系．许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性．
等与不等形影不离，存在着概念上的 ( http: / / www.21cnjy.com )亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系．数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现．不等虽没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔、峰之隽秀、海之宽阔、天之高远，怎能不让人心旷神怡、魂牵梦绕呢？
(设计者：郑吉星)
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教学设计
本章复习
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
由本章知识网络图可知，我们在这一章中重点 ( http: / / www.21cnjy.com )探究了几种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及基本不等式，在了解了这几种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用．那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想、数形结合思想、等价变换思想，以及分类讨论思想、类比思想、换元思想等．
1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中 ( http: / / www.21cnjy.com )学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，都与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．21·cn·jy·com
2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查基本不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，c≠0ac＞bc(忘了c＞0)，ac＞bd(忘了a，b，c，d＞0)，等等．
3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．
4．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参 ( http: / / www.21cnjy.com )数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．
5．不等式的应用是本章的重 ( http: / / www.21cnjy.com )点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或基本不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．
三维目标
1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用实数性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握基本不等式≥(a≥0，b≥0)的应用方法与技巧．
2．通过对一元二次不等式解法的复习 ( http: / / www.21cnjy.com )，设计求解的流程图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图像、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．
3．通过对全章内容的复习，通过对问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质；通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣，并树立辩证的科学世界观．
重点难点
教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、基本不等式〕的概念、方法及应用．
2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．
3．掌握构建基本不等式解决函数的最值问题，利用基本不等式解决实际问题．
教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；基本不等式解决函数最值的正确运用．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．
思路2.(问题导入)先让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生结合本章的小结建议，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．
推进新课
①通过我们对本章四个部分的回顾，你能作出本章知识框图吗？
②什么是一元二次不等式？怎样求解一元二次不等式的解集？,
活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．通过查看课本、笔记及作业一一回顾以上几个问题．确定一元二次不等式的概念后，探究了它的解法，并尝试用一个流程图把求解一元二次不等式的过程表示出来，为前面学过的算法找到了用武之地．21教育网
由一元二次不等式的一般形 ( http: / / www.21cnjy.com )式，知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数图像有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
教师给出下列表格，并让学生填空(用多媒体)．
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 x1,2＝ x1＝x2＝－
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集 []
学生完成上述的表格后，再引导学生回忆基本不等式≥(a≥0，b≥0)的探究过程、证明过程、成立的条件、几何解释．
下面我们将对以上内容，通过具体例题的探究做进一步的归纳整合．
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|| x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝，(2)A∩B C，分别求出m的取值范围．
活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．
解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，
欲使A∩C＝，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.
(2)欲使A∩B C，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，
只需即即1≤m≤2.
点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．
变式训练
已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B等于( )．
A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]
解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．
则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．
答案：A
例2 不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.
活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式．训练学生的等价转化能力．
解法一：将＜1化为＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0.
由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，
∴[(1－a)x－1](x－1)＞0.
∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2.
解得a＝.
解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，
即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0.
依题意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，
∴解得a＝.
点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义.
变式训练
若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝_________.
答案：4
例3 若正数x，y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．
活动：基本不等式的功能就是“和积互化” ( http: / / www.21cnjy.com )．通过此例，教师引导学生回忆如何用基本不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值．因此，首先联想基本不等式．本例可让学生上黑板板演．
解：∵x，y为正数，则6x,5y也是正数，
∴≥＝，当且仅当6x＝5y时，取“＝”．
∵6x＋5y＝36，则≤，即xy≤.
∴xy的最大值为.
点评：本例旨在说明基本不等式的应用．事 ( http: / / www.21cnjy.com )实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝，代入xy，得xy＝x·(36－6x)＝－x2＋x(x＞0)，利用二次函数的图像和性质也很容易解出来，教师可在活动前与学生说明．学生用基本不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨，让学生自己去纠正，然后补充一道变式训练作为补偿性练习.
变式训练
已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．
解析一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2.
∴xy≥6，当且仅当＝＝1，
即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6.
解析二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈，
∴x＝，y＝.
∴x·y＝＝.
∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3.
∴xy的最小值是6.
解析三：由＋＝2，得y＝.
∴xy＝(x＞1)．
令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.
∴＝＝≥＝6，
当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.
∴xy有最小值6.
答案：6[]
思路2
例1 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
活动：由于最高次项的系数含有字母a ( http: / / www.21cnjy.com )，不等式可以是二次不等式，也可以是一次不等式，且影响两根的大小，所以首先要确定让我们解的是几次不等式，其次判定根的大小．有人不考虑字母a对不等式次数的影响，看成了二次不等式，解集的范围将变小．有人考虑不周密，分类不全，造成漏解．
解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)＜0，这时两根的大小顺序为2＞，所以解集为.
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)＞0，
①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为2＜，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；
③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为.
综上所述，不等式的解集为
a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，
a＜0时，，0＜a＜1时，，
a＞1时，.
点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．
例2 已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集是{x|2＜x＜}，求不等式ax2－(5a＋1)x＋ma＞0的解集．
活动：条件中的不等式含参数a，而其解集中 ( http: / / www.21cnjy.com )又含有参数m，解决此类问题一般有两种策略．策略之一：求出原不等式解集，与{x|2＜x＜}比较；策略之二：抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜}的一元二次不等式，再与原不等式比较．若求原不等式的解集，需讨论，较繁．
解：x＞ax2＋ ax2－x＋＜0,2＜x＜ (x－2)(x－)＜0 x2－(2＋)x＋2＜0.
对照不等号方向及x2的系数可知a＞0且＝＝，解得a＝，m＝36.
∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞0x2－x＋36×＞0x2－13x＋36＞0(x－4)(x－9)＞0x＜4或x＞9.
点评：本例清晰地反映了二次函数、二次方程、二次不等式这“三个二次”之间的关系，应让学生仔细领悟.
变式训练
已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题意，不等式组的解集为{x|2＜x＜3}．
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则由题意，结合三个二次之间的关系有解得a≤9.
答案：(－∞，9]
例3 解下列不等式：
(1)≥0；(2)＜3.
活动：教师引导学生观察这种分子、分母 ( http: / / www.21cnjy.com )都含有x的不等式，回忆以前的解题方法，其基本思想是先把不等式的右边化为0，然后等价转化为整式不等式来求解，提醒学生不能两边同乘．本例可让学生自主探究解决，教师适时点拨． 21*cnjy*com
解：(1)不等式≥0可等价转化为不等式组
解得x≤－1或x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．
(2)不等式＜3可等价转化为＜0，即(x－1)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
点评：本例体现了分式不等式与整式不等式之间的等价转化，提醒学生注意转化的等价性．如(1)中易忽略x≠3.21*cnjy*com
例4 为了保护环境，造福人类，某县环 ( http: / / www.21cnjy.com )保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图1)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
图1
活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．
解：设净水池长为x m，则宽为 ( http: / / www.21cnjy.com ) m，高为h m，则总造价f(x)＝400·h＋100··h＋60×200＝800h＋12 000(x＞0)，当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时，上述不等式取到等号．
故当净水池的长设计为15 m时，总造价最低．
点评：对应用问题的处理，关键是把实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用基本不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．
已知a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠，求a的取值范围．
解：由f(x)为二次函数，知a≠0.
令f(x)＝0，解得其两根为x1＝－，x2＝＋.
由此可知x1＜0，x2＞0.
(1)当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＜3，即＋＜3，解得a＞.
(2)当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＞1，即＋＞1，解得a＜－2.
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪.
[]
1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？
2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、函数与方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系．
本章复习题三A组1,2,4,5，B组1,2，C组2.
1．本教案设计体现了复习课的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．
2．本教案设计重视了学生的探究活动，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众的情况．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．
3．本教案设计体现了复习中前后知识的联 ( http: / / www.21cnjy.com )系．注重了复习应涉及哪些内容，重难点是什么，与其前沿知识和后继知识有哪些联系，在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.学完本章后再来看本章的章头图：芭 ( http: / / www.21cnjy.com )蕾舞演员的美妙身姿，你将会有什么感想？是否感受到了等与不等的辩证互补？感受到等与不等的形影不离及概念上的亲缘关系？本节课将对全章内容进一步归纳整合．
思路2.我们曾对平面区域、线性规划问题进行了 ( http: / / www.21cnjy.com )探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用意识．
推进新课
①在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式 组 的解集表示平面上的区域？
②确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？
③利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？
④解线性规划实际问题的方法步骤是什么？
活动：教师引导学生回忆并思考以上问题 ( http: / / www.21cnjy.com )．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的 ( http: / / www.21cnjy.com )所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．【出处：21教育名师】
(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)
用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：
平面区域
二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＞0，C＜0) Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＞0，C＜0) Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＜0，C＜0) Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＜0，C＜0)
说 明 对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成虚线
本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进 ( http: / / www.21cnjy.com )行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
(1)阅读题意，寻找线性约束条件、线性目标函数；[]
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；2·1·c·n·j·y
(4)由实际问题的实际意义作答．
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 画出不等式组表示的平面区域．
活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．
解：不等式x＋y－6≥0表示在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图2所示．【来源：21cnj*y.co*m】
图2
点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握.
变式训练
如图3所示，在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )．
A．[7,8] B．[7,15] C．[6,8] D．[6,15]
图3 图4
解析：由题意知要求在约束条件下目标函数z＝3x＋2y的取值范围，作出如图4所示目标函数取最大值时的可行域．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，
∴在B点处取最小值，C点处取最大值，且B(1,2)，C(0,4)．
∴当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]．
答案：A
例2 某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：
级别 加工能力(个/人天) 成品合格率(%) 工资(元/天)
Ⅰ 240 97 65.6
Ⅱ 160 95.5 53.6
工厂要求每天至少加工配件2 400个 ( http: / / www.21cnjy.com )，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．
活动：学生对求解简单线性规划实际应用题 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的步骤已经很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．
解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x，y人．
线性约束条件：
化简即为
目标函数为z＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋65.6x＋53.6y，
化简z＝80x＋68y.根据题意知即求目标函数z的最小值．
画出约束条件的可行域，如图5，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小的点．然而A点非整数点．故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知(6,7)为满足题意的整数解．
图5
此时zmin＝80×6＋68×7＝956(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．
答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．
点评：通过本例的求解我们可以 ( http: / / www.21cnjy.com )看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．它很有实际意义，即它是在以理论指导实际生产需要．实际上，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．常见类型有：(1)物资调运问题．例如：已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
(2)产品安排问题．例如某 ( http: / / www.21cnjy.com )工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？21世纪教育网版权所有
(3)材料问题．
同学们在课外的研究中将会陆续碰到这些问题．
例3 有三块合金，第一块含60%的铝和4 ( http: / / www.21cnjy.com )0%的铬，第二块含10%的铬和90%的钛，第三块含20%的铅、50%的铬和30%的钛．现需要由它们组成含钛45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围．
解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量的百分比分别为x，y，z，则含铬百分比为w＝0.4x＋0.1y＋0.5z，
其中消去z得即(x，y)对应的点集为线段AB(包括端点)，如图6.
图6
由于w＝0.4x－1.4y＋0.75，即y＝x＋－w表示的直线与线段AB有公共点，
由此得直线截距的取值范围为≤－w≤，得0.25≤w≤0.4，
即含铬的百分比范围是[0.25,0.4]．
思路2
例1 设实数x，y满足不等式组或
(1)求点(x，y)所在的平面区域；
(2)设a＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)＝y－ax的最大值和最小值．
活动：教师引导学生思考本例的关键是准确地画出 ( http: / / www.21cnjy.com )平面区域．可让学生上黑板板演，教师作点评．但第(2)问由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要对参数a进行讨论．方法是让直线l动起来．21教育名师原创作品
解：(1)点(x，y)所在平面区域为如图7所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的阴影部分(含边界)，其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
[]
图7
(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a＞－1，∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大．
∵C点的坐标为(－3,7)， ( http: / / www.21cnjy.com )∴f(x，y)的最大值为7＋3a.如果－1＜a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，f(x，y)最小，最小值为－1－2a.如果a＞2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.
例2 非负实数y满足则x＋3y的最大值是__________．
活动：本例是学生比较熟悉的用线性 ( http: / / www.21cnjy.com )规划求最优解问题，按常规解法，学生不难完成本例．为了打破学生的思维定势，提高学生的发散思维能力，教师可引导学生从消元的角度来探究本例．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域如图8.
图8
令z＝x＋3y，由图8知，使目标函数z＝x＋3y取得最大值的点一定在边界2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0上取得，这里0≤x≤2.
由解得
(1)当0≤x≤1时，z＝x＋3y＝x＋3(－x＋3)＝－2x＋9，在[0,1]上为减函数，
∴x＝0时，zmax＝9；
(2)当1≤x≤2时，z＝x＋3y＝x＋3(－2x＋4)＝－5x＋12，在[1,2]上为减函数，
∴x＝1时，zmax＝7.
综上知，当x＝0时，z＝x＋3y有最大值为9.
答案：9
点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数，然后利用函数单调性求解，既体现了函数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”．教师应提倡并鼓励学生发散思维的发展．许多发明创造都是借助于发散思维获得成功的．可以说发散思维是创造的发源地．对于线性问题求解的新视角还有待定系数法、变换坐标法等，可鼓励学生进一步探究.2-1-c-n-j-y
变式训练
在如图9所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )．
图9
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：由目标函数，得y＝－x＋.
当a＝－3时，y＝x－.此时目标函数对应的直线与AC平行．
答案：A
例3 A，B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D，E，F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：
(万元) 到D 到E 到F
从A 4 5 6
从B 5 2 4
怎样确定调运方案，使总的运费最少？
点评：本例表中的数据较多．可设从A运到 ( http: / / www.21cnjy.com )D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x，y表示，即12－x－y，则B运到D，E，F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.
解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D，E，F分别为8－x,6－y，x＋y－6.
约束条件为目标函数为f＝－3x＋y＋100.
可行域为如图10所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x＝8，y＝0时，f最小，即运费最省．
图10
故当从A运到D8千吨、从A运到F4千吨、从B运到E6千吨、从B运到F2千吨时，总的运费最少．
点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性.
变式训练
行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用 ( http: / / www.21cnjy.com )，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋(n为常数，n∈N)．做两次刹车试验，有数据如图11，其中5＜y1＜7,13＜y2＜15.
图11
(1)求出n的值；
(2)要求刹车距离不超过18.4 m，则行驶的最大速度应为多少？
解：(1)将x1＝40，x2＝70分别代入y＝＋.
有y1＝n＋4，y2＝n＋.
依题意，有(n∈N)．解得n＝3.
(2)y＝＋≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.
1．实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析：设点D(x，y)在图中阴影 ( http: / / www.21cnjy.com )部分内，如图12.ω＝，即动点(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．l1的斜率k1＝kAB，由得B点坐标为(1,0)，k1＝－.l2与x－y＝0平行，ω∈.
图12
答案：D
2．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？
解：设8角邮票可买x张，2元邮票可买y张，根据题意有
不等式表示的平面区域如图13所示，而在 ( http: / / www.21cnjy.com )该区域内，x，y都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
图13
1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？
2．本节课重点复面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定势，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．21cnjy.com
本章复习题三A组3,6,7,8，B组3,4，C组1.
1．本教案设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．
2．本教案设计关注了学生的层次，关 ( http: / / www.21cnjy.com )注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．
3．本教案设计注意了数学思想方法的教 ( http: / / www.21cnjy.com )学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．
一、备用例题
【例1】 已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
活动一：原函数式可化为y＝－3x2＋x，利用二次函数求某一区间的最值．
解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)
活动二：挖掘隐含条件，∵3x＋1－3x＝1为定值，且0＜x＜，则1－3x＞0；可用基本不等式．
解法二：∵0＜x＜，
∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当 3x＝1－3x，即x＝时， ymax＝.www.21-cn-jy.com
【例2】求y＝sin x＋的最小值，x∈(0，π)．
错解：∵x∈(0，π)，
∴sin x＞0.
∴y＝sin x＋≥2.
∴ymin＝2.
错因：y＝2的充要条件是sin x＝，即sin2x＝5，这是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sin x＞0.又y＝sin x＋＝sin x＋＋≥2＋，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时，取“＝”．而此时也有最小值4，
∴当sin x＝1时，ymin＝6.
【例3】已知正数x，y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．
错解：∵1＝2x＋y≥2，∴≤，即≥2.
∴＋≥2≥2·2＝4，即＋的最小值为4.
错因：过程中两次运用了基本不等式，但这两次取“＝”的条件是不同的，故结果错．
正解一：∵2x＋y＝1，∴＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，取“＝”．21·世纪*教育网
而即此时＋的最小值为3＋2.
正解二：∵＋＝＋＝3＋＋(以下同正解一)．
小结：用基本不等式求最值时，要注意检验 ( http: / / www.21cnjy.com )最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用基本不等式求最值，则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的诸条件是否相容．www-2-1-cnjy-com
【例4】 已知正数x，y满足xy＝x＋y＋3，试求xy，x＋y的范围．
解法一：由x＞0，y＞0，则xy＝x＋y＋3xy－3＝x＋y≥2，即()2－2＋3≥0.
解得≤－1(舍去)或≥3，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，y＞0，xy＝x＋y＋3(x－1)y＝x＋3知x≠1，则y＝.由y＞0＞0x＞1，则xy＝x·＝＝＝(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－1)＋＋2
≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．
点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧．
总之，利用基本不等式求最 ( http: / / www.21cnjy.com )值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的．
【例5】 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2 m2的正四棱锥形有盖容器(如图14)，设容器高为h m，盖子边长为a m，
图14
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V m3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．
命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用基本不等式求函数的最值．
知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用基本不等式可求得最值．
解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得
消去h′，解得a＝(a＞0)．
(2)由V＝a2h＝(h＞0)，
得V＝，而h＋≥2＝2.
所以V≤，当且仅当h＝，即h＝1时取等号；
故当h＝1 m时，V有最大值，V的最大值为 m3.
二、不等式的证明方法探究
1．配方法
把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的．
2．判别式法
通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证．
3．比较法
为了证明A＞B，可转化为证明 A－B＞0或者当B＞0时转化为证明＞1.
4．分析法
分析要证明的结论的特征，对其进行等价转化，使之与已知条件的联系更加密切．
5．综合法
利用一些现成的结论(比如重要不等式)，从已知条件直接入手，逐步得到要证明的结论．
在实际证明过程中，分析法和综合法常结合使用．
6．放缩法
为了证明A＜B，可设法证明A＜C，且C＜B.
7．数学归纳法
常用来证明与正整数有关的命题．
8．构造法
构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来．
9．辅助函数法
函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系．
通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式．通常我们可以利用以下一些函数的性质：①函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，则y≥0Δ≤0；②三角函数的有界性；③函数的单调性．【版权所有：21教育】
10．换元法
通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式．
应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式．
常用的换元方法有三角换元和均值换元．
(1)三角换元
x2＋y2＝r2(r＞0) (0≤α＜2π)；x2＋y2≤a2(0≤α＜2π，0≤r≤|a|)；x2－y2＝r2(r＞0)(0≤α＜2π)．
(2)均值换元
x＋y＝ax＋y＋z＝a
另外，在证明的过程中还经常使用整体换元，即用一个变量代替一个整式．
11．逐步调整法
在证明不等式的过程中，对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小)，观察函数值的变化，从中发现函数式的最值．
三、数学中的等与不等关系
数学是研究空间形式和数量关系的科学 ( http: / / www.21cnjy.com )，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴涵着极为丰富的辩证唯物主义因素．等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系．
等的关系体现了数学的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质．如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异．如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．
数学科学是一个不可分割的有机整体， ( http: / / www.21cnjy.com )它的生命力正是在于各个部分之间的联系．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系．因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系．许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性．
等与不等形影不离，存在着概念上的 ( http: / / www.21cnjy.com )亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系．数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现．不等虽没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔、峰之隽秀、海之宽阔、天之高远，怎能不让人心旷神怡、魂牵梦绕呢？
(设计者：郑吉星)
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