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教学设计
1．1 不等关系
教学分析
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，学生将通过现实生活中的实例，了解我们周围存在的形形色色的不等关系，进而更深层次地从理性角度建立不等观念．21·cn·jy·com
通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．
三维目标
1．会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组．
2．通过本节学习，让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．
3．通过对富有实际意义问题的解决，激发学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣．
重点难点
教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．www-2-1-cnjy-com
教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系．
课时安排
1课时
导入新课 []
思路1.(插图导入)教材章头插图安排一幅芭 ( http: / / www.21cnjy.com )蕾舞的优美画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．21教育网
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、 ( http: / / www.21cnjy.com )身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．
推进新课
①回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？]21cnjy.com
②在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？
③阅读课本内容，同学之间交流对不等关系的认识.
活动：教师引导学生回忆初中 ( http: / / www.21cnjy.com )学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．2·1·c·n·j·y
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论．使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．2-1-c-n-j-y
实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A，B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如图1. 21*cnjy*com
图1
实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．
实例4：2003年10月15日9时，我国“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的飞天梦想．这是自1970年4月24日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家．21教育名师原创作品
“东方红一号”与“神舟”五号部分参数的对比见下表．
“东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表
近地点s/km 远地点s′/km 绕地球一周t/min 飞船质量m/kg
“东方红一号”(a) 439 2 384 114 173
“神舟”五号(b) 200 350 90 7 790[]
a与b进行比较 sa＞sb []
我们不难发现，“神舟”五号飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展．
实例5：《铁路旅行常识》规定：
“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米 ( http: / / www.21cnjy.com )的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．www.21-cn-jy.com
……
十、旅客每人免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克……”21*cnjy*com
设儿童身高为h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为p(cm)，请在下表空格内填上对应的数学符号(＜，≤，＞，≥)，并与同学交流．
文字表述 1.2～1.5 m 超过1.5 m 不足1.2 m 不超过160 cm
符号表示
实例6：图2给出的是2001年我国长江流域部分省、自治区、直辖市水质状况直方图．
图2
请根据图中提供的信息，依河流水质的状况，将各省市(区)污染程度按从小到大的顺序(＜，≤)进行排列．
对以上问题，教师让学生轮流回答，问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识．从上面的一些例子，我们可以感受到，不等关系反映在日常生活的方方面面．在数学意义上，不等关系可以体现：21世纪教育网版权所有
常量与常量之间的不等关系．例如，“神舟”五号的质量大于“东方红一号”的质量．
变量与常量之间的不等关系．例如，儿童身高h m小于或等于1.4 m.
函数与函数之间的不等关系．例如，当x＞a时，销售收入f(x)大于销售成本g(x)．(见后面应用示例思路2的例1)21·世纪*教育网
一组变量之间的不等关系．例如，购置软件的费用60x与购置磁盘的费用70y之和不超过500元．
讨论结果：①～③略．
思路1
例1 设点A与平面α的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤|AB|.用图表示此不等关系．
图3
活动：教师可让学生合作探究，对有困难的学生及时给予点拨指导．
解：如图3，过点A作AC⊥平面α于点C，则d＝|AC|≤|AB|.
点评：这种用数形结合的思想解决问题的方法是我们非常熟悉的．
例2 某种杂志以每本2.5元的价 ( http: / / www.21cnjy.com )格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志的定价为x元，则销售量就减少×0.2万本．销售量变为万本，则总收入为x万元，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为x≥20.
点评：由于观察视角的不同，上述表示 ( http: / / www.21cnjy.com )不是唯一的，若设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N＋)，那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5＋0.1n)元，则可得销售的总收入为不低于20万元的不等式为(2.5＋0.1n)(8－0.2n)≥20.显然这两种表示都是正确的，由此让学生体验不同的切入，会得到不同的不等式模型，并让学生对以上两种表示作出比较．
3某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截 ( http: / / www.21cnjy.com )成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．
分析：根据题意，应当有什么 ( http: / / www.21cnjy.com )样的不等量关系呢？由题意，显然截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．截得的两种钢管数量都不能为负．上述三个不等关系必须同时满足，即用“且”而非“或”．同时，由于实际问题的限制，还应有x，y∈N＋.【来源：21cnj*y.co*m】
解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．
根据题意可列如下不等式组：
点评：通过以上探究，使学生初步明确了如何用不等式或不等式组把实际问题中的不等关系表示出来，提醒学生要注意挖掘问题中所隐含的不等量关系及使实际问题有意义，考虑问题要周全，思维要严密．
思路2
例1 如图4，函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x t的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
图4
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)
解：(1)当销售量大于a t，即x＞a时，公司赢利，即f(x)＞g(x)；
(2)当销售量小于a t，即0≤x＜a时，公司亏损，即f(x)＜g(x)．
点评：此题为函数与函数之间的不等关系．
例2 某用户计划购买单价分别为60元 ( http: / / www.21cnjy.com )、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
活动：这是1999年全国高考的一道选择题的改编，其解法很多，但列出不等关系后更能一目了然地理解本题中的数量关系．
解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得
点评：这是一组变量之间的不等关系．
例3 若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？【出处：21教育名师】
活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系．
解：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是
点评：可让学生板演，老师结合学生的具体完成情况作评析，特别应注意x≥0，y≥0，x，y∈N的条件的应用．
例4 某厂使用两种零件A，B，装配两 ( http: / / www.21cnjy.com )种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多2 500件，月产量乙最多1 200件，而组装一件产品，甲需要4个A、2个B；乙需要6个A，8个B.某个月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来．【来源：21·世纪·教育·网】
活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系，可设甲、乙两种产品的产量分别为x件、y件，这样就可用x，y表示出不等关系．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件、y件，则根据题意，得
即
点评：本例可让学生合作完成，点拨学生应特别注意对x≥0，y≥0，x，y∈N的隐含条件的挖掘．
课本本节练习1,2.
1．由学生回顾本节课中所探究的不等关系、不等式及其实际背景，整合本节课中从实际背景中建立不等式模型的方法，巩固本节所学知识与方法．【版权所有：21教育】
2．教师进一步画龙点睛，通过本节对 ( http: / / www.21cnjy.com )现实中数量关系的不等式表示，明确不等式是研究不等关系的重要数学工具，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．
课本习题3—1 A组4,5.
[]
1．本教案设计更加关注学生的发展．通过具 ( http: / / www.21cnjy.com )体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着的大量的等量关系，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．
2．本教案设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，及实际问题背景的设计，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，从而提高学习质量．
3．本教案设计注重了学生个性品质的发 ( http: / / www.21cnjy.com )展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．21世纪教育网
(设计者：沈传年)
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