教学设计
3．1 基本不等式
教学分析
本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景．本节一开始，首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释．整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强基本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了基本不等式的几何背景．由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大胆地让学生进行合作探究．
三维目标
1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握基 ( http: / / www.21cnjy.com )本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化 ( http: / / www.21cnjy.com )”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
重点难点
教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式≥的多种解释．
教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．
课时安排
1课时
导入新课
(直接导入)在代数中，有许多有趣的不等式， ( http: / / www.21cnjy.com )例如对任意实数x，y，(x－y)2≥0总是成立的，即x2－2xy＋y2≥0，所以≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立，并进一步得≥(a＞0，b＞0)，这是非常重要的一个不等式．本节我们对其作进一步探究，由此展开新课．
推进新课
①阅读课本内容，你能得出≥(a＞0，b＞0)．当且仅当a＝b时，等号成立吗？
②你能证明这个不等式吗？
③你能根据初中学过的几何知识，尝试给出基本不等式的几何解释吗？
④你能对基本不等式给出另外的解释吗？
活动：对于任意实数x，y，(x－y)2≥0总是成立的，即x2－2xy＋y2≥0，
所以≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立．
设x＝，y＝，则由这个不等式可得出以下结论：
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
这个不等式就是我们这节课要 ( http: / / www.21cnjy.com )推导的基本不等式．它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫作正数a，b的算术平均数，把叫作正数a，b的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
请学生注意公式的结构形式．成立的条件是a，b为正实数，等号成立的条件是当且仅当a，b相等．
下面我们一起探究不等式≥(a，b＞0)的证明过程，可用分析法证明如下：
要证≥，只要证a＋b≥2，
即证a＋b－2≥0，
只要证(－)2≥0.
显然上式是成立的．所以不等式得证．
接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连接AD，BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
图1
(本节课开展到这里，学生从基本不等式的 ( http: / / www.21cnjy.com )证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝.或由射影定理也可得到CD＝.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径长，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≥.
显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
不等式≥(a＞0，b＞0)是一个重要不等式，它在求函数最值、解决实际问题中有着广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．
教师引导学生对基本不等式作进一步的交流探究：
如图2，在⊙O上半圆中，设AC＝a ( http: / / www.21cnjy.com )，CB＝b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用FC≥OF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较．
图2
对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．但从数列角度看，可把看作是正数a，b的等差中项，看作是正数a，b的正的等比中项，基本不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
更进一步地，我们有以下的探究：
对于正数a，b的几何平均数，我们可以有以下两种解释：
某工厂第一年的产值为1 000万元，第二年的 ( http: / / www.21cnjy.com )产值为第一年产值的2倍，第三年的产值为第二年产值的3倍．设工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长x倍，那么x满足：1 000×2×3＝1 000x2，即x＝.
一般地，设某工厂第一年的产值为m，第二年的产值为第一年的a倍(即ma)；第三年产值为第二年的b倍(即mab)．
如果该工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长x倍，那么x满足mab＝mx2，即x＝.
另外，我们可以把两个正数a ( http: / / www.21cnjy.com )，b看成是两条线段的长度，并以它们为边作一长方形，如图3(1)；如果我们想作一正方形，使它的面积等于这个长方形的面积，那么它的边长就是a和b的几何平均数，如图3(2)．
图3
讨论结果：①～④略．
例1 已知x，y都是正数，求证：
(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
活动：教师点拨学生注意，在运用定理≥时，条件a，b均为正数．
证明：(1)∵x，y都是正数，
∴＞0，＞0.∴＋≥2＝2，即＋≥2.
(2)∵x，y都是正数，
∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.
∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2xy＞0，x3＋y3≥2＞0.
由不等式的性质，得(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2xy·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
点评：不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.
变式训练
已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
例2 若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )．
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
活动：根据P，Q，R三个式子的结构特点，应考虑利用基本不等式，再运用函数y＝lg x的单调性．
解析：∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0.∴(lg a＋lg b)＞·2，即Q＞P.
又∵＞，∴lg＞lg＝(lg a＋lg b)．∴R＞Q.故P＜Q＜R.
答案：B
点评：应准确理解基本不等式成立的条件，创造性的应用基本不等式.
变式训练
若a，b，c，d，x，y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则( )．
A．P＝Q B．P≥Q C．P≤Q D．P≥Q
解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，
∴Q＝·＝
≥＝＋＝P.
答案：C
例3 设a，b均为正数，证明不等式：≥.
活动：直接应用基本不等式证明．
证明：因a，b均为正数，由基本不等式，可知≥，也即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
下面给出这个不等式的一种几何解释．
如图4，设AC＝a，CB＝b，CD⊥AB交⊙O上半圆于D，过C作CE⊥OD交OD于E，
图4
在Rt△OCD中，由射影定理，可知DC2＝DE·OD，
即DE＝＝＝.
由DC≥DE，得≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
课本本节练习．
1．由学生自己梳理整合本节都学到了哪些探究问题的方法？有哪些收获？
2．教师强调，本节课，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们学习了两正数a，b的算术平均数，几何平均数()及它们的关系.基本不等式既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用)．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤2.
本节习题3—3 B组1.
1．本教案设计关注学生的自主交流，在学 ( http: / / www.21cnjy.com )生交流中引导学生发现各种错误并分析错因，使学生自己从错误中走出来．是比较好的学习方法，错例更能澄清问题的本质．
2．本教案设计突出思维能力的训练，加强了探究问题的力度，学生的活动量较大，合作交流体现得很好．
3．本节课我们探究了基本不等式，扩展了我们的视野，在设计中加强了证明不等式的训练，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
(设计者：郑吉星)教学设计
3．2 基本不等式与最大(小)值
教学分析
本节的标题明确地说明了基本不等式的作用．从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用．在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来．教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境．本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用．本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃．
本节的新课标要求是：会用基本不等式解决 ( http: / / www.21cnjy.com )简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点．题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．
三维目标
1．进一步掌握基本不等式≥(a＞0，b＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题．
2．通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神．
3．通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点．
重点难点
教学重点：用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题．
教学难点：基本不等式≥等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a，b是正数，那么≥(当且仅当a＝b时等号成立)．在这个不等式中，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：半弦不大于半径．本节课我们进一步探究基本不等式的应用．由此展开新课．
思路2.(直接导入)通过上节课≥(a＞0，b＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．
推进新课
①回忆上节课探究的基本不等式，怎样理解基本不等式的意义？
②基本不等式都有哪些方面的应用？
③在应用基本不等式求最值时，应注意什么问题？
活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本不等式．从代数、几何两个背景推导出基本不等式≥(a＞0，b＞0)．这个不等式有着广泛的应用．对这个重要不等式，要明确它成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使≥成立．基本不等式的主要作用是求某些函数的最值及解决一些实际问题．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积 ( http: / / www.21cnjy.com )为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值．”
本节课我们将进一步探究基本不等式的应用，例如：
你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形 ( http: / / www.21cnjy.com )状不同的矩形，如边长为4 cm的正方形；长5 cm宽3 cm的矩形；长6 cm宽2 cm的矩形……，你会发现边长为4 cm的那个正方形的面积最大．这是因为：设矩形的长为x cm，宽为y cm，则x＋y＝8.这时，由基本不等式，得≥，即xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．由此可知，边长为4 cm的那个正方形的面积最大．
教师引导学生进一步探究，用类似上面的方法证明：在面积为16 cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm的那个正方形的周长最小．
这表明，x，y都为正数时，下面的命题成立：
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
讨论结果：①～③略．
例1 设x，y为正实数，且2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值．
活动：因为u＝lg(xy)，所以问题成为 ( http: / / www.21cnjy.com )：已知x，y＞0,2x＋5y＝20，求xy的最大值．教师引导学生思考本例条件是否符合基本不等式的要求，同时提醒学生注意解答步骤．
解：因为x＞y，y＞0，所以由基本不等式，得≥＝.
由于2x＋5y＝20，所以≤10，即xy≤10.当且仅当2x＝5y时，等号成立，因此有
解得x＝5，y＝2.
当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.
这样 u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以，当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意：
①x，y一定是正数；
②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，看积xy是否为定值；
③等号是否能够成立．
以上三条我们习惯上简称为“一正、二定、三相等”.
变式训练
设0＜x＜2，求函数f(x)＝的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出；若没有，请你说明理由．
解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.
∴f(x)＝≤＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时取“＝”．
∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝.
又f(x)＝＝，
∵当0＜x＜时，f(x)递增；当x＞时，f(x)递减，
∴当0＜x＜时，原函数f(x)没有最大值．
当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝.
例2 (1)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知a，b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．
活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号，又(4x－2)·不是常数，所以应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥更简捷．
解：(1)∵x＜，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．
∴当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2
≥22＝，当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立，
∴当x＝时，ymin＝.
点评：若x，y∈R＋，x＋y＝s，x ( http: / / www.21cnjy.com )y＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答中可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
变式训练
已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是__________．
活动：本例可建立适当的直角坐标系，借助 ( http: / / www.21cnjy.com )直线方程和基本不等式来解．也可运用相似三角形，找出P到AC，BC的距离之间的关系，再利用基本不等式来解．
解析：以CA，CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为＋＝1，设P(a，b)，则＋＝1(a＞0，b＞0)．
∴ab＝12··≤122＝3，当且仅当“a＝”时等号成立．
答案：3
例3 已知y＝x＋(x≠0)，证明：|y|≥2.
活动：教师点拨学生注意，本例中的x可正、可负．因此需要分类讨论，创造条件，应用基本不等式．
证明：(1)当x＞0时，由基本不等式，得y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
(2)当x＜0时，－x＞0，y＝x＋＝－.
由(1)可知(－x)＋≥2，当且仅当x＝－1时等号成立．
所以－≤－2，即y＝x＋≤－2.
综上，可知|y|≥2.
点评：应用基本不等式必须有“一正、二定、三相等”的条件，当条件不够时，需创造符合基本不等式的条件．
例4 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
活动：这是一道高考题，题目优美精干，内容丰富、典型性强，较全面地考查了基本不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到基本不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，现给出两种解法．
解析：方法一：令＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，
解得t≥3，即≥3，故ab≥9.
方法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，∴b＝(a＞1)．
∴ab＝a·＝[(a－1)＋1]＝a＋3＋＝a－1＋4＋
＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
例5 当x＞－1时，求函数f(x)＝的值域．
活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝＝＝x＋1＋－5.
这样就可以应用基本不等式了．
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴f(x)＝＝＝x＋1＋－5≥2－5＝2－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝－1时取“＝”．
另一解x＝－－1＜－1(舍去)，故函数值域为[2－5，＋∞)．
点评：本题解法具有典型性，解 ( http: / / www.21cnjy.com )后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性，图像法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用基本不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
变式训练
已知x1·x2·x3·…· ( http: / / www.21cnjy.com )x2 006＝1，且x1，x2，x3，…，x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．
解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2，同理，1＋x2≥2，
…
1＋x2 006≥2，
各式相乘，得
(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·＝22 006，
取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1.
∴所求最小值为22 006.
答案：22 006
课本本节练习1 1～3.
1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用基本不等式解决了 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的一些最值问题，以及不等式的证明问题．在用基本不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用基本不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用基本不等式证明一些不等式时，也应注意基本不等式成立的条件及构建基本不等式的结构．
课本习题3—3 A组4.
1．本教案设计意在体现基本不等式的应用，应用基本不等式求解函数的最值并注意了一题多解的训练．
2．本教案设计关注了教学进程的和谐发展．整个 ( http: / / www.21cnjy.com )设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本教案设计重视了学生的主体地位，从例题到 ( http: / / www.21cnjy.com )变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的操作活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．实际上，一堂课上下来，如果让人只感觉到学生和知识的存在，感觉不到老师存在的话，那才是教学的最高境界．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)基本不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式不仅在求函数的最值、证明不等式的方面应用广泛，在解决实际问题，如在解决以“实际问题为背景，以函数、不等式为模型”的应用题中，也得到极为广泛的应用．本节课我们将探究基本不等式在解决实际问题中的应用，以提高我们分析问题、解决问题的能力．由此引入新课．
思路2.(复习导入)不等式是与函 ( http: / / www.21cnjy.com )数及方程联系极为密切的重点内容之一，作为解决数学问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．教师用多媒体出示下面的题目：
已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.
教师先让学生探究，再点评：这是一道脍炙人口 ( http: / / www.21cnjy.com )的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，如能联想到基本不等式，在“相等关系”中构造出“不等关系”另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，则又可别开生面，这就是数学的魅力所在．证明如下：
证明：∵a≤，b≤，
两式相加得a＋b≤1.
又已知a＋b＝1，则上述两不等式必同时取等号，
即a＝，b＝.∴a2＋b2＝1.
下面我们再进一步探究基本不等式的综合应用，在学生的 “余味缭绕”中展开新课．
推进新课
①回忆上两节课对基本不等式≥的探究应用，你是怎样创设情境，如拆 添 项或配凑因式的？目的是什么？
②对于实际问题的解决，最关键的是什么？
③通过对基本不等式≥的探究及应用，你感受到数学的魅力了吗？
活动：教师引导学生回忆前两节课所探究的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识方法与技巧．通过对基本不等式的一些简单应用，我们逐渐领悟到基本不等式≥(a＞0，b＞0)的深刻内涵及广泛应用．我们对基本不等式的结构特征有了充分认识，并能够灵活地把握．在这个应用过程中，我们亲身体验了数学的奥妙，数学的结构美、简洁美、严谨美．感受到数学探究的乐趣．本节课中，我们将进一步展开一些有关函数值域、最值的应用．更重要的是对基本不等式展开一些实际应用．通过一些实际应用，充分理解不等式的现实背景，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具．通过实际问题的分析解决，去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值．同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学．而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科．
本节课我们将通过观察、阅读、归纳、 ( http: / / www.21cnjy.com )逻辑分析、思考、合作交流、探究等活动，对基本不等式展开实际应用．在用基本不等式解决实际问题和不等式有关的问题时，应抓住建立数学模型或转化为相应的不等式这一关键．
讨论结果：①～③略．
例1 如图1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图1
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
活动：教师引导学生充分理解题意，抓住关键词语，如数据36 m长的材料，即和为定值，求面积最大，即积有最大值．由此建立基本不等式模型．
解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由“有可围网长36 m的材料”，得
设面积S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
解方程组得
答：每间虎笼设计长、宽分别为4.5 m和3 m时，可使面积最大．
(2)略．
点评：本例反映了利用基本不等式解决实际问题的两种类型，解决本例的关键是建立数学模型．本例中的第(2)小题未给出解答过程，其模式与第(1)小题一样，可让学生合作交流，给出规范解答．这体现出“注意学生操作，充分让学生占据思维时空”的新课标教育理念．
例2 某种汽车，购车费用是10 ( http: / / www.21cnjy.com )万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
活动：本例是教材中的例5，时代感强．教 ( http: / / www.21cnjy.com )师引导学生先把这个实际问题抽象成数学问题，首先表示出年平均费用的函数解析式，再根据函数解析式的结构特点求出函数的最小值．
解：设使用x年汽车的年平均费用为y万元，则
y＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝10时取等号．
答：汽车使用10年平均费用最少.
变式训练
某公司一年购买某种货物400吨，每 ( http: / / www.21cnjy.com )次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
解析：设一年总费用为y万元，则y＝4·＋4x＝＋4x
≥2＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．
答案：20
例3 经过长期观测得到：在交通繁忙 ( http: / / www.21cnjy.com )的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：(1)依题意，得y＝≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝≈11.1(千辆/时)．
(2)由条件得＞10，整理，得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/时时，车流量最大， ( http: / / www.21cnjy.com )最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．
1．课本本节练习2 1,2,3.
2．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积最小时l的方程．
解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k(k＜0)．
令x＝0，得y＝1－2k；令y＝0，得x＝＝2－.
∴S△AOB＝(1－2k)＝2＋＋(－2k)．
∵k＜0，∴－2k＞0.∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－＝－2k，即k＝－时取等号．
此时l的方程为y＝－x＋2.
1．由学生总结本节课学习了哪些内容？学到了哪些探究问题的方法？对你影响最大的知识或方法是什么？
2．教师在学生发表自己的 ( http: / / www.21cnjy.com )见解后进一步强调，现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索．对于实际问题，关键是从实际问题中抽象出不等式的数学模型，但应注意最后的解答要符合实际意义．
课本习题3—3 B组2,3.
1．本教案设计重视了基本不等式与其 ( http: / / www.21cnjy.com )他内容的交汇，这也是学好这部分内容的锦囊妙计．应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题．
2．对于实际应用问题，要 ( http: / / www.21cnjy.com )通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物本身的主要特征与关系，建立起能够反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决问题．
3．函数的最大值与最小值涉及的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )极为广泛，代数的、三角的、几何的问题中都有大量的求最值问题．求函数的值域也常归结为函数的最值，许多实际问题的应用题也能利用最值解决．这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用基本不等式求出函数最值．
算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a1，a2，a3，…，a ( http: / / www.21cnjy.com )n为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝，G＝，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，≥，当n＝3时，≥.
(2)用局部调整法证明均值不等式A ( http: / / www.21cnjy.com )≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝＝A，②两组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝，
∵A(a1＋an－A)－a ( http: / / www.21cnjy.com )1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.
∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1an，G1＞G.
若第二组数全相等，则A1＝G1，
于是A＝A1＝G1＞G证明完毕．
若第二组数不全相等，再作第二次 ( http: / / www.21cnjy.com )替换．仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因为有b1＜A1＜bn且A1＝A，因而第二组数中的A不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n－2次替换，新数中至少出现n－2个A，最多经过n－1次替换，得到一个全部是A的新数组．此时新数组的算术平均值等于几何平均值．在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即G＜G1＜G2＜…＜Gk，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立．
(设计者：郑吉星)
