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教学设计
2．1 一元二次不等式的解法
教学分析
1．本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂．但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具．由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑．要使学生通过学习本节内容后，达到新课标所规定的要求却并非易事．因此在教学中要根据学生的实际情况，通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，不可期望一蹴而就．要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内涵，避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程．教师要读透新课标要求，深刻理解本节的下面三个编写意图：
(1)数形互补，强化直观，突出精简实用．对 ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数方法，而是结合二次函数的图像，采取简洁明了的数形结合，体现删繁就简的意图．淡化解(证)不等式的技巧性要求，凸现了不等式的实际情境、几何意义及实际应用．
(2)总结方法，提炼思想，鼓励创新实用．对 ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次不等式求解“尝试设计求解流程图”的要求，融入了算法的思想．其一是为算法找到了用武之地，其二是不但实现了不等式的上机求解，而且对不等式结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质．其他如优化思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想等． 21*cnjy*com
(3)注重联系，更新观念， ( http: / / www.21cnjy.com )建立创新数学观．在教学中要积极引导学生，将所学内容与日常生活、生产实际、其他学科联系起来．通过类比、联想、知识迁移等方式，使学生体会本章知识间与其他知识间的有机联系，注意函数、方程、不等式的联系，数与形的联系，算法思想、优化思想、化归思想在有关内容中的渗透以及不同内容中的应用等．
2．本节分为三个课时．
第1课时，通过师生共同分析日常生活中的 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题，引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，总结一元二次不等式的解法与二次函数的关系和解一元二次不等式的步骤．然后用一个流程图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来．根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系．
第2课时，通过例题的讲解和学生的练 ( http: / / www.21cnjy.com )习，进一步发现、深入、探究．揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的基本方法，及时加以巩固．
第3课时，研究含有参数的一元二次不等式的解法．通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
三维目标
1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．通过含参不等式的探究，正确地对 ( http: / / www.21cnjy.com )参数分区间进行讨论．由于字母较多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节，要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握．
3．通过图像解法渗透数形结合、分类化归等数学 ( http: / / www.21cnjy.com )思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质．
重点难点
教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，突出体现数形结合的思想. 熟练地掌握一元二次不等式的解法．
教学难点：深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系．
课时安排
3课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )阅读课本上汽车的滑行问题．通过建立甲、乙两辆车的刹车距与车速之间的函数关系，判断哪一辆车违章行驶．由此抽象出不等关系，引出一元二次不等式的概念．www.21-cn-jy.com
思路2.(类比导入)同思 ( http: / / www.21cnjy.com )路1，得出一元二次不等式后，让学生回忆解方程3x＋2＝0的方法．作函数y＝3x＋2的图像，解不等式3x＋2＞0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集．类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来，找到其求解方法呢？由此展开新课．
推进新课
①阅读课本并回答怎样从实际问题中抽象出不等式？
②什么是一元二次不等式？[]
③回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？
④类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？
活动：以多媒体课件的形式出示给学生．
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车 ( http: / / www.21cnjy.com )后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”．刹车距s(m)与车速x(km/h)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同．它是分析交通事故的一个重要数据．21cnjy.com
甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了．交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过了10 m，又知这两辆汽车的刹车距s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：
s甲＝0.01x2＋0.1x，s乙＝0.005x2＋0.05x，
谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．
试问：哪一辆车违章行驶？
由题意，只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和0.005x2＋0.05x＞10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．由此引出一元二次不等式的概念．
我们把形如ax2＋bx＋c＞0(≥0) ( http: / / www.21cnjy.com )或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．如2x2－3x－2＞0,3x2－6x＜－2，－2x2＋3＜0等都是一元二次不等式．探究它的解法是我们这节课学习讨论的重点．21世纪教育网版权所有
为了探究一元二次不等式的解法，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系．这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握．
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的关系：可通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集．函数图像与x轴交点的横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标．如下表，可利用多媒体课件，让学生填写相关内容．
a＞0 a＜0
一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图像
一元一次方程ax＋b＝0的解集
一元一次不等式ax＋b＞0的解集
一元一次不等式ax＋b＜0的解集
从以上的回顾我们发现，一元一次方程、 ( http: / / www.21cnjy.com )一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集．
类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .
如何解一元二次不等式x2－2x－3＜0
当x变化时，不等式的左边可以看作是x的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数．确定满足不等式x2－2x－3＜0的x，实际上就是确定x的范围．也就是确定函数y＝x2－2x－3的图像在x轴下方时，其x的取值范围．
观察二次函数y＝x2－2x－3的图像(如图1)，并回答以下问题：
图1
(1)x的取值范围是什么时，y＝0
(2)x的取值范围是什么时，y＜0
经过观察与比较，我们可以发现：
对于(1)，就是求一元二次方程x2－2x－3＝0的解，它们是x1＝－1，x2＝3，即x1＝－1或x2＝3时，y＝0.
二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴的交点坐标是(－1,0)与(3,0)．
对于(2)，不难看出，当－1＜ ( http: / / www.21cnjy.com )x＜3时，二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴的下方满足y＜0，也就是说，满足一元二次不等式x2－2x－3＜0的x的取值范围是－1＜x＜3.
我们知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图像有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
由于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( ( http: / / www.21cnjy.com )a＞0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ＝b2－4ac上分别为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况．相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况(如图2)．因此，对相应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集我们也分这三种情况进行讨论．
图2
(1)若Δ＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c(a＞0)与x轴有两个交点〔图(1)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2(x1＜x2)，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是{x|x1＜x＜x2}．
(2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个相等的实根x1＝x2＝－，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是，不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是.
(3)若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)无实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是R，不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是.
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 x1,2＝ x1＝x2＝－
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2}
这样根据二次函数图像及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，如本节开头的车速问题就很容易解决了．【来源：21cnj*y.co*m】
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 解不等式3x2＋5x－2＞0.
活动：本例目的是让学生熟悉怎 ( http: / / www.21cnjy.com )样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集．本题难度不大，但需要学生最终达到得心应手的熟练程度，因此需要学生多加练习．本例可让学生自己解决，充分暴露问题，然后教师一一纠正点拨．
解：方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝.
函数y＝3x2＋5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2,0)和(如图3)．
图3
观察图像可得，不等式的解集为.
点评：根据不等式3x2＋5x－2＞0的 ( http: / / www.21cnjy.com )解集，你能得出不等式3x2＋5x－2≥0的解集吗？与同学交流各自的结论，体会一元二次不等式与二次函数及二次方程的关系.[]
变式训练
1．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )．
A．M∩N＝ B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，∴M?N.∴M∩N＝M.
答案：B
2．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B等于( )．
A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3}
C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜3}
解析：由x2－5x＋6≤0，解得2≤x≤3.由|2x－1|＞3，解得x＜－1或x＞2，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：C
例2 求不等式9x2－6x＋1＞0的解集．
活动：教师引导学生观察不等式左边二次三 ( http: / / www.21cnjy.com )项式的特点，这是一个完全平方式，其值恒为非负，引导学生结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图像得出解集．21教育网
图4
解：方程9x2－6x＋1＝0有两个相同实数解：
x1＝x2＝.
函数y＝9x2－6x＋1的图像是开口向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(如图4)．
观察图像可得，不等式的解集是.
点评：提醒学生要规范书写，最后结果可以写成∪，但不能写成x∈或x≠.
变式训练
解不等式4x2＋4x＋1＜0.
解：∵4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2≥0，
由二次函数y＝4x2＋4x＋1的图像，可知原不等式的解集为.
例3 解不等式：x2－4x＋5＞0.
解：方程x2－4x＋5＝0无实数解，
函数y＝x2－4x＋5的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图5)．
图5
观察图像可得，不等式的解集为R.
思路2
例1 解不等式4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
活动：教师点拨学生先将不等式化为ax2＋bx＋c＞0的形式再求解．
解：原不等式整理，得9x2－12x＋4＞0.
∵Δ＝144－4×9×4＝0，方程9x2－12x＋4＝0的解是x1＝x2＝.
∴原不等式的解集是.
例2 不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a－b等于( )．
A．－4 B．14 C．－10 D．10
解析：由ax2＋bx＋2＞0的解集是，知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且知a＜0.www-2-1-cnjy-com
∴∴∴a－b＝－10.
答案：C
点评：已知不等式的解集求相应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题．运用根与系数的关系求解.
变式训练
若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相等，则实数a，b的值为( )．
A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9[]
C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2
解析：由|8x＋9|＜7，得－2＜x＜－，
∴－2，－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
故解得
答案：B
例3 解不等式≤.
活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况适时点拨，将不等式等价转化为一元二次不等式．2·1·c·n·j·y
解：原不等式等价于2x2－5x＋6≥x2＋x＋6，即x2－6x≥0.
解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}．
课本本节练习1 1,2,3.
1．由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟 ( http: / / www.21cnjy.com )通过二次函数图像解一元二次不等式的方法要领．点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想．【版权所有：21教育】
2．教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集．
课本习题3—2 A组6,7(1)(2)．
本教案设计体现新课标理念．由于本节内容的工具 ( http: / / www.21cnjy.com )性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．
由于本节教材内容有着丰富的几何背景， ( http: / / www.21cnjy.com )充分利用二次函数图像解一元二次不等式是新课标的特色．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图像，采取简洁明了的数形结合方法，本教案设计中充分体现了新课标的编写意图．
本教案设计突出二次函数的作用．一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会．必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图像，从图像上真正把握其内在本质．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程，尝试自己独立画出求解一元二次不等式求解的基本过程的流程图，由此导入新课．
思路2.让学生思考回答一元二次不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式、一元二次方程和二次函数的联系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，本节课进一步研究当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)的解法．
推进新课
①回忆一元二次不等式的解法，并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系？,
②回忆一般一元二次不等式的求解过程，你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗？
③当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0 ＜0 的解法又怎样呢？
活动：教师引导学生回顾一元二次不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )与一元二次方程、二次函数之间的关系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，一元二次不等式的求解步骤，即程序是：
(1)将二次项系数化为“＋”：y＝ax2＋bx＋c＞0(＜0)(a＞0)．
(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：
①Δ＞0时，求根x1＜x2，
②Δ＝0时，求根x1＝x2＝x0，
③Δ＜0时，方程无解，
(3)画出相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．
(4)写出解集．
为突出算法在数学中的应用，体会算法的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本思想及算法的重要性和有效性，可鼓励学生自行设计一个流程图，将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来．如图6.
图6
当a＜0时，不等式ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c＞0(＜0)的解法可在不等式的两边同乘以－1，化为a＞0，ax2＋bx＋c＞0(＜0)的形式，或先求出对应方程的根，结合二次函数图像写出它的解集．
讨论结果：①～③略．
例1 解不等式－3x2＋15x＞12.
活动：本例的二次项系数为负 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x2－15x＋12＜0.进一步化简得x2－5x＋4＜0，然后结合二次函数图像及一元二次方程即可求解．可由学生自己完成．
解：原不等式可化为x2－5x＋4＜0.
∵Δ＞0，且方程x2－5x＋4＝0的两根为x1＝1，x2＝4，∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}．
点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，并让学生用类似a＞0时的解题步骤求解.
变式训练
解不等式－x2＋5x＞6.
解：原不等式变形为x2－5x＋6＜0.
∵Δ＝(－5)2－4×1×6＝1＞0，
方程x2－5x＋6＝0的两根为x1＝2，x2＝3，
∴原不等式的解集为{x|2＜x＜3}.
例2 解不等式：－2x2＋x＋1＜0.
活动：引导学生在不等式的两边同乘以－1，转化为2x2－x－1＞0，或先求方程－2x2＋x＋1＝0的根，结合二次函数图像求解．
解法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1.
函数y＝－2x2＋x＋1的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)(如图7)．
图7
观察图像可得，不等式的解集为.
[]
图8
解法二：在不等式两边同乘以－1，可得2x2－x－1＞0.
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1.
画出函数y＝2x2－x－1的图像简图(如图8)．
观察图像，可得原不等式的解集为.
例3 解不等式：－x2＋4x－4＞0.
活动：本例与上例属于同一类型的不等式，可引导学生仿照上例解法二求解．
图9
解：把不等式化成x2－4x＋4＜0.
方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2.
画出函数y＝x2－4x＋4的图像简图(如图9)．
观察图像，得出原不等式的解集为.
点评：教师引导学生对一元二次不等式的解法进 ( http: / / www.21cnjy.com )行总结．一般地，对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．21·cn·jy·com
用算法的思想，对任意一个一元二次不等式，可按图10所示的流程图求解．
图10
并指导学生进一步归纳探究下列问题：
观察不等式(x＋3)(x－2)＞0，可以看出 ( http: / / www.21cnjy.com )这是一个一元二次不等式，即x2＋x－6＞0，按上述求解程序可得到这个不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．21*cnjy*com
另一方面，如果我们根据积的符号法则看不等式(x＋3)·(x－2)＞0，那么就可以把它化成两个一元一次不等式组，即
(1)或(2)
所以，不等式(x＋3)(x－2)＞0的解集就是上面不等式组(1)与(2)的解集的并集．
不等式组(1)的解集为(－∞，－3)，不等式组(2)的解集为(2，＋∞)．
故不等式(x＋3)(x－2)＞0的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
一般地，a≠0时，对形如a(x－x1)(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )x2)＞0或a(x－x1)(x－x2)＜0的一元二次不等式，可依据积的符号法则，把一元二次不等式化成一元一次不等式组来解．
课本本节练习2 1,2,3.
1．由学生自己顺理本节所学知识点，归纳整合一元二次不等式的解法．
2．教师进一步强调，一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”．我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例．
课本习题3—2 A组7(4)(5)．
1．本教案设计充分体现学生的主体 ( http: / / www.21cnjy.com )地位，引导学生积极参与课堂探究，使教学过程由封闭型向开放型转化．在教学过程中由教师到学生的单向交流，变成师生之间的多向交流，使教学成为一个探索、发现、创造的过程．
2．本教案重视了探究过程的操作，使教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com )设计更优化更合理．因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在教学概念公式的教学中往往采用“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题、新高考将束手无策．
3. 本教案设计“注意联系，注重概括， ( http: / / www.21cnjy.com )重视应用，提高学生数学能力”的侧重．我们常说“教学有法，教无定法，因材施教，贵在得法”，教学作为一门科学应当有规律可循，但是教学作为一门艺术，不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能．更重要的是应学习多种教学方法，博采众长，优化课堂环境，注重提高学生的数学素质．
(设计者：郑吉星)
第3课时
导入新课
思路1.(复习导入)教师出示一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表，点拨学生观察发现关于ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)恒成立问题的条件．由此引入新课．
思路2.(问题导入)我们解决x2 ( http: / / www.21cnjy.com )－5x＋4＞0这样的一元二次不等式的求解问题，如果题目中含有字母参数怎么办呢？如解这样的不等式： ax2－5x＋4＞0.在学生的思考探究中自然地引入新课．
推进新课
①回忆一元二次不等式的解法.
②你能快速解决以下不等式吗？
a.－x2＋5x>6；b.x2－4x＋4>0；c.x2＋2x＋3<0.
③观察一元二次方程的根，一元二次不等式的解集与二次函数的图像的关系 图表 ，你有什么独到的发现吗？
活动：教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程，体会数形结合的威力．对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”，得出相应方程的解，再在脑海中想象出其二次函数的图像，立即得到原不等式的解．如问题②中的几个不等式的解集分别为：a.{x|2＜x＜3}；b.{x|x∈R，x≠2}；c. .关键是深刻理解“三个二次”之间的关系．教师引导学生观察图表(多媒体课件演示)．
[课件]一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比如下表．
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1,2＝(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根
一元二次不等式的解集 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)[] {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0) {x|x1＜x＜x2}
观察上表，引导学生进一步观察出：ax2＋bx＋c＞0对一切x∈R都成立的条件为ax2＋bx＋c＜0对一切x∈R都成立的条件为【出处：21教育名师】
思路1
例1 设A，B分别是不等式3x2＋6≤19x与不等式－2x2＋3x＋5＞0的解集，试求A∩B，A∪B.
活动：本例是与集合有关的一元二次不等式的应用，点拨学生注意不论是解一元二次不等式，还是集合运算，都要充分利用数形结合的思想．
解：由3x2＋6≤19x，得3x2－19x＋6≤0.方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图像开口向上且与x轴有两个交点和(6,0)．
所以，原不等式的解集为A＝.
同理可得，不等式－2x2＋3x＋5＞0的解集为B＝.
所以A∩B＝，A∪B＝{x|－1＜x≤6}．
点评：正确解决本例的关键是准确熟练地写出一元二次不等式的解集．
例2 已知关于x的一元二次不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0的解集为R，求a的取值范围．
活动：原不等式的解集为R，即对一切实数 ( http: / / www.21cnjy.com )x不等式都成立，故必然有y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图像开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.
解：由题意，知要使原不等式的解集为R，必须
即a＜－.
∴a的取值范围是.
点评：本题若无“一元二次不等式”的条件，还应考虑a＝0的情况，但对本题讲a＝0时式子不恒成立．(想想为什么)
变式训练
若函数f(x)＝的定义域为R，求实数k的取值范围．
解：显然k＝0时满足．
而k＜0时不满足，
0＜k≤1.
综上k的取值范围是[0,1].
例3 解关于x的不等式：x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0.
活动：本例含有字母m，对不等式的解集产生影响．由于对应方程的两根为m，m＋1，且m＜m＋1，则根据二次函数图像不难写出解集．21教育名师原创作品
解：方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的解为x1＝m，x2＝m＋1，且知m＜m＋1.
二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m的图像开口向上，且与x轴有两个交点．
所以，不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0的解集为{x|m＜x＜m＋1}．
点评：充分利用“三个二次”之间的关系．
例4 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.
活动：本例对应的方程的两个根分别为－1，a，这里的字母a与－1的大小关系不能确定，因此需分类讨论．
解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
函数y＝x2＋(a－1)x－a的图像开口向上，所以
(1)当a＜－1时，原不等式的解集为(a，－1)；
(2)当a＝－1时，原不等式的解集为；
(3)当a＞－1时，原不等式的解集为(－1，a)．
点评：分类讨论思想是中学数学的重要思想，高考对此要求很高，在分类时要做到不重、不漏．
思路2
例1 解关于x的不等式x2－x－a(a－1)＞0.
活动：对应的一元二次方程有实数根1－a和a，不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论．21·世纪*教育网
(1)当最高次项的系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零．
(2)整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏．
解：原不等式可以化为(x＋a－1)(x－a)＞0，
若a＞－(a－1)，即a＞，则x＞a或a＜1－a.∴解集为.
若a＝－(a－1)，即a＝，则2＞0.∴解集为.
若a＜－(a－1)，即a＜，则x＜a或x＞1－a.∴解集为.
点评：解含参数的一元二次不等式，通 ( http: / / www.21cnjy.com )常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关．一般地，一元二次不等式的解集(以ax2＋bx＋c＞0为例)常与以下因素有关：(1)a；(2)Δ；(3)两根x1，x2的大小．其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1，x2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏．
例2 若关于x的方程22x＋2x·a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
活动：教师引导学生思考探究，因为2x ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，故问题等价于关于2x的二次方程有正根时，求实数a的取值范围．因而可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解．
解：设t＝2x，f(t)＝t2＋at＋a＋1，
问题转化为求函数f(t)在t轴正方向上至少有一个交点的条件，
所以f(0)＜0或
解得a＜－1或－1≤a≤2－2.
故所求a的取值范围是a≤2－2.
点评：注意换元法与转化法的运用，充分利用数形结合思想．
课本本节练习3 1,2,3,4.
1．由学生归纳总结本节是如何解决含有字母参数的不等式的求解方法的？需要注意哪些问题？怎样确定解题的切入点？
2．教师画龙点睛，总结本节课用到的不等式的基础知识，用到的分类讨论思想、化归思想、换元思想等．
1．课本习题3—2 B组1.
2．已知不等式x2＋5x＋m＞0的解集为{x|x＜－7或x＞2}，求实数m的值．(答案：m＝－14)
3．已知关于x的二次不等式px2＋px ( http: / / www.21cnjy.com )－4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围．(提示：由p＜0且Δ＜0，得p的取值范围是{p|－16＜p＜0})
4．若y＝ax2＋bx＋c经过(0，－6)点，且当－3≤x≤1时y≤0，求实数a，b，c的值．(答案：a＝2，b＝4，c＝－6)
1．本教案设计注重以学生为主体，改变学生学习方式，提高学习质量．为了发挥教学过程的整体教育功能，保持教学系统的最大活力，在教学中综合运用多种教学方法，形成良好的整体结构，发挥教学的最大效益．
2．本教案设计根据近几年 ( http: / / www.21cnjy.com )高考特点适当对例题、习题做了一些拓展，但严格控制了题目难度及题目数量，以大多数学生的接受水平作为参考依据．否则，在我们的教学中就有可能“穿新鞋走老路”．随意提高教学要求，对教学效果产生负面影响．
3．本教案设计没有单纯从教学内容出 ( http: / / www.21cnjy.com )发而进行设计，注重了对深层次的教学目的的考虑．这正是值得我们深思的问题，否则，我们的教学将只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考．
一、备选例题
【例1】关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．
A. B.
C. D.∪(0，＋∞)
解析：由m≠0且Δ＞0，得m＞－，∴选D.
答案：D
【例2】若不等式ax2＋5x＋b＞0的解集为，则a，b的值分别是______．
解析：由
答案：－6，－1
【例3】若方程x2－(k＋2)x＋4＝0有两负根，求k的取值范围．
解：由即解得解得k≤－6.
【例4】已知不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：若a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.当a＝1时，原不等式的解集为R，当a＝－1时，解集为；
若a2－1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，
必须即，解得－＜a＜1.
∴实数a的取值范围是∪{1}＝.
【例5】解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
解：化为(x－a2)(x－a)＞0，比较a与a2的大小：a2－a＝a(a－1)，令a(a－1)＝0，解得a＝0或1.将数轴分成三段．
当a＜0时，a＜a2，解得x＜a或x＞a2，
∴原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)；
当a＝0时，a2＝a，解得x≠0，∴原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当0＜a＜1时，a2＜a，解得x＜a2或x＞a，
∴原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)；
当a＝1时，a2＝a，解得x≠1，
∴原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
当a＞1时，a2＞a，解得x＜a或x＞a2，
∴原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)．
【例6】若ax2－2x＋a的值可取得一切正实数，求a的取值范围．
解：设f(x)＝ax2－2x＋a.
当a＝0时，f(x)＝－2x可取一切正实数；
当a＞0时，∵f(x)可以取得所有正实数，
∴抛物线与x轴必有公共点．∴Δ≥0，得0＜a≤1.
当a＜0时，抛物线开口向下，f(x)无法取得一切正实数，
故0≤a≤1为所求．
二、一元二次方程与数学家韦达
韦达，1540年出生在法 ( http: / / www.21cnjy.com )国东部的普瓦图的韦特奈．他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学家，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并作出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家．
在对西班牙的战争中，韦达曾为政府破 ( http: / / www.21cnjy.com )译敌军的密码．韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步．韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)．
韦达是第一个有意识地和系统地使用 ( http: / / www.21cnjy.com )字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进．他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作，是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用．他还写下了《数学典则》，1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》．这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学．主要著作还有《论方程的识别与修正》《分析五章》等．韦达的著作以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容．只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播．在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版．
韦达1603年卒于巴黎，享年63岁．由于韦达作出了许多重要贡献，成为16世纪法国最杰出的数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”．
三、中国在一元二次方程方面的成就
从《九章算术》卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就．
《九章算术》方程章首先解释正负术是 ( http: / / www.21cnjy.com )确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现更丰富了数的内容．我们古代的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种．一元二次方程是借用几何图形而得到证明．不定方程的出现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年．具有x3＋px2＋qx＝A和x3＋px2＝A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通《缉古算经》已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.11世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献．在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了．四元术是天元术发展的必然产物．级数是古老的东西，两千多年前的《周髀算经》和《九章算术》都谈到算术级数和几何级数.14世纪初，中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录.11世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法．历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的．内插法的计算，中国可上溯到6世纪的刘焯，并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算．
14世纪以前，属于代数方面 ( http: / / www.21cnjy.com )许多问题的研究，中国是先进国家之一．就是到十八九世纪由李锐(1773—1817)、汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的著作．2-1-c-n-j-y
(设计者：郑吉星)
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教学设计
2．2 一元二次不等式的应用
教学分析
一元二次不等式的应用非常广泛，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题，方程解的讨论，函数定义域、值域的确定等，都与不等式有着密切的关系．一元二次不等式在生产生活中也有广泛的应用．一元二次不等式的应用在教材上共安排了4个例题．前2个体现了一元二次不等式的解的情况与不等式的解之间的转化关系，以及分式不等式与整式不等式之间的转化．这两个例题均体现了一种形式之间的转化．由此向学生点明，在解数学题时转化的必要性，让学生体会转化的数学思想方法．第3个例题是简单的高次不等式，主要是试图让学生体会，如何将前面解一元二次不等式的数形结合的思想方法，用在解决一个没有见过的新的较复杂的不等式的求解中．既是一种思维上的创新，同时也是一种挑战．教学时要注重分析过程，从分析所显示的函数的各种信息中，想象出函数图像的轮廓，从而得出不等式的解．整个解题过程体现了一种方法的类比与转化，但在教学中应控制难度，只限于a≠0时形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＞0(＜0)的不等式．2-1-c-n-j-y
最后一个例题是一元二次不等式的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用题，有一定难度．主要是问题叙述文字较长，条件较多，一时难以把握．其关键是如何把文字语言转化成数学语言．教学时可以告诉学生，这个问题的分析过程具有典型意义，在今后对此类问题的解决中应当注意把一个大问题化成若干小问题的思维习惯，化整为零．在把实际问题中的文字语言转换成数学语言的同时，要注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所吓倒．
三维目标
1．围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合思想．
2．根据实数运算的符号法则，会将分式不等式与简单的高次不等式转化为与其等价的两个或多个不等式，同时注意分式不等式的同解变形．21·世纪*教育网
3．通过一元二次不等式的应用的学习，体会转化与归纳、数形结合思想的运用，体验数学的奥妙与数学美，激发学生的学习兴趣．www-2-1-cnjy-com
重点难点
教学重点：含字母参数的不等式及分式不等式与简单的高次不等式，一元二次不等式的实际应用．
教学难点：一元二次不等式的实际应用．
课时安排
1课时
[]
导入新课
思路1.(直接导入)上一小节中，我们讨论了一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次不等式的解法，本节课我们一起探究一元二次不等式在分式不等式、简单的高次不等式以及在实际问题中的应用．
思路2.(问题导入)由于本节安排的第一个例题(即课本例9)体现了一元二次方程的解的情况与不等式的解之间的转化关系，与前面学习的“三个二次”之间的关系类似．因此，可从学生探究该例引入新课． 21*cnjy*com
推进新课
①回忆一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系.
②如何根据实数运算的符号法则转化分式不等式？
活动：在解二次不等式一节里 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们已经知道，借助二次函数及其图像，可以把二次方程与二次不等式联系到一起，得到二次不等式的解．把这种关系推广就可以得到：对于函数y＝f(x)，函数图像在x轴上方〔即f(x)函数值大于0〕时，自变量的取值集合是不等式f(x)＞0的解集；函数图像在x轴下方〔即f(x)函数值小于0〕时，自变量的取值集合是不等式f(x)＜0的解集；函数图像与x轴相交〔即f(x)函数值等于0〕时，自变量的取值集合是方程f(x)＝0的解集．2·1·c·n·j·y
对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”得出其方程两根，再在脑海中想象出二次函数图像，便可得到原不等式的解．
解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种：
(1)＞0f(x)·g(x)＞0；
(2)＜0f(x)·g(x)＜0；
(3)≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0；
(4)≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.
分式不等式与简单的高次不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形．在等价变形时，要注意什么时候取交集，什么时候取并集．带等号的分式不等式，要注意分母不能为零．另外，在取交集、并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可避免出错．【来源：21cnj*y.co*m】
讨论结果：①～②略．[][]
例1 解下列不等式．
(1)≥0；(2)＜3.
活动：教师与学生一起探究，对这种分子 ( http: / / www.21cnjy.com )分母含x的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式求解．从而使问题化繁为简，化难为易．
解：(1)按商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式(x＋1)(x－3)≥0，但x≠3.
解这个不等式，可得x≤－1或x＞3，即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．
(2)不等式＜3可改写为－3＜0(不等式的右边为0)，
即＜0.
仿(1)，可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1.
所以，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
点评：教师引导学生认真反思本例的思想方法，领悟这种转化的应用，但要注意转化的等价性．同时提醒学生注意最后结果要写成集合或区间的形式.www.21-cn-jy.com
变式训练
1．若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝__________.[]【版权所有：21教育】
解析：由题意知4为因式x－a的根，则a＝4.
答案：4
2．不等式＞0的解集是__________．
解析：不等式＞0等价于(x＋1)(x－2)＞0.
解这个一元二次不等式得x＜－1或x＞2.
∴原不等式的解集是{x|x＜－1或x＞2}．
答案：{x|x＜－1或x＞2}
例2 解不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0.
活动：这是一个三次不等式，教师引导学生回 ( http: / / www.21cnjy.com )忆前面是如何利用数形结合的思想方法解一元二次不等式的．本例我们虽然没有见过，但可利用对函数图像的分析来解决这个问题．让学生探究函数图像的大致形状，由此写出不等式的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
解：设f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)．
(1)显然，y＝f(x)的图像与x轴的交点有三个，它们的坐标依次是(1,0)，(2,0)，(3,0)；
(2)函数y＝f(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间，它们依次为(－∞，1)，(1,2)，(2,3)，(3，＋∞)；【出处：21教育名师】
(3)当x＞3时，f(x)＞0.又函数y＝f(x)的图像是一条不间断的曲线，并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，由此知道y＝f(x)的函数值的符号如图1所示．
图1
变化规律很明显，从右到左在每个区间符号正负相间．
通过分析，知道不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0的解集为(1,2)∪(3，＋∞)．
点评：如果把函数f(x)图像与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点(1,0)，(2,0)，(3,0)形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么上述这种求解不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．21教育名师原创作品
例3 国家原计划以2 400元/ ( http: / / www.21cnjy.com )t的价格收购某种农产品m t．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.21·cn·jy·com
活动：解决这类实际问题，关键是把文字语言转换成数学语言：
(1)“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
(2)“收购量能增加2x个百分点”，这时
总收购量为m(1＋2x%) t，
总收购价为2 400m(1＋2x%)元；
(3)“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，
“税收总收入”≥2 400m×8%×78 %.
解：设税率调低后的“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8 %×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，[]
解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0＜x≤8，所以0＜x≤2为所求．
答：x的取值范围是0＜x≤2.
点评：本例难度较大，因此本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化，要学会这种方法．在今后对此类问题的解决中，注意把一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.21*cnjy*com
变式训练
某种商品原来定价为每件p元， ( http: / / www.21cnjy.com )每月将卖出n件．假若定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，而售货金额变成原来的z倍．若y＝x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．
解：依题意涨价后的售货金额为npz＝p·n·，
∴np＞np.
∵n＞0，p＞0，y＝x，
∴＞1.整理得x2－5x＜0，解这个一元二次不等式，得0＜x＜5.
又∵0＜x≤10，
∴0＜x＜5.故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.
1．设f(x)＝则不等式f(x)＞2的解集为( )．
A．(1,2)∪(3，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1,2)∪(，＋∞)
D．(1,2)
解析：∵f(x)＝
∴不等式f(x)＞2的解集由①或②解得．
解①得1＜x＜2，解②得x＞.
综上，不等式f(x)＞2的解集为(1,2)∪(，＋∞)．
答案：C
2．课本本节练习1 1～4.
1．由学生归纳整理本节所学的知识方法，整合求解分式不等式及简单高次不等式的思想方法，及化整为零解决实际问题的思维方法．21世纪教育网版权所有
2．教师进一步强调，本节为解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次不等式的最后一节，对本节体现的“三个二次问题”以及转化的思想方法、数形结合的思想方法，要深刻理解，牢牢掌握，并灵活地应用．
课本习题3—2 A组8，B组1,2,3,4.
1．本教案设计充分体现教为主导、学为 ( http: / / www.21cnjy.com )主体、思维训练为主线的新课标理念．教学过程开放，师生交流、学生交流的合作意识体现得很充分，整个教学过程成为一个探索、发现的过程．21教育网
2．本教案设计使教学过程便于操作，更 ( http: / / www.21cnjy.com )加优化合理，注重了学生的探究，注重了思想方法的凝练，体现了数学知识点的交汇，在知识交汇处设置问题，使问题成为课堂教学的中心，最大限度地训练学生的思维能力．21cnjy.com
3．本教案设计注意了“概括，应用，提高学生数学能力”的侧重，加强了因材施教，不足之处是利用现代信息技术的设计不够，教学时应侧重这方面的挖掘．
(设计者：郑吉星)
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