数学（北师大版）必修五教学设计：2.2　三角形中的几何计算

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教学设计
2　三角形中的几何计算
教学分析　　　　　
本节课是继学习了正弦定理、余弦定理之后安 ( http: / / www.21cnjy.com )排的一节课，可以说是对正弦定理、余弦定理的应用进行的小结课或习题课，为后面的实际应用举例奠定基础，因此本节课的学习具有承上启下的桥梁作用．在本节课的教学中，要用方程的思想作统帅，具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题．www.21-cn-jy.com
在本节课中，首先帮助学生回忆并用文字语言复 ( http: / / www.21cnjy.com )述出正弦定理和余弦定理，并指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析，以提高学生的思维层次．【版权所有：21教育】
本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解 ( http: / / www.21cnjy.com )斜三角形．而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系．通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题的状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．在教学中还要让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路．在练习与变式例题中同样牢牢抓住正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，用方程的思想指导思路．
正弦定理、余弦定理可以解决四类有关三角形的问题．为了把它们融入到学生的认知结构中，设计了变式例题，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力．同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理进行边角转化，转化的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于根据条件，结合图形，准确判断解的情况、灵活选用定理及公式．
三维目标　　　　　
1．通过回顾正弦定理、余弦 ( http: / / www.21cnjy.com )定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形．
2．善于利用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终．
3．通过本节课的探究，培养学生勇于探索 ( http: / / www.21cnjy.com )、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神．21cnjy.com
重点难点　　　　　
教学重点：灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算．
教学难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)让学生回顾正弦 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识，我们会探究出什么样的解题规律呢？由此展开新课．21·cn·jy·com
思路2.(直接导入)正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用．由此直接导入新课．【来源：21cnj*y.co*m】
推进新课　　　　　
①回忆正弦定理、余弦定理的表达式，并用文字语言叙述其内容.你能写出定理的哪些变式？
②解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？
活动：结合课件、幻灯等，教师可把学 ( http: / / www.21cnjy.com )生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么？各式中有几个量？有什么作用？用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等．可让学生填写下表中的相关内容：
解斜三角形时可用的定理和公式 适用类型 备注
余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos Ab2＝a2＋c2－2accos Bc2＝b2＋a2－2bacos C (1)已知三边[](2)已知两边及其夹角 类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理＝＝＝2R (3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解
三角形面积公式S＝bcsin A＝acsin B＝absin C (5)已知两边及其夹角
讨论结果：①②略．
[]
思路1
例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝acos C且△ABC的最大边长为12，最小内角的正弦值为.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带 ( http: / / www.21cnjy.com )动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件b＝acos C，这是本例中的关键条件．很显然，如果利用正弦定理实现边角转化，则有2Rsin B＝2Rsin Acos C．若利用余弦定理实现边角转化，则有b＝a·，两种转化策略都是我们常用的．常用的角的变换有＋＝－，2A＋2B＋2C＝2π，sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)，sin ＝cos ，cos ＝sin 等，三个内角的大小范围都不能超出(0°，180°)．
解：(1)方法一：∵b＝acos C，
∴由正弦定理，得sin B＝sin Acos C.
又∵sin B＝sin(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin Acos C，
即cos Asin C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，
∴cos A＝0，即A＝.
∴△ABC是A＝90°的直角三角形．
方法二：∵b＝acos C，
∴由余弦定理，得b＝a·，
2b2＝a2＋b2－c2，即a2＝b2＋c2.
由勾股定理的逆定理，知△ABC是A＝90°的直角三角形．
(2)∵△ABC的最大边长为12，由(1)知斜边a＝12.
又∵△ABC最小内角的正弦值为，
∴Rt△ABC的最短直角边长为12×＝4.
另一条直角边长为＝8，
∴S△ABC＝×4×8＝16.
点评：以三角形为载体，以三 ( http: / / www.21cnjy.com )角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向．因此要特别关注三角函数在解三角形时的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用．
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
2．正弦定理可以用来判断 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a，b，c分别用2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C来代替．
3．余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．
(1)已知三边，求三个角．
(2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当 ( http: / / www.21cnjy.com )等式a2＝b2＋c2－2bccos A中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cos A.
变式训练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos A＝.
(1)求sin 2＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解：(1)sin 2＋cos 2A＝＋cos 2A
＝＋2cos 2A－1
＝.
(2)∵cos A＝，
∴sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A得3＝×2c×，
解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.
例2 如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长．2-1-c-n-j-y
图1
活动：教师与学生一起探究，点拨学生找出相关的三角形．
解：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.
由正弦定理，得＝，
sin ∠ABC＝＝＝.
因为AD∥BC，
所以∠BAD＝180°－∠ABC，
于是sin ∠BAD＝sin ∠ABC＝.
同理，在△ABD中，AB＝5，sin ∠BAD＝，∠ADB＝45°，
解得BD＝.
答：BD的长为.
点评：找出相关的三角形后，关键要根据题目的条件与所求，选定运用哪个定理，达到优化解题过程，灵活解题的目的.www-2-1-cnjy-com
变式训练
在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________．
解析：由＝，知sin C＝.
若C＝60°，则△ABC是直角三角形，S△ABC＝AB×AC＝2；
若C＝120°，则∠A＝30°，S△ABC＝AC×AB·sin 30°＝.
答案：2或
例3 一次机器人足球比赛中，甲队1号机 ( http: / / www.21cnjy.com )器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动．如图2所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？21教育名师原创作品
图2
活动：机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为C点．利用速度建立AC与BC之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题．
解：设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上．
设BC＝x dm，由题意，CD＝2x dm.
AC＝AD－CD＝(17－2x)(dm)．
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，[]
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－2×4×(17－2x)cos 45°.
解得x1＝5 dm ，x2＝ dm.
所以AC＝17－2x＝7 dm或AC＝－ dm(不合题意，舍去)．
答：该机器人最快可在线段AD上离点A7 dm的点C处截住足球．
点评：解完本例后，要让学生反思体会本例中的方程思想．
思路2
例1 如图3，已知△ABC, BD为角B的平分线，求证： AB∶BC＝AD∶DC.
图3
活动：教师与学生一起探究．角B的平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式AB∶BC＝AD∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为＝，再根据相等角的正弦值相等，互补角的正弦值也相等即可证明结论．
证明：在△ABD内，利用正弦定理得＝，
即＝.
在△BCD内，利用正弦定理得＝，
即＝.
∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠DBC.
∴sin ∠ABD＝sin ∠DBC.
∵∠ADB＋∠BDC＝180°，
∴sin ∠ADB＝sin(180°－∠BDC)＝sin ∠BDC.
∴＝＝＝.∴＝.
点评：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
变式训练
如图4，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝，
图4
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．
解：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝4＋1－2×2×1×＝2，
∴AB＝.
(2)由cos C＝且0＜C＜π，得sin C＝＝.
由正弦定理，得＝，解得sin A＝＝.
∴cos A＝.由倍角公式得sin 2A＝2sin A·cos A＝，且cos 2A＝1－2sin 2A＝，
故sin(2A＋C)＝sin 2A·cos C＋cos 2A·sin C＝.
例2 如图5所示，已知⊙O的半径是1，点 ( http: / / www.21cnjy.com )C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆弧上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
图5
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；[]
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
活动：四边形OPDC可以分成△OPC与△PCD.S△OPC可用OP·OCsin θ表示；而求△PCD的面积关键在于求出边长PC，在△POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．21教育网
解：(1)在△POC中，由余弦定理，得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos θ＝5－4cos θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋(5－4cos θ)
＝2sin＋.
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
答：四边形OPDC面积的最大值为2＋.
点评：解决本例的关键是利用余弦定理建立三角函数模型．让学生解后反思，在读懂题意的基础上，认真观察图形，从图形中找出数量关系．2·1·c·n·j·y
例3 如图6，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠BCD＝75°，∠ACB＝∠BDC＝45°，DC＝，求：　　21*cnjy*com
图6
(1)AB的长；
(2)四边形ABCD的面积．
活动：本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用，结合三角形面积求解，难度不大，可让学生自己独立解决，体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用．
解：(1)因为∠BCD＝75°，∠ACB＝45°，所以∠ACD＝30°.
又因为∠BDC＝45°，
所以∠DAC＝180°－(75°＋ 45°＋ 30°)＝30°.所以AD＝DC＝.
在△BCD中，∠CBD＝180°－(75°＋ 45°)＝60°，
所以＝，BD ＝＝.
在△ABD中，AB2＝AD2＋ BD2－2×AD×BD×cos 75°＝ 5，
所以AB＝.
(2)S△ABD＝×AD×BD×sin 75°＝.
同理， S△BCD＝.
所以四边形ABCD的面积S＝.[]
点评：本例解答对运算能力提出了较高要求，教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”，养成规范答题的良好习惯．【出处：21教育名师】
课本本节练习．
教师与学生一起回顾本节课我们共同探究 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形中的几何计算问题，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题．养成具体问题具体分析地解决问题的良好思维习惯．21*cnjy*com
教师进一步点出，解三角形问题是确定线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角；解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他元素．正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素；余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素．
课本本节习题2—2　A组3,4,5,6，B组2,3.
本教案设计的思路是：通过一些典 ( http: / / www.21cnjy.com )型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系；由于解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动，因此突出了几何的作用．将几何图形、三角函数、向量等旧知识作为解斜三角形这一新知识、方法的生长点，让学生尽快进入“知识临近发展区”，提高了学生的探究能力．
本教案设计的教法是：活动、探究、发现、应用、再提高的探究式发现教学法，因为观察与实验是科学探究的基本技能之一，“探索是教学的生命线”，给学生提供探究的空间，设置恰当的问题背景，让学生成为真理的探索者和追求者，从而让课堂教学成为点燃学生智慧的火把，成为发现新事物，体验再发现、再创造的过程．
本教案设计重视与现代信息技术的有机结合，恰当地使用现代信息技术，发挥现代信息技术的优势，能帮助学生更好地认识和理解基本概念和基础知识的本质；通过现代信息技术，让学生从杂乱的静态中很快理出主线，从烦琐的运算中解脱出来，把更多的时间与精力放在探索、归纳与发现上．
一、正弦定理、余弦定理的课外探究
1．正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉， ( http: / / www.21cnjy.com )在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及三角形的其他问题中，也常会用到它们．两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决．
【例1】 已知a、b为△ABC的边，A，B分别是a，b的对角，且＝，求的值．
解：∵＝，∴＝.
又＝，∴＝.
于是，由合比定理得＝＝.
【例2】 已知△ABC中三边a，b，c所对的角分别是A，B，C，且2b＝a＋c.
求证：sin A＋sin C＝2sin B.
证明：∵a＋c＝2b，①
又＝＝，∴a＝，②
c＝.③
将②③代入①，得＋＝2b.
整理，得sin A＋sin C＝2sin B.
2．正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
【例3】 求sin 220°＋cos 280°＋sin 20°cos 80°的值．
解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin 20°sin 10°cos 150°，
∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°，10°，150°可看作一个三角形的三个内角．
设这三个内角所对的边依次是a，b，c，由余弦定理得a2＋b2－2abcos 150°＝c2.(*)
而由正弦定理知a＝2Rsin 20°，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2Rsin 10°，c＝2Rsin 150°，代入(*)式得sin 220°＋sin 210°－2sin 20°sin 10°cos 150°＝sin 2150°＝.∴原式＝.
3．构造正三角形
通常，我们使用标尺作正三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )．以标尺作正三角形，只需相异两点A，B，再配合工具即可．分别以A，B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，△ABC就是正三角形了．因为圆A中，AB＝AC(半径)；而且圆B中，BA＝BC(半径)，所以AB＝BA＝AC(参见图7)．
图7
如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢 ( http: / / www.21cnjy.com )？再者连标尺也没了，那么如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成．取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A，C点连成三角形(参见图8)，就是正三角形了．因为AC＝AB，又B点在中垂线上，所以BA＝BC.因此，AB＝BC＝CA.21·世纪*教育网
图8
二、备用习题
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)．
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
2．△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc，则A等于(　　)．
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．△ABC中，已知A＝60°，b＝19，S＝399，则a等于(　　)．
A．84 B．
C．48 D．
4．△ABC中，若＝，则该三角形一定是(　　)．
A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．△ABC中，tan A·tan B＜1，则该三角形一定是(　　)．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
6．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是(　　)．
A．0＜a≤3 B．≤a＜3
C．2＜a≤3 D．1≤a＜
7．在△ABC中，已知A＝120°，b＝3，c＝5，求：
(1)sin Bsin C；
(2)sin B＋sin C.
8．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且cos 〈，〉＝.
(1)求sin 2＋cos 2A的值；
(2)若a＝4，b＋c＝6，且b＜c，求b，c的值．
参考答案：1.A　2.C　3.D　4.D　5.B　6.B
7．解法一：(1)∵b＝3，c＝5，A＝120°，
∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋25－2×3×5×＝49.
∴a＝7.
由正弦定理得，
sin B＝＝＝，
sin C＝＝，
∴sin Bsin C＝.
(2)由(1)知，sin B＋sin C＝＝.
解法二：(1)由余弦定理，得a＝7，
由正弦定理得a＝2Rsin A(其中R为△ABC的外接圆半径)，得R＝＝，
∴sin B＝＝＝，sin C＝＝.
∴sin Bsin C＝.
(2)由(1)知，sin B＋sin C＝＝.
8．解：(1)由cos〈，〉＝得cos A＝.
∴sin 2＋cos 2A＝[1－cos (B＋C)]＋(2cos 2A－1)＝(1＋cos A)＋(2cos 2A－1)＝＋＝－.21世纪教育网版权所有
(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，即16＝36－bc.
∴bc＝8.
由∴
(设计者：李艳)
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