2023-2024学年安徽省合肥名卷、S10联盟九年级（上）月考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥名卷、S10联盟九年级（上）月考数学试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知某公司去年的营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.以下运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.若关于的方程无解，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或
7.如图在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式组有解，且关于的方程的解是正数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
9.三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本三种书都需要买，那么不同的购书方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10.如图，，点是上的动点，以、为边在同侧作等边三角形，、分别是、中点，最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知，那么 ______．
12.因式分解： ______．
13.已知，且，则关于自变量的一次函数的图象一定经过第______象限．
14.如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式组，并把它的解在数轴上表示出来．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
已知：如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，经过平移得到，其中点平移后对应点为、点平移后对应点为，点平移后和点重合．
在坐标系中画出，并写出和的坐标；
连接，则四边形的面积为______．
18.本小题分
关于的一元一次方程，其中是正整数．
当时，求方程的解；
若方程有正整数解，求的值．
19.本小题分
有名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门的招聘，到各部门报名的人数百分比见图，该企业各部门的录取率见图表部门录取率
到乙部门报名的人数有______人，乙部门的录取人数是______人，该企业的录取率为______；
如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的情况下，该企业的录取率将恰好增加，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？
20.本小题分
小明和小红沿着与铁路平行的方向相向而行，两人行走的速度均为米每秒，恰好一列火车从他们身旁驶过，火车与小明相向而行，从小明身边驶过用了秒；火车与小红同向而行，从小红身边驶过用了秒求火车的车身长度．
21.本小题分
如图，平分，，且，请确定的形状并说明理由．
22.本小题分
如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到求的函数表达式．
如图，在直角坐标系中，点，点，其中点位于第一象限内问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．
23.本小题分
如图，，，，连接，．
求证：；
当、、三点共线时如图，连接，若，求证：；
如图，连接，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故在实数，，，，，中，，是分数，属于有理数；，是有限小数，属于有理数；
，，这些是整数，属于有理数；
无理数有，，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．掌握无理数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：四千零七十万元，则此营业额可表示为元，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据算术平方根，立方根的性质，积的乘方，同底数幂相除法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了算术平方根，立方根的性质，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、，故能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：．
根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
在与中
≌，
，，即为等腰三角形，
，
又，
，
，
故选：．
根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．
此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握掌握相关基本性质．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式方程的解，解分式方程的有关知识，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．先去分母得到关于的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于的方程，从而求得的值．
【解答】
解：去分母得：．
整理得：．
当时，解得：，此时分式方程无解；
当时，分式方程有增根，增根为或
当时，，解得：；
当时，，解得：．
所以，当或或时，分式方程无解．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：如图，
在直线上，
，
，
设，，，，，
则有，
，
，
又，，，都是等腰直角三角形，
，
，
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，

，
又，
，
，
，
，
故选：．
设点，，，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组有解，
，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
方程的解是正数，
且，
解得：且，
且，
故选：．
先求出两个不等式的解集，根据不等式组有解得出，根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解是正数和分式方程的分母得出且，再求出答案即可．
本题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组等知识点，能求出和方程的解是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设元的本，元的本，则元的本，
依题意得：，
整理，得
．
当时，，
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
所以共种．
故选：．
设元的本，元的本，则元的本，根据“用元购买上述图书”列出方程，并求得其正整数解即可．
本题考查了二元一次方程的应用．此题是一道紧密联系生活实际的题，二元一次方程整数解的应用，根据未知数的实际意义求其正整数解是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，是等边三角形，点是的中点，
，，
，
设，则，
，
，
点是的中点，
，
，
，
当时，有最小值，
有最小值，
故选：．
如图所示，连接，根据等边三角形的性质得到，，进而推出，设，则，，利用勾股定理得到，则，利用二次函数的性质求出的最小值，即可求出的到最小值．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】
【解析】解：，
．
．
故答案为：．
由可得，将所求分式转化为，代入计算即可．
本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
前三项组，先利用十字相乘法分解，把看成一个整体，再一次利用十字相乘法分解．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的十字相乘法是解决本题的关键．
13.【答案】一、二
【解析】解：由，
当，；
当，；
由，得，
所以，；
则一次函数为或．
过第、、象限；
过第、、象限，
所以一次函数的图象一定经过第、象限．
故答案为一、二．
由，当，；当，；由，得，则，，这样得到或，再利用一次函数的性质可知都过第、象限．
熟练掌握一次函数的性质．决定函数的增减性，决定图象与轴的交点位置；熟练掌握比例的性质，本题要分类讨论；
掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴，作轴，连接，
点，点的坐标为，
，，，
，
在中，，
将线段绕点顺时针旋转到线段，
是等边三角形，
，
在中，，
在中，，
，
，
化简变形得：，
解得：或舍去，
．
故答案为：．
利用勾股定理解得、的长度，再根据线段的和差得到方程，进而解得的值．
本题考查了直角坐标系中的旋转变化，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：解不等式得：；
解不等式得：；
原不等式组解集为；
把不等式组的解集在数轴上如下：
．
【解析】解出每个不等式，再取公共解集，最后把不等式组的解集在数轴上．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
17.【答案】
【解析】解：根据点平移到点规律可知，先向右平移个单位再向上平移平移个单位，找出对应，，连接如下图
由图可知，；
构造如下图所示矩形，
四边形的面积为：
．
故答案为：．
根据点平移到点规律可知，先向右平移个单位再向上平移平移个单位，找出对应点连接即可得到答案；
构造矩形计算，矩形面积减去个三角形面积即可得到答案．
本题主要考查直角坐标系中图形平移及不规则图形面积求解，解题关键是点平移规律总结．
18.【答案】解：当时，原方程即为．
移项，去分母，得．
移项，合并同类项，得 ．
系数化为，得．
所以当时，方程的解是．
去分母，得 ．
移项，合并同类项，得 ．
系数化为，得．
因为是正整数，方程有正整数解，
所以．
【解析】把代入方程，然后解方程即可；
解关于的方程得到：，然后根据是正整数来求的值．
本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
19.【答案】；；；
设有人从甲部门改到丙部门报名，
则：，
化简得：，
．
有人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加的录取率．
【解析】解：到乙部门报名的人数：人，
乙部门的录取人数：人，
企业的录取率：；
设有人从甲部门改到丙部门报名，
则：，
化简得：，
．
有人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加的录取率．
总人数为人，甲、丙分别占和，则乙占，所以到乙部门报名人数为，则可根据部门录取率公式求得乙录取人数，算出各部门录取人数之和除以总人数，则可求得该企业的录取率；
设有人从甲部门改到丙部门报名，根据从甲部门改到丙部门的总人数总人数和企业的录取率加增加列一元一次方程求解．
本题考查扇形统计图及相关计算．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.【答案】解：设火车的车身长度为米，
根据题意得：，
解得：．
答：火车的车身长度为米．
【解析】设火车的车身长度为米，利用速度路程时间，结合火车的速度不变，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21.【答案】解：是等腰三角形，理由如下：
设，
，
，
，
平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】根据角平分线定义及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
此题考查了等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：直线：与轴交于点，与轴交于点，
、，
如图，过点作交直线于点，过点作轴于，
，，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
点坐标为，
设的解析式为，将，点坐标代入，得，
解得，
的函数表达式为；
点，
点是直线上一点，
当点在下方时，如图，
作轴于点，作于点，过点作轴，分别交轴和直线于点、．
同理得≌，
，即，
解得；
当点在线段上方时，如图，
作轴于点，过点作轴，分别交轴和直线于点、．
则，．
在和中，同理可证≌，
，即，
解得；
综上可知，、、能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或．
【解析】根据自变量与函数值的对应关系，可得、点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得，的长，根据待定系数法，可得的解析式；
根据全等三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，要分类讨论，以防遗漏．
23.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图，同得：≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，
，
；
如图，过点作于点，于点，
则，
同得：≌，
，
在和中，
，
≌，
，
于点，于点，
平分，
，
，
，
，
，
．
【解析】证明≌，得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论；
同得≌，则，再证明≌，得，然后证明为等边三角形，得，即可得出结论；
过点作于点，于点，同得≌，则，再证明≌，得，进而证明平分，则，然后证明，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质．等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的判定以及角平分线的判定等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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