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教学设计
2．1 等差数列
[]
教学分析
本节课将探究一类特殊的数列——等差数列． ( http: / / www.21cnjy.com )本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式进行有关计算．本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力．结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察—分析概括—师生互动，形成概念—启发引导，演绎结论—拓展开放，巩固提高．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图像认识等差数列的性质．让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图像与通项公式的关系解决某些问题．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究．在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．
在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调 ( http: / / www.21cnjy.com )动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．www.21-cn-jy.com
数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点 ( http: / / www.21cnjy.com )的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫．教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列在将各知识沟通方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材．
由于本章所蕴涵的数学思想十 ( http: / / www.21cnjy.com )分丰富，教材时刻注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，方程或方程组的思想也体现得较为充分．不少的例题、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列，这类问题一般都要通过列出方程或方程组，然后求解．【来源：21·世纪·教育·网】
三维目标
1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．www-2-1-cnjy-com
2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系． 21*cnjy*com
3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．
重点难点
教学重点：等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．
教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的3个实例，不知不觉中就已经进入了新课的学习．
思路2.(类比导入)教师首先引导学 ( http: / / www.21cnjy.com )生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课．
推进新课
1 回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？
2 阅读教材中的 1 2 3 3个背景实例，熟悉生活中常见的现象，写出由3个实例所得到的数列.
3 观察数列①②③，它们有什么共同特点？
4 根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？
5 什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字是什么？
6 数列①②③存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？
7 怎样推导等差数列的通项公式？
活动：教师引导学生回忆上节课所学的 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的概念、通项公式以及数列的函数特性，然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：[]
①38,40,42,44,46，…；
②25,24，24,23，23,22，22,21，21；
③6,10,14.
这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数 ( http: / / www.21cnjy.com )列．观察这3个数列发现，数列①为无穷数列，其变化规律是：从第2项起，每一项与前一项的差都是2；数列②为有穷数列，其变化规律是：从第2项起，每一项与前一项的差都是－；数列③共3项也有类似变化规律．也就是，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．
至此学生会认识到，具备这个 ( http: / / www.21cnjy.com )特征的数列模型在生活中有很多，如堆放钢管的数列为：100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．
以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)．
这就是我们这节课要研究的主要内容．教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．
等差数列的定义：一般地， ( http: / / www.21cnjy.com )如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．
教师引导学生理解这个定义：这里公差d一 ( http: / / www.21cnjy.com )定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因．显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为2，－，4，即数列①的公差d＝2，数列②的公差d＝－，数列③的公差d＝4.
教师进一步引导学生分析等差数列定义中的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第2项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．
教师进一步引导学生探究数列①②③的 ( http: / / www.21cnjy.com )通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①an＝2n＋36，②an＝－n＋，③an＝4n＋2.
以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在 ( http: / / www.21cnjy.com )求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性．教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，an，…，根据等差数列的定义都有：
a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
所以a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.
…
至此规律就呼之欲出了，可让学生自己猜 ( http: / / www.21cnjy.com )想出等差数列的通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用及体验成功的愉悦．猜想出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识．
教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它．数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为“数学皇冠上的明珠”，对于它的证明中国已处于世界领先地位．很多著名的数学结论都是从猜想开始的．但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新发现．
教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如：
方法一(迭加法)：∵{an}是等差数列，
∴an－an－1＝d，
an－1－an－2＝d，
an－2－an－3＝d，
…
a2－a1＝d.
两边分别相加，得
an－a1＝(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d，
＝an－2＋d＋d
＝an－2＋2d
＝an－3＋d＋2d
＝an－3＋3d
…
＝a1＋(n－1)d.
∴an＝a1＋(n－1)d.
这就是说：若一个等差数列的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是
.
讨论结果：(1)～(7)略．
思路1
例1 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学 ( http: / / www.21cnjy.com )生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于an，a1，d，n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作(1)的逆向问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项；否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨．
解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意，知本题是要回答是否存在正整数n，使得－401＝－4n－1成立．解这个关于n的方程，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.
变式训练
1.求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．
活动：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项．
解：根据题意可知a1＝3，d＝7－3＝4.
∴该数列的通项公式为an＝3＋(n－1)×4，
即an＝4n－1(n≥1，n∈N＋)．
∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.
点评：关键是求出等差数列的通项公式．
2．求等差数列10,8,6，…的第20项．
解：根据题意可知a1＝10，d＝8－10＝－2.
∴该数列的通项公式为an＝10＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋12.∴a20＝－2×20＋12＝－28.
点评：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.
例2 判断下面数列是否为等差数列．
(1)an＝2n－1；(2)an＝(－1)n.
活动：教师引导学生探究，要判断 ( http: / / www.21cnjy.com )一个数列是等差数列，根据定义，需说明从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数．只要说明：对于数列{an}，若an＋1－an＝d(d是与n无关的常数)即可，这是判断一个数列是等差数列的常用方法．
解：(1)由通项，知该数列为1,3,5,7，…
由an＝2n－1，n∈N＋，知an＋1＝2(n＋1)－1，于是
an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2.
由n的任意性知，这个数列是等差数列．
(2)由通项an＝(－1)n，可知该数列为
－1,1，－1,1，…
a2－a1＝1－(－1)＝2，
a3－a2＝－1－1＝－2.
由于a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列．
点评：教材安排本例的目的是让学生深刻理解等差数列的定义．对学生探究时出现的an－an－1的情况，在对学生给予鼓励的同时，应让学生明确，这里的n≥2，n∈N＋.
变式训练
已知数列的通项公式an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
解：∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，
∴{an}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.
点评：该训练题的目的是进一步熟悉例2的 ( http: / / www.21cnjy.com )内容．需要向学生强调，若用an－an－1＝d，则必须强调n≥2且n∈N＋这一前提条件，若用an＋1－an＝d，则可不对n进行限制.
例3 已知等差数列{an}，a1＝1，d＝，求通项an.
活动：教材安排本例的目的主要是熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．本例难度较小，可让学生自己独立完成．
解：根据等差数列的通项公式直接写出通项即可．
an＝1＋(n－1)×＝n－＋1.
思路2
例1 (1)求等差数列9,5,1，…的第10项；
(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.
解：(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，得
an＝9＋(n－1)(－4)＝13－4n.
当n＝10时，a10＝13－4×10＝－27.
(2)由an＝4n－3知，a1＝4×1－3＝1，
且d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4，
所以等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.
例2 已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式．
活动：本例是一道概念性很强的基础题，可让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生自己探究，充分发现通项公式与方程之间的联系．对有困难的学生，教师给予恰当点拨，指出等差数列的通项公式，其实就是一个关于a1，an，d，n(有3个独立的量)的方程．
解：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
由a5＝a1＋4d＝－20，a20＝a1＋19d＝－35，
可得一个以a1和d为未知数的二元一次方程组解这个方程组得a1＝－16，d＝－1.
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n.
点评：通过本例让学生体会方程思想和通项公式的结合，用方程思想解决数列问题是本章的一大特色.
变式训练
等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )．
A．an＝2n－2(n∈N＋)
B．an＝2n＋4(n∈N＋)
C．an＝－2n＋12(n∈N＋)
D．an＝－2n＋10(n∈N＋)
解析：由已知可得a2＝6，a4＝2，解关于a1，d组成的方程组可得a1＝8，d＝－2.∴an＝－2n＋10.
答案：D[]
例3 一个等差数列的首项为，公差d＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d的取值范围．
活动：教师引导学生观察题意， ( http: / / www.21cnjy.com )思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a10＞1呢？d＞0的条件又说明什么？教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不需怕学生出错．21·世纪*教育网
解：∵d＞0，设等差数列为{an}，则有a1＜a2＜a3＜…＜a9＜a10＜a11＜….
由题意，得
即
解得＜d≤.
点评：对于本例，学生很容易解题不完整，解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解.2·1·c·n·j·y
变式训练
在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋(n∈N＋)，求a50.
解：已知条件可化为－＝(n∈N＋)．
由等差数列的定义，知是首项为＝1，公差为d＝的等差数列．
∴＝1＋(50－1)×＝.
∴a50＝.
课本本节练习1 1,2,3.
1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？
2．教师进一步集中强调，本节学习的重点 ( http: / / www.21cnjy.com )内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．
课本习题1—2 A组4,5.
本教案设计突出了重点概念的教学，突出了 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列的定义和对通项公式的认识与应用．等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性，也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列、解决相关问题的前提条件．通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具．
本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接 ( http: / / www.21cnjy.com )轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法；在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．
本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解 ( http: / / www.21cnjy.com )、多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增．
(设计者：朱桂花)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)上一节课我们研究 ( http: / / www.21cnjy.com )了数列中的一个重要概念——等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子．接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现吗？类比一次函数，对通项an与n的关系有什么发现吗？
思路2.(直接导入)教师先引导学生回顾 ( http: / / www.21cnjy.com )上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，直接让学生从函数的角度探究通项公式，由此而展开新课．
推进新课
①请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？
②等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
③什么是等差中项？怎样求等差中项？
④根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？
活动：借助课件，教师引导学生先回忆等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)，这个数列就叫作等差数列，这个常数就叫作等差数列的公差(通常用字母“d”表示)．
下面我们从函数角度研究等差数列{an}．
由an＝f(n)＝a1＋(n－1) ( http: / / www.21cnjy.com )d＝dn＋(a1－d)，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d＝0)，点(n，an)在一条直线上，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d＞0时，{an}为递增数列〔图1(1)〕；
当d＜0时，{an}为递减数列〔图1(2)〕；
当d＝0时，{an}为常数列〔图1(3)〕．
图1
接下来教师指导学生阅读课本中等差中项 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念，引导学生探究：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？
由等差数列定义可得A－a＝b－A，即A＝.
反之，若A＝，则A－a＝b－A.
由此可以得A＝a，A，b成等差数列．
由此我们得出等差中项的概念：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．
如数列：1,3,5,7,9,11,13…中，5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A＝a＋b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列．
根据等差中项的概念我们来探究这样一个问 ( http: / / www.21cnjy.com )题：如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，…中，我们知道2a5＝a3＋a7＝a1＋a9＝a2＋a8，那么你能发现什么规律呢？再验证一下，结果有a2＋a10＝a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6.由此我们猜想这个规律可推广到一般情况，即在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来，没有严格证明不能说它就一定是正确的．让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？只要运用通项公式加以转化即可．设首项为a1，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d.
因为m＋n＝p＋q，所以上面两式的右边相等，所以am＋an＝ap＋aq.
由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则上面两式的右边相等，所以am＋an＝ap＋aq.同样地，我们还有：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.这也是等差中项的内容．21教育网
我们自然会想到由am＋an＝ap＋aq能不能推出m＋n＝p＋q呢？举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立．
由此我们还进一步推出an＋1－an＝d＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，这也是证明等差数列的常用方法．
同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可．
讨论结果：①～②略．
③如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝.
④得到两个重要结论：
在数列{an}中，若2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则{an}是等差数列；
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
思路1
例1 在等差数列{an}中，若a1＋a6＝9，a4＝7，求a3，a9.
活动：本例是一道基本量运算题 ( http: / / www.21cnjy.com )，运用方程思想可由已知条件求出a1，d，进而求出通项公式an，则a3，a9不难求出．应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系．
解：由已知，得
解得
∴通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－8＋5(n－1)＝5n－13.
∴a3＝2，a9＝32.
点评：本例解法是数列问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如a1＋a6＝a4＋a3＝9.
∴a3＝9－a4＝9－7＝2.
由此可得d＝a4－a3＝7－2＝5.
∴a9＝a4＋5d＝32.
这种解法很巧妙，技巧性强，需对等差数列及重要结论有深刻的理解.
变式训练
1．已知在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6等于( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由a1＋a3＋a5＋a7＝4知，4a4＝4，即a4＝1.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝3.
答案：A
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于…( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：∵a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13.
∵a1＝2，∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.
答案：B
例2 梯子共有5级，从上往下数第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{an}，求第2,3,4级的宽度．2-1-c-n-j-y
解法1：依题意，a1＝35，a5＝43，由等差数列的通项公式，得公差d＝＝2，
因此a2＝37，a3＝39，a4＝41.
解法2：此等差数列共5项，a3是a1与a5的等差中项，因此a3＝＝39.
又因为a2是a1与a3的等差中项，a4是a3与a5的等差中项，所以a2＝＝37，a4＝＝41.
答：梯子第2,3,4级的宽度分别为37 cm,39 cm,41 cm.
变式训练
夏季高山上气温从山脚起每升高100 m，降 ( http: / / www.21cnjy.com )低0.7 ℃.已知山顶气温是14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )．21世纪教育网版权所有
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
解析：依题意知14.1＝26－(n－1)×0.7，解得n＝18.故山高应为1 700 m.
答案：C
思路2
例1 已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图像；
(3)判断这个数列的单调性．
活动：教师引导学生从等差数列通项公式的几何意 ( http: / / www.21cnjy.com )义上看，不难得出题目中的条件实际上是：在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3＝5.这样本例就化归为上节学过的问题了．本例可放手让学生自己探究完成．【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点，
所以a1＝1，a3＝5.
由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，
解得d＝2，
于是an＝2n－1.
(2)图像是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图2所示．
图2
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
点评：教材设置本例的目的在于让学生体会等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的通项与一次函数的关系，强化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程思想，解完本例后，要让学生领悟反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值．
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
活动：教师引导学生从不同角度 ( http: / / www.21cnjy.com )加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项；二是利用等差中项加以处理．让学生自己去探究，教师不要给予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示．
解：(方法一)设这些数组成的等差数列为{an}，由已知，a1＝－1，a5＝7，
∴7＝－1＋(5－1)d，即d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
(方法二)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1,7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c是b,7的等差中项，即b＝＝3，a＝＝1，c＝＝5.
∴所求数列为－1,1,3,5,7.
点评：通过此题可以看出，应多角度思考，多角度观察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培养学生求异发散的思维能力.
变式训练
在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于( )．
A．－ B. C. D．5
解析：设bn＝，则b3＝，b7＝.
因为是等差数列，可求得公差d＝，
所以b11＝b7＋(11－7)d＝，即a11＝－1＝.
答案：B
例3 一个木制梯形架的上、下两 ( http: / / www.21cnjy.com )底边分别为33 cm,75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架中间各级的宽度．
活动：这是一道实际应用题，教师引导学生先建立数学模型．
解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为 ( http: / / www.21cnjy.com ){an}，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列．依题意有a1＝33 cm，a7＝75 cm.
现要求a2，a3，…，a6，即中间5层的宽度．
d＝＝＝7(cm)．
a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，
a4＝47＋7＝54(cm)，a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)．
答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm.
点评：教材设置本例，意在反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在．
课本本节练习2 1,2,3,4.
1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧知识来获取新知识的？你在这节课里最大的收获是什么？
2．教师进一步画龙点睛，本节课我们进一步探究了等差数列通项与一次函数的联系，探究了等差数列的一些性质．21·cn·jy·com
课本习题1—2 A组9，B组1.
本教案是根据新课程标准、学生的认知 ( http: / / www.21cnjy.com )特点而设计的，设计的意图是倡导自主学习、鼓励探究．在上节课对通项公式的归纳、猜想的基础上，继续对等差数列进行这方面的探究．
本教案除了安排教材上的例题外，还 ( http: / / www.21cnjy.com )针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的例题及变式训练．为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备选例题及备用习题，以开阔学生的视野．21教育名师原创作品
本教案的设计意图还在于加强数列与函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )联系．这不仅有利于知识的融会贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，让学生体会到数学是有趣的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人振奋的，借此激发学生的数学学习兴趣．21*cnjy*com
一、备选例题
【例1】 已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.
解：由等差数列的通项公式可知an＝a1＋(n－1)d，
am＝a1＋(m－1)d.
两式相减，得an－am＝(n－m)d，
所以an＝am＋(n－m)d.
【例2】 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，所以＝＋，化简得2ac＝b(a＋c)，所以有
＋＝＝＝＝＝＝2·.
因此，，也成等差数列．[]
【例3】 设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝35，b1＝75，a2＋b2＝100，求数列{an＋bn}的第37项的值．【出处：21教育名师】
分析：由数列{an}，{bn}都是等差数列，可得{an＋bn}是等差数列，故可求出数列{an＋bn}的公差和通项．
解：设数列{an}，{bn}的公差 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2为常数，所以可得{an＋bn}是等差数列．设其公差为d，则公差d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(35＋75)＝－10.因而a37＋b37＝110－10×(37－1)＝－250.
所以数列{an＋bn}的第37项的值为－250.
点评：若一个数列未告诉我们是等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an＝a1＋(n－1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列．
二、备用习题
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )．
A．15 B．30 C．31 D．64
2．在数列{an}中，3an＋1＝3an＋2(n∈N＋)，且a2＋a4＋a7＋a9＝20，则a10的值为( )．
A．5 B．7 C．8 D．10
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为( )．
A．6 B．12 C．24 D．48
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于( )．
A．1 B. C. D.
5．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝__________.
6．已知a，b，c成等差数列，且a，b，c三数之和为15，若a2，b2＋9，c2也成等差数列，求a，b，c.
7．设，，成等差数列，求证：a2，b2，c2也成等差数列．
8．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
参考答案：
1．A 方法一：∵a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝15.
方法二：∵数列{an}是等差数列，∴a7＋a9＝2a8.∴a8＝8.
又∵a4，a8，a12成等差数列，
∴公差d＝a8－a4＝7.
∴a12＝a8＋d＝8＋7＝15.
2．C 由已知得an＋1－an＝，
∴{an}是首项为a1，公差d＝的等差数列，
a2＋a4＋a7＋a9＝4a1＋18d＝20，
解得a1＝2.
∴a10＝2＋(10－1)＝8.
3．D ∵a1＋a15＝2a8，
∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝120.
∴a8＝24.
∴3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝2a8＝48.
4．C 设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，[]
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴d＝.
而方程x2－2x＋m＝0中的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0中的两根之和也是2，
∴a1＝，a4＝是一个方程的两个根，
a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴m＝，n＝或m＝，n＝.∴|m－n|＝.
5．－49
6．解：由已知得解之，得或
7．证明：由已知得＋＝2·，化简得a2＋c2＝2b2，
∴a2，b2，c2成等差数列．
8．解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则由题设，得
解得或
∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
三、中国古代的等差数列
等差数列是一个古老的数学课题．一个数列从第2项起，后项减去前项所得的差是一个相同的常数，则称此数列为等差数列．21cnjy.com
在数学发展的早期已有许多人研究过数列这 ( http: / / www.21cnjy.com )一课题，特别是等差数列．例如早在公元前2 700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题．其中有一个问题大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目．现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？
在我国公元5世纪写成的《张丘建算经》中，通过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤．比如书中第23题(用现代语叙述)：【版权所有：21教育】
(1)有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
这是一个已知首项(a1) ( http: / / www.21cnjy.com )、末项(an)以及项数(n)求总数(Sn)的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数．它相当于现今代数里的求和公式：Sn＝(a1＋an)·(下一课时将学到)．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？
这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是d＝.
等价于现在的求和公式：Sn＝n·(下一课时将学到)．
书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一 ( http: / / www.21cnjy.com )人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给．给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数有多少？
这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及n项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的解法是n＝.
我国自张丘建之后，对等差 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究．在北宋沈括(1031～1095)的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法．
垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积．
垛积术也就是高阶等差级数求和．我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果．
《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决．
公元5世纪末的《张丘建算经》给出了等差数列求和公式：
S＝n(a1＋an)与求公差的公式：d＝.
南宋数学家杨辉丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如
S＝12＋22＋32＋…＋n2＝(n＋1)(2n＋1)，
S＝1＋3＋6＋10＋…＋＝n(n＋1)(n＋2)
之类的垛积公式．
北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图3)的求和公式：
图3
S＝[(2b＋d)a＋(2d＋b)c]＋(c－a)．
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《 ( http: / / www.21cnjy.com )算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式．朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作．
(设计者：朱桂花)
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教学设计
2．2 等差数列的前n项和
教学分析
本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习 ( http: / / www.21cnjy.com )了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题．等差数列求和公式的推导是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．2-1-c-n-j-y
第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成．通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用．
在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知 ( http: / / www.21cnjy.com )识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思来认识和理解等差数列的求和内容．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识．
三维目标
1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值．
2．学会常用的数学方法和体现出 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再 ( http: / / www.21cnjy.com )一次感受到数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．
重点难点
教学重点：掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．
教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(情境导入)我们在 ( http: / / www.21cnjy.com )日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有多少根钢管？求图2共有多少朵小花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花的朵数，那么你怎样求呢？有没有更好的方法？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．
图1 图2
思路2.(事例导入)关于“ ( http: / / www.21cnjy.com )加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1 000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1 000＋2 000＝3 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2 100(元)，总数也是3 000元．但到第三年，第一种方案可得1 000＋2 000＋3 000＝6 000(元)，第二种方案则为300＋600＋900＋1 200＋1 500＋1 800＝6 300(元)，比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．
以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．
推进新课
[]
①教师出示幻灯片投影1.
印度泰姬陵(如图3)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．【来源：21cnj*y.co*m】
图3
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝． ( http: / / www.21cnjy.com )传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如图4)，奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
图4
②教师出示幻灯片投影2.
高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出一道题目：1＋2＋…＋100＝？”21·cn·jy·com
图5
过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1＋2＋3＋…＋100＝5 050.”
你知道高斯是如何算出答案的吗？
③根据问题①②，你能探究出等差数列的求和公式吗？
④等差数列的前n项和公式有什么结构特征？
⑤怎样运用这两个公式解决数列求和问题？
活动：教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题①，另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为“数学王子”的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习．实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法，也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5 050了．
高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题．
现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝 ( http: / / www.21cnjy.com )中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到图6，则图6中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就正好首尾配成对了．
图6
高斯的这种“首尾配对”的算法适用于项数是偶数的数列，我们是否有简单的方法来解决上面这个问题呢？
我们发现用几何的方法，将这个全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的颗数均为22，共21行，则三角形中的宝石颗数就是.
这种思想方法用图形来说明就更清楚．在图6上拼一个倒过来的图形(如图7)，就成为各行有相同个数的平行四边形，计算这个平行四边形图案中宝石的颗数就很容易了．
图7
这种方法不需分项数为奇数、偶数的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：
1＋2＋3＋…＋21，
21＋20＋19＋…＋1，
将上述两式对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)．
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．
探究了以上两个实际问题的求和，学生 ( http: / / www.21cnjy.com )对数列求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程，学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的体现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n的问题，得到如下算式：www.21-cn-jy.com
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n－1 ＋ n
n ＋ n－1 ＋ n－2 ＋ … ＋ 2 ＋ 1
————————————————————————————————
(n＋1) ＋ (n＋1) ＋ (n＋1) ＋ … ＋ (n＋1) ＋ (n＋1)
可知1＋2＋3＋…＋n＝.
再进一步探究，等差数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}的前n项和的问题，让学生明白Sn就表示{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，根据倒序相加法可得如下算式：
Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an，
Sn ＝ an ＋ an－1 ＋ an－2 ＋ … ＋ a1，
——————————————————————————————————
2Sn ＝ (a1＋an) ＋ (a2＋an－1) ＋ (a3＋an－2) ＋ … ＋ (an＋a1).
根据上节课等差数列的性质有：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1.
所以2Sn＝n(a1＋an)．由此可得等差数列{an}的前n项和公式：
(1)
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半．(如图8)
图8
将等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差数列{an}的前n项和的另一个公式：
(2)
特别地，当a1＝1，d＝1时，n个连续正整数的和Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
以上两种推导过程都很精彩，一是用 ( http: / / www.21cnjy.com )“倒序相加法”，二是用基本量转化，利用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式．其中公式(1)是基本的，我们可以发现，它可与梯形的面积公式“(上底＋下底)×高÷2”相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n，有利于我们的记忆．www-2-1-cnjy-com
对于公式(2)，我们还可以这样来求：
因为Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
所以Sn＝na1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]d＝na1＋d，
即Sn＝na1＋d.
从以上探究我们可以看出这两个公式是可 ( http: / / www.21cnjy.com )以相互转化的．从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了等差数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知道an，后者还需要知道d.
从方程角度看，两公式共涉及5个元素： ( http: / / www.21cnjy.com )a1，d，n，an，Sn，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为已知等差数列的首项a1，公差d，则此数列完全确定．因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.
讨论结果：①～⑤略．
思路1
例1 计算：
(1)1＋2＋3＋…＋n；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；
(3)2＋4＋6＋…＋2n；
(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.
活动：对于刚学完公式的学生来讲，先 ( http: / / www.21cnjy.com )补充这样一个直接运用公式的题目，目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n2－n(n＋1)＝－n.有的学生可能观察得更快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.
解：(1)1＋2＋3＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2；
(3)2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)；
(4)见活动内容．
点评：本例(1)～(3)小题直接利用 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列求和公式，其中第(2)小题还可用图9给出示意，让学生更直观地给出答案．第(4)小题给我们这样的启示：在解题时，我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到巧妙的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起失误.
图9
变式训练
在等差数列{an}中，[]
(1)已知a1＝5，an＝95，n＝10，求Sn，
(2)已知a1＝100，d＝－2，n＝50，求Sn.
答案：(1)500；(2)2 550.
例2 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空 ( http: / / www.21cnjy.com )盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm(如图10)．已知卫生纸的厚度为0.1 mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1 m)
图10
注：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离．
解：卫生纸的厚度为0.1 mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．
由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15，…，59.95.
因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.
因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95＝20.05＋(n－1)×0.1，
所以n＝400.
显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列．
根据等差数列的求和公式，得
S＝400×40.1π＋×0.2π＝32 000π(mm)．
32 000π(mm)≈100(m)．
答：满盘时卫生纸的长度约为100 m.
点评：反思本例的解题过程，关键是将实际问题转化为等差数列模型，用刚学到的等差数列求和公式解之.
变式训练
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，所铺瓦片数成等差数列．设所成等差数列为{an}，则a1＝21，d＝1，n＝19.[]
由等差数列前n项和公式，知
共铺瓦片S19＝19×21＋×1＝570(块)．
答：共铺瓦片570块.
例3 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
活动：教师与学生一起探究 ( http: / / www.21cnjy.com )，本例的已知条件是在等差数列{an}中，S10＝310，S20＝1 220.由前面我们所学知道，将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得两个关于a1与d的关系式，它们都是关于a1与d的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求得a1与d，a1与d确定了，那么就可求出这个等差数列的前n项和公式．
解：方法一：由题意可知
S10＝310，S20＝1 200，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，得到
解这个关于a1与d的方程组，得到a1＝4，d＝6，
所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.
方法二：由S10＝×10＝310，得a1＋a10＝62，①
S20＝×20＝1 220.所以a1＋a20＝122.②
②－①，得10d＝60，所以d＝6.
代入①，得a1＝4，所以有Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
点评：本例是问“由这些条件 ( http: / / www.21cnjy.com )能确定这个等差数列的前n项和公式吗？”，而不是“求这个数列的前n项和”．这就更深了一层，让学生领悟到a1与d一旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟到等差数列{an}中a1与d是所给5个量中的基本量.5个量中已知三个量，则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题．教学时教师要充分利用本题的训练价值，使学生熟练地掌握这一基本题型．解完后教师要再引领学生反思总结.
变式训练
设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.
解：由S4＝14，S10－S7＝30，
得
即解得a1＝2，d＝1.∴S9＝9a1＋36d＝54.
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
活动：这是一道探究题．教学时给出一定的时间让学生对本题进行思考探究．
本题给出了一个数列的前n项和的公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，来判断它是否是等差数列．解题的出发点是从所给的前n项和的公式去求出通项．那么，通项与前n项和的公式有何种关系呢？由Sn的定义可知，当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
即an＝这种由已知数列的Sn来确 ( http: / / www.21cnjy.com )定数列通项的方法对任意数列都是可行的．本题用这种方法求出的通项an＝2n－，我们从中知道它是等差数列，这时当n＝1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n＝1时，an＝Sn－Sn－1满足呢？请同学们再来探究一下这个问题．
当n＝1时，S1＝a1＝p＋q＋r； ( http: / / www.21cnjy.com )当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p＋q，由n＝1代入的结果为p＋q，要使n＝1时也适合，必须有r＝0.
当r＝0时，这个数列是等差数列；当r≠0时，这个数列不是等差数列．
解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an ( http: / / www.21cnjy.com )－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知，当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝.
也满足①式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－.
由此可知，数列{an}是一个首项为，公差为2的等差数列．
点评：如果一个数列的前n项和公式是常数 ( http: / / www.21cnjy.com )项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列．实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项．
通过本例，教师应提醒学生注意：这 ( http: / / www.21cnjy.com )实际上给出了已知数列前n项和求其通项公式的一个方法，即已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝这种已知数列{an}的前n项和Sn来确定通项公式an的方法对于任何数列都是可行的，但要强调a1不一定满足由Sn－Sn－1＝an求出的通项表达式．因此最后要验证首项a1是否满足已求出的an.这点要引起学生足够的注意.
变式训练
已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{an}的通项公式．
解：由条件知，当n＝1时，a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
把n＝1代入上式也适合．
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N＋).
思路2
例1 已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a1.
活动：通过本题，让学生熟悉等差数列求和公式的结构特征，从方程的角度来理解这个公式．教学时可让学生自己探究完成．
解：∵S5＝＝40，
∴a1＋a5＝16.①
又由a2＋a5＝19，②
由①②得a2－a1＝3，即d＝3.
∴S5＝5a1＋×d＝40.∴解得a1＝2.
点评：这里解出了a1，d，实际上若要再写出前n项和公式，则一步就能写出．
例2 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
活动：本题是一道基础性很强的题目，主要考查等差数列的基础知识、基本技能和运算能力．
解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.
∵S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1.
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)．
∵－＝，∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.
点评：本题训练学生熟练掌握关于a1，d的基本量运算及等差数列的判断，教学时要充分利用本题的训练价值．
例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图11)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
图11
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
活动：教师在引导学生探究 ( http: / / www.21cnjy.com )本题时可就题发挥，介绍中国传统文化中的“九”．北京天坛圆丘地面问题是中国传统文化与数学的完美结合．“九”是中华民族崇尚的数字，在阴阳学中，奇数为阳，偶数为阴，九是阳数的最大者，故成为极阳数．因此古人称天为“九天”．屈原《九歌》中“九”的含义为天体宇宙，而将地划分为“九州”．皇帝贵为天子，所属之地称为“九重”，宗庙则称为“九庙”，道路谓之“九陌”．山有“九巅”，水曰“九河”，地下尚有“九泉”．以致棋手也分“九段”，《易经》视“九”为吉祥数．中国古代皇家建筑中到处都有“九”：故宫四个角的结构是九梁十八柱，皇家院门上的钉数是纵九横九，冬至以后开始数九，共有九个九，最后一个九已是春意暖暖，成为“九九艳阳天”了．接下来可让学生根据应用题的解题方法，建立数列模型，自己独立探究完成本例．
解：(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈有石板
a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板
S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
答：第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．
点评：本例属数列应用题，但又不同于一般的应用题，教师应周密设计，充分发挥本例的教育功能．
课本本节练习1,2,3.
1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结 ( http: / / www.21cnjy.com )本节都学习了哪些数学内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？21教育网
2．你是怎样从方程的角度来理解等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？
课本习题1—2 A组11,12,13，B组3.
1．本教案设计力求突出实际背景的 ( http: / / www.21cnjy.com )教学，以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来铺垫学生学习等差数列的本质内涵．让学生学过之后感受到：世界之精彩，数学之美妙，够我们终生品味．
2．本教案设计突出了发散 ( http: / / www.21cnjy.com )思维的训练．通过一题多解、多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．说到底，学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密．
3．本教案设计的一个细节是对本 ( http: / / www.21cnjy.com )节例题的教学探究．例题的选取首先要有助于反映数列的本质，激发学生学习数学的兴趣，更具有基础性、时代性、典型性、应用性和可接受性．
(设计者：朱桂花)
第2课时
导入新课
思路1.(探究导入)上一节课我 ( http: / / www.21cnjy.com )们一起探究了等差数列的求和公式，得到了求和公式的两种形式．我们知道从前在公式的学习过程中，不仅要会对公式正用、逆用及变形用，还要从运动、变化的观点来认识公式，从函数及数形结合的角度透彻理解公式．这里公式Sn＝na1＋d表明Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，那么你能看出点列(n，Sn)均在同一条抛物线上吗？这样的抛物线有什么特点？由此展开新课．【来源：21·世纪·教育·网】
思路2.(直接导入)上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的前n项和公式，我们也知道等差数列有着十分丰富的有趣性质，本节课我们将进一步探究公式的应用，由此展开新课．
推进新课
①回忆上节课等差数列前n项和公式的推导方法，并写出等差数列前n项和的两个公式.
②等差数列求和公式中共有几个量？基本量是什么？有哪些常用性质？
③等差数列前n项和公式与二次函数有着怎样的关系？
④你能探究出哪些与和有关的等差数列的性质？
⑤怎样利用所学知识灵活地处理求和问题？
活动：教师与学生一起回忆上节课我们 ( http: / / www.21cnjy.com )用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式：Sn＝，Sn＝na1＋d.在公式涉及的5个量a1，d，n，an，Sn中，知三可求其二．其中a1，d是最基本的两个量，我们称为基本元素．在等差数列的不少问题中，我们往往都转化为这两个量来求．当然，如果熟悉并掌握一些常用结论及性质，往往能找到简捷明快、灵活的解题技巧，提高我们的解题速度．下面我们探究等差数列求和的一些性质问题．
从等差数列的两个求和公式中我们可以看出， ( http: / / www.21cnjy.com )公式中不含常数项．教师引导学生进一步探究，如果a1，d是确定的，那么Sn＝na1＋d＝n2＋n.可以看出当d≠0时，Sn是关于n的二次式．
从图像角度看，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx(A≠0)的图像上．所以当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图像是抛物线y＝Ax2＋Bx图像上的一群孤立点，这样我们就可以借助于二次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．若d＝0，则Sn＝na1.因此我们可以得出这样的结论：数列{an}为等差数列数列{an}的前n项和可以写成Sn＝an2＋bn的形式(其中a，b为常数，且a≠0)且公差为2a.
结合二次函数图像与性质，我们还得到：当a1＞0，d＜0时，由 Sm为最大值；当a1＜0，d＞0时，由Sm为最小值．
通过具体例子验证、猜想，并推广到 ( http: / / www.21cnjy.com )一般情况，我们还可以得到：设等差数列{an}的前n项和为A，紧接着n项的和为B，再紧接着n项的和为C，…，则A，B，C，…也成等差数列．
通过以上这些探究，我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地，而且有些解法更加简单、快捷，提高了我们解题的质量和效率．如下例：
已知等差数列{an}中，a2＋a5＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )9，S5＝40，求a10，则可这样解：∵S5＝5a3＝40，∴a3＝8，a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.
∴a10＝a3＋7d＝29.
此解法比常规解法优越得多，这类解题技巧在等差数列中比比皆是，让学生在解题探究中细心领悟．
讨论结果：①～⑤略．
思路1
例1 在数列{an}中，an＝2n＋3，求这个数列自第100项到第200项之和S的值．
活动：这是本课时教材上安排的第一个例题， ( http: / / www.21cnjy.com )教师与学生一起探究．本例中没有说明数列{an}是等差数列，但从已知条件可以看出该数列为等差数列．因此需先证明{an}是等差数列，然后用求和公式解之．
解：由于an＋1－an＝[2 ( http: / / www.21cnjy.com )(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2，所以，数列{an}是公差为2的等差数列，此数列自第100项到第200项仍是等差数列，共有101项，所求和为
S＝×101
＝×101
＝30 603.
点评：学生解完本例后，对出现的an－an－1＝2，教师应点拨学生注明n≥2.
例2 等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，求该数列前多少项的和最小？
活动：写出前n项和的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式，再求此式的最值，是解这类题目的常规思路．教学时，教师充分让学生合作讨论此题，从不同角度来探究此题的解法，教师只是给予必要的点拨．【版权所有：21教育】
解法一：设等差数列{an}的公差为d，
则由题意，得9a1＋×9×(9－1)d＝12a1＋×12×(12－1)d，即3a1＝－30d.
∴d＝－a1.
又∵a1＜0，∴d＞0.
∴Sn＝na1＋n(n－1)d＝dn2－dn＝2－d.
∵d＞0，∴Sn有最小值．
又∵n∈N＋，∴当n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法二：由即
解得10≤n≤11.
∴取n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法三：∵S9＝S12，即a1＋a2＋…＋a9＝a1＋a2＋…＋a12，
∴a10＋a11＋a12＝0，即3a11＝0.
又∵a1＜0，∴前10项或前11项的和最小．
点评：解完本题后教师引领学生对以上三种解法进行反思总结．本题的三种解法从三个不同的视角说明了等差数列前n项和的最值问题，方法迥异，殊途同归，由此看出等价转化思想在简化运算中的作用，其中第一种解法运算量偏大，不容易进行到底，即便做对了，所花时间也较多，要让学生深刻领悟这一点．21教育名师原创作品
事实上，本题还能探究出另一种解法——图像法．∵S9＝S12，∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x＝＝10.5.
又∵a1＜0，∴数列{an}的前10项或前11项的和最小，这种解法直观、新颖、巧妙．
例3 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2呢？这些数的和是多少？
活动：教师与学生一起探究被3除余2的正整数的规律，它可以写成3n＋2(n∈N＋)的形式，这就和等差数列的通项公式联系在一起了．
解：由3n＋2＜100，得n＜32，即n＝0,1,2，…，31,32.
因此在小于100的正整数中共有33个数被 ( http: / / www.21cnjy.com )3除余2，把这些数从小到大排列出来就是2,5,8，…，98，它们组成一个等差数列{an}，其中a1＝2，a33＝98，n＝33.
∴它们的和为S33＝＝1 650.
点评：本题是等差数列求和公式的综合运用.
变式训练
等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组解得a1＝12，d＝2.
∴an＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1＋d＝242，得12n＋×2＝242，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
∴n＝11.
思路2
例1 已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足：a2·a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)由通项公式bn＝构造一个新的数列{bn}，若{bn}也是等差数列，求非零常数c.
活动：让学生自己探究本题(1)，对于(2)，教师可引导学生充分利用等差数列的特征，可由学生合作探究，教师仅给予必要的点拨．
解：(1)∵{an}为等差数列，∴a1＋a4＝a2＋a3＝14.
又a2·a3＝45，∴a2，a3是方程x2－14x＋45＝0的两实根．
又公差d＞0，∴a2＜a3，∴a2＝5，a3＝9.
∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝n·1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，
∴2×＝＋.
解之，得c＝－(c＝0舍去)．∴bn＝＝2n.
易知{bn}是等差数列，c＝－.
例2 在新城大道一侧A处，运来20棵 ( http: / / www.21cnjy.com )新树苗．一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？
活动：这是一个人人都熟悉的实际问题，教师引导学生建立数列模型．点拨学生分清数列模型中的首项和公差，这是成功解决本例的关键．
解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列
0,20,40,60，…，380，
这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和
S＝×20＝3 800(m)．
答：植树工人共走了3 800 m的路程．
点评：解答数列应用题，一般要经历“设—列—解—答”四个环节.
变式训练
如图12所示，有一块菜地共有20畦，每 ( http: / / www.21cnjy.com )畦长12米，宽1.5米，离菜地18米处有一个池塘，浇水的人从池塘挑一担水，绕着第1畦菜地走一圈，浇完第1畦菜，然后他返回池塘边，再挑一担水，绕着第2畦菜地走一圈，浇完第2畦菜，以后照此办法，直至浇完整块菜地，问他一共走了多少路？ 21*cnjy*com
图12
解：设浇完第n(1≤n≤20)畦菜地后，再回到池塘边时浇水人所走的路程为an，由题意，数列{an}是等差数列，
其中a1＝2×18＋2×(12＋1.5)＝63，
a20＝2×18＋2×(12＋1.5)＋19×2×1.5＝120.
∴S20＝＝＝1 830(米)．
∵要计算的路程到浇完第20畦为止，
∴所求路程为
s＝S20－(18＋19×1.5)＝1 830－46.5＝1 783.5(米)．
答：他一共走了1 783.5米.
例3 九江抗洪指挥部接到预报， ( http: / / www.21cnjy.com )24 h后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？21·世纪*教育网
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25，
这是一个等差数列，a1＝24，公差d＝－.
25辆车可以完成的工作量为
a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋×＝500.
需要完成的工作量为24×20＝480.
因此，在24 h内能构筑成第二道防线．
点评：本例的实际背景是江西九江抗洪抢险的动人场面，教师可借题发挥，深挖本例的教育功能，让学生感到数学的应用无处不在．
课本本节练习1,2,3.
1．本课的小结由学生来完成 ( http: / / www.21cnjy.com )．首先回顾总结本节探究了哪些重要结论？通过本节几个例题及变式训练的探讨，你对等差数列前n项和公式的应用又拓展了多少？你都从中体会到了哪些数学思想方法？对你今后的进一步学习有什么启发指导？你将本节所学知识纳入已有的知识系统中了吗？
2．你是怎样从方程思想的角度来理解 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列的求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？你是怎样从二次函数的角度来更加深刻地认识等差数列求和公式的？它是怎样与函数、不等式、方程等内容交汇的？重要的是你今天有什么独创呢？
课本习题1—2 A组 14，B组4,5.
本教案设计的核心是突出学生的思维训练，这是一条主线，像应用示例思路1中的例2引导学生探究了4种解法，从中比较了由于视角的不同而表现出的差异，让学生领悟数学中等价转化的作用．因为从解法上看有的解法繁杂，甚至有了思路也不一定能解出来，而有的解法确实太漂亮了，简洁而流畅．
本教案设计突出了方程的思想， ( http: / / www.21cnjy.com )所谓方程思想就是指把数学问题所反映的数量关系用解析式的形式表示出来，再把解析式归结为方程，通过解方程的手段或对方程进行研究使问题得以解决．设未知数、列方程、解方程是用方程的思想解数列问题的重要环节．
本教案设计强调了数列与其他知识的交汇． ( http: / / www.21cnjy.com )我们知道数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用．把数列的前n项和Sn视为数列{Sn}的通项，这体现了思维的广阔性，也使学生的思维一下子变得开阔了，这或许就是数学的魅力之所在．
一、等差数列的性质探究
等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松简单，与常规方法相比较，过程要简捷得多．
【性质1】已知等差数列{an}，m，p，q∈N＋，若存在实数λ使m＝(λ≠－1)，
则am＝.
证明：由等差数列{an}的通项公式an＝d ( http: / / www.21cnjy.com )n＋a1－d的几何意义：点(p，ap)，(m，am)，(q，aq)共线，由斜率公式得＝，因为m＝，所以＝λ.
所以λ(am－aq)＝ap－am.所以(1＋λ)am＝ap＋λaq，即am＝.
评析：特别地，当λ＝1时，2am＝ap＋aq，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式．
【性质2】 已知等差数列{an}，ni，mi∈N＋，i＝1,2,3，…，k，若i＝i，则ni＝mi.
证明：设等差数列{an}的公差为d.根据ani＝ami＋(ni－mi)d，i＝1,2,3，…，k，
则ni＝mi＋(i－i)d＝mi.所以ni＝mi.
推论：已知等差数列{an}，ni，m∈N＋，i＝1,2,3，…，k，若km＝i，则kam＝ni.
评析：本性质实质上是等差中项性质的推广．
【性质3】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，n，m∈N＋，
则－＝(m－n)d.
证明：因为－＝
＝
＝
＝d＝d
＝d＝(m－n)d，
所以－＝(m－n)d.
评析：实质上数列是公差为的等差数列．
【性质4】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，n，m∈N＋，则Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.21世纪教育网版权所有
证明：因为Sm＋n＝Sn＋(an＋1＋an＋2＋…＋an＋m)[]
＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(am＋nd)
＝Sn＋(a1＋a2＋…＋am)＋mnd
＝Sm＋Sn＋mnd，
所以Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
【性质5】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＝p＋q(m，p，q∈N＋且p≠q)，
则有＝.
证明：设等差数列{an}的公差为d.[]
因为Sp－Sq＝pa1＋p(p－1)d－qa1－q(q－1)d＝(p－q)，
所以＝a1＋(p＋q－1)d.
又因为＝a1＋(m－1)d且m＝p＋q，
所以有＝.
推论：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＋t＝p＋q(m，t，p，q∈N＋且m≠t，p≠q)，则＝.2·1·c·n·j·y
【性质6】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)当n＝2k(k∈N＋)时，S2k＝k(ak＋ak＋1)；
(2)当n＝2k－1(k∈N＋)时，S2k－1＝(2k－1)ak.
二、备用习题
1．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n的值为( )．
A．9 B．21 C．27 D．36
2．过圆x2＋y2＝5内 ( http: / / www.21cnjy.com )一点P有n条弦，这n条弦的长度成等差数列{an}，如果过P点的圆的最短的弦长为a1，最长的弦长为an，且公差d∈，那么n的取值集合为( )．21*cnjy*com
A．{5,6,7} B．{4,5,6}
C．{3,4,5} D．{3,4,5,6}
3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )．
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
4．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若这个数列的前40项的和是20m，则m等于( )．
A．a10＋a30 B．a20
C．a40＋d D．a15＋a26
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )．
A. B.
C. D.
6．已知正实数a，b，c成等差数列，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个交点，则x1x2的取值范围是__________．
7．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为__________．
8．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式．21cnjy.com
参考答案：
1．解析：Sn＝＝18，由得3(a1＋an)＝4.
∴a1＋an＝.∴n＝＝＝27.
答案：C
2．解析：过点P的最长弦是直径，弦长为2；最短弦是过点P且垂直于OP的弦，弦长为2.
∵an＝a1＋(n－1)d，∴2＝2＋(n－1)d，
n－1＝.∵d∈，
∴3(2－2)＜n－1＜6(2－2)．∴n＝5,6,7.
答案：A
3．解析：a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2＜0.
答案：B
4．解析：∵S40＝＝20m，∴a1＋a40＝m.
而a1＋a40＝a15＋a26，再由d≠0，a1≠d，可排除A，B，C.
答案：D
5．解析：设S3＝m，∵＝，
∴S6＝3m.∴S6－S3＝2m.
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，∴S6＝3m，S12＝10m.【出处：21教育名师】
∴＝.
答案：A
6．解析：∵x1x2＝＞0，又2b＝a＋c，b2－4ac＞0，
则()2－4ac＞0，a2＋c2－14ac＞0，＋－14＞0.
令t＝，则t＋－14＞0.
t2－14t＋1＞0.解得t∈(0,7－4)∪(7＋4，＋∞)．
答案：(0,7－4)∪(7＋4，＋∞)
7．解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15.∴d＝3.
答案：3
8．解：设等差数列{an}的公差为d，
由Sn＝na1＋d及已知条件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)，①
4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②
由②得d＝2a1，代入①，有a＝a1，解得a1＝0或a1＝.
当a1＝0时，d＝0(舍去)，因此a1＝，d＝.
故数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)×＝(2n－1)．
(设计者：朱桂花)
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