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教学设计
1．1 正弦定理
教学分析
本节的主要任务是引入并证明正弦定理，在课 ( http: / / www.21cnjy.com )型上属于定理教学课．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．
在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小 ( http: / / www.21cnjy.com )边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系；这里一个重要的问题是，是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数上去．让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在引入正弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两角及某一角的对边，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两角和边计算出三角形的另一角和两条边的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察—猜想—证明—应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．21·世纪*教育网
本节课以及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间． 21*cnjy*com
三维目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数 ( http: / / www.21cnjy.com )学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题．
3．通过本节学习，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．
重点难点
教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．
教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．
课时安排 []
1课时
导入新课
思路1.(特例导入)教师可 ( http: / / www.21cnjy.com )先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若C为直角，则有a＝csin A，b＝csin B，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到＝，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．21*cnjy*com
思路2.(情境导入)如图1，某农场为了 ( http: / / www.21cnjy.com )及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处出现火情．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10 km处．现在要确定火场C距A，B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10 km，求AC与BC的长”．这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．
图1
推进新课
[]
①阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？
②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系，根据三角函数的定义，能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示？
③由②得到的关系式，对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？
④正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？
⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
活动：教师引导学生阅读本章引言，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识，让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．
关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．
如图2，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
图2
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
＝sin A，＝sin B，
又sin C＝1＝，则＝＝＝c.
从而在Rt△ABC中，＝＝.
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．
如图3，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD＝asin B＝bsin A，则＝.
同理，可得＝.
从而＝＝.
图3
(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成．)
通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．【来源：21cnj*y.co*m】
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
上述的探究过程就是正弦定理的证明方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系，描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a＜b.当∠A，∠B都是锐角，由正弦函数在区间上的单调性，可知sin A＜sin B．当∠A是锐角，∠B是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间上的单调性，可知sin B＞sin(π－A)＝sin A，所以仍有sin A＜sin B.
正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理．
平面几何法：
如图4，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于C′，设BC′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
图4
∴sin C＝sin C′＝.
∴＝2R.
同理，可得＝2R，＝2R.
∴＝＝＝2R.
这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式＝＝.
这种证明方法简洁明快．在巩 ( http: / / www.21cnjy.com )固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，且引入了外接圆半径R，得到＝＝＝2R这一等式，其变式为a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．
向量法证明：
教师可引导学生回忆思考向量知识，向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，例如，长度和角度问题，从向量数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为两向量的夹角．我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系．向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法，我们曾用它推导了两角差的余弦公式．如用它推导正弦定理，首先需考虑通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos (90°－θ)将正、余弦转化，这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j的添加提供了线索．
证明过程如下：
(1)如图5，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90°－A，j与的夹角为90°－C.
图5
由向量的加法原则可得＋＝，
为了与图5中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j·(＋)＝j·，
由分配律可得j·＋j·＝j·.
∴|j|||cos 90°＋|j|||cos (90°－C)＝|j|||cos (90°－A)．
∴asin C＝csin A.
∴＝.
同理，可得＝.
∴＝＝.
(2)如图6，△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－90°，j与的夹角为90°－C.
图6
由＋＝，得j·＋j·＝j·，
即a·cos (90°－C)＝c·cos (A－90°)，
∴asin C＝csin A.
∴＝.[]
同理，可得＝.
∴＝＝.
(3)当△ABC为直角三角形时，＝＝显然成立．
综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．
课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理，过程如下：
如图7所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′.
图7
因为向量与在y轴上的射影均为||，
即||＝||cos (A－90°)＝bsin A，
||＝||sin B＝asin B，
所以asin B＝bsin A，
即＝.
同理，＝.
所以＝＝.
若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论．
分析正弦定理可知，应用正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦定理可解决两类解三角形问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的解有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．
讨论结果：①～⑤略．
例1 某地出土一块类似三角形刀状的古 ( http: / / www.21cnjy.com )代玉佩〔如图8(1)〕，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．21·cn·jy·com
(1) (2)
图8
活动：如图8(2)所示，将BD，CE分别延长相交于一点A.在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长．
解：将BD，CE分别延长相交于一点A.在△ABC中，
BC＝2.57 cm，B＝45°，C＝120°，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋120°)＝15°.
因为＝，
所以AC＝＝.
利用计算器算得AC≈7.02 cm.
同理，AB≈8.60 cm.[]
答：原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.
点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理．
(2)解三角形的实际问题中，数字计算往往较烦琐，可借助计算器或其他的计算工具.
变式训练
在△ABC中，
(1)已知c＝，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.(结果保留两个有效数字)
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
＝，∴b＝＝≈1.6.
(2)∵＝，
∴a＝＝≈6.9.
点评：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较差的学生在黑板上解答，以增强其自信心.
例2 台风中心位于某市正东方向300 ( http: / / www.21cnjy.com ) km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)
活动：这是本章章头引言提到的问题， ( http: / / www.21cnjy.com )教学时可引导学生先动手画图，加强直观感知，明确两解的实际情况．这样学生在运用正弦定理求边或求角时，会感到目的明确，思路清晰流畅．
如图9所示，设该市在点A，台风中心从点B ( http: / / www.21cnjy.com )向西北方向移动，AB＝300 km.在台风中心移动过程中，当该中心到点A的距离不大于250 km时，该市受台风影响．
分析：如图9所示，台风沿着BD运动时 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于|AB|＝300 km＞250 km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|＝|AB|·sin 45°＝300×≈150×1.41＝211.5(km)＜250 km.所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.
图9
这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间．
解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.
假设经过t h，台风中心到达点C，则在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB＝300 km，AC＝250 km，BC＝40t km，B＝45°，由正弦定理＝＝，【版权所有：21教育】
知sin C＝＝＝≈0.848 5.
利用计算器算得角C有两个解：
C1≈121.95°，C2≈58.05°.
当C1≈121.95°时，A＝180°－(B＋C1)≈180°－(45°＋121.95°)＝13.05°，
所以BC1＝＝≈79.83(km)，
t1＝＝≈2.0(h)．
同理，当C2≈58.05°时，BC2≈344.4 km，t2≈8.6 h.
t2－t1≈8.6－2.0＝6.6(h)．
答：约2 h后将要遭受台风影响，持续约6.6 h.
点评：通过本例我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.
变式训练
1．在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字)．
解：已知b＜a，∴B＜A，
因此B也是锐角．
∵sin B＝＝≈0.513 1，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝＝≈91.
点评：同样是已知两边和一边对角 ( http: / / www.21cnjy.com )，但可能出现不同结果，应强调学生注意解题的灵活性．对于本题，如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解，进而求出边c的两个解．此题属于a≥b这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边、小角对小边这一边角关系来排除B为钝角的情形．教师可点拨学生模仿例题，先画图观察．
2．在△ABC中，已知a＝28，b＝20，A＝120°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字)．21世纪教育网版权所有
解：∵sin B＝＝≈0.618 6，
∴B≈38°或B≈142°(舍去)．
∴C＝180°－(A＋B)＝22°.
∴c＝＝≈12.
点评：(1)此题要求学生注意考虑问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )全面性，对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到．本题中A为钝角且a＞b，所以有一解，可让学生画图观察．
(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形．
(3)对于已知两边及夹角解三角形这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理来解.
例3 在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B，C，△ABC的外接圆半径及△ABC的面积S.【来源：21·世纪·教育·网】
活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求出B，C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．www-2-1-cnjy-com
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可设B＝4k，C＝5k，
则9k＝135°，故k＝15°.那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理R＝＝5(－)，
由面积公式S＝bc·sin A＝c·2Rsin B·sin A＝75－25.
点评：求面积时，b未知，但可转化为b＝2Rsin B，从而解决问题.
变式训练
1．在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC是( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：运用正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B以及结论sin 2A－sin 2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，www.21-cn-jy.com
∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
∴(sin 2A＋sin 2B)sin(A ( http: / / www.21cnjy.com )－B)＝(sin 2A－sin 2B)sin C＝sin(A＋B)·sin(A－B)·sin C.
若sin(A－B)＝0，则A＝B.
若sin(A－B)≠0，则sin 2A＋sin 2B＝sin 2Ca2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.
答案：D
2．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC的形状是( )．
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
3．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )．
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
答案：C
例4 如图10，在△ABC中，＝(x，y)，＝(u，v)．求证：△ABC的面积S＝|xv－yu|.2-1-c-n-j-y
图10
活动：教师引导学生从三角形面积入手，借助向量的模的运算解决．
证明：S＝||·||sin A
＝
＝
＝
＝.
因为＝(x，y)，＝(u，v)，
所以S＝
＝
＝|xv－yu|.
点评：通过本例体现三角与向量的交汇，突出向量的工具性．
课本本节练习1和练习2.
1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．【出处：21教育名师】
2．我们在推证正弦定理时采用 ( http: / / www.21cnjy.com )了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作为问题情境，由此展开问题的全面探究；同时结合平面几何知识，结合向量的数量积与三角函数的关系，我们又探究了正弦定理的另外两种证明方法．要注意领悟这些证明方法的思想内涵，并要求学生课下继续探究正弦定理的其他证明方法．21教育名师原创作品
1．课本习题2—1 A组1,4.
2．预习下一节余弦定理．
本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实．
本教案的设计流程清晰流畅，环环相扣，课 ( http: / / www.21cnjy.com )堂容量较大，时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．
一、知识扩展
1．判断三角形解的方法
“已知两边和其中一边的对角”解三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．
设已知a，b，A，则利用正弦定理
sin B＝.
如果sin B＞1，则问题无解；
如果sin B＝1，则问题有一解；
如果求出的sin B＜1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．21cnjy.com
2．利用三角形面积证明正弦定理
如图11，已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D.
图11
则Rt△ADB中，sin B＝.
∴AD＝AB·sin B＝csin B.
∴S△ABC＝a·AD＝acsin B.
同理，可证S△ABC＝absin C＝bcsin A.
∴S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
∴absin C＝bcsin A＝acsin B.
在等式两端同除以abc，可得＝＝，
即＝＝.
3．利用正弦定理进行边角互换
对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C或sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆半径)．
这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用．
二、备用习题
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b等于( )．
A．5 B．10 C. D．5
2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．无数多个
3．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＝，sin C＝，则a∶b∶c等于( )．
A．1∶∶2 B．1∶1∶
C．1∶2∶ D．2∶1∶或1∶1∶
4．不解三角形，下列判断正确的是( )．
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°，无解
5．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且B＝2A，则的取值范围是( )．
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(1，) D．(，)
6．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
7．在△ABC中，A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知向量m＝(1,2sin A)， n＝(sin A,1＋cos A)，满足m∥n，b＋c＝a.
(1)求A的大小；
(2)求sin的值．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，并且tan A·tan C＝2＋，
(1)求A，B，C的度数；(2)若AB边上的高CD＝4，求三边a，b，c的长．
参考答案：1.D 2.B 3.D 4.B
5．解析：由正弦定理知＝，又∵B＝2A，
∴＝＝2cos A.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴＜2cos A＜，
即＜＜，故选D.
答案：D
6.
7．解：(1)由m∥n得2sin 2A－1－cos A＝0，
即2cos 2A＋cos A－1＝0.
∴cos A＝或cos A＝－1.
∵A是△ABC的内角，cos A＝－1(舍去)，
∴A＝.
(2)∵b＋c＝a，
由正弦定理，sin B＋sin C＝sin A＝，
∵B＋C＝，
∴sin B＋sin＝.
∴cos B＋sin B＝，
即sin＝.
8．解：(1)由2B＝A＋C，得B＝60°，则A＋C＝120°，
tan A·tan C＝2＋＝2＋，
即(2＋)cos A·cos C－sin A·sin C＝0
(1＋)cos A·cos C＋ (cos A·cos C－sin A·sin C)＝0
(1＋)·[cos (A＋C)＋cos (A－C)]＋cos (A＋C)＝0
＋＝0.
∴cos (A－C)＝.
∴|A－C|＝30°.
又∵A＋C＝120°，∴A＝45°，C＝75°或A＝75°，C＝45°.
(2)若A＜B＜C，由正弦定理得
a＝8，b＝4，c＝bcos A＋acos B＝4(＋1)．
同理，若A＞B＞C时，则a＝4(＋1)，b＝4，c＝8.
点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧．由三个角成等差数列，得A＋C＝120°，恒等变形的目标就是寻找A与C的关系，用恒等变形的方法对条件等式进行转化．21教育网
此题还可以由tan A·tan C＝2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )求出tan A＋tan C＝3＋，运用韦达定理解出tan A和tan C，这对综合能力的提升大有益处．2·1·c·n·j·y
(设计者：张学栋)
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教学设计
1．2 余弦定理
教学分析
对余弦定理的探究，同正弦定理类似．课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解决问题中的威力，另外还有坐标法．在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证的目的．www-2-1-cnjy-com
应用余弦定理并结合正弦定理，可以解 ( http: / / www.21cnjy.com )决以下解三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边和一个角解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的变形公式，也可以用正弦定理．用余弦定理的变形公式，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小．
三维目标
1．通过对余弦定理的探究与证明， ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．了解余弦定理与勾股定理之间的联系．知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法．【来源：21·世纪·教育·网】
2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．
3．加深对数学思想的认识，本节的主要数 ( http: / / www.21cnjy.com )学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．【版权所有：21教育】
重点难点
教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形．
教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．
图1
思路2.(问题导入)如果已知一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？
推进新课
①在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？
②余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？
③余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？
④正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？
活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．
解决了在三角形已知两角一边和已知两边 ( http: / / www.21cnjy.com )与其中一边对角这两类解三角形问题．当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决．如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．
如图1，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试利用b，c，A来表示a.
教师引导学生进行探究．由于初中平面几何 ( http: / / www.21cnjy.com )所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CD⊥AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD，DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边的关系表示，DB可利用AB－AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：
过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，可得
a2＝CD2＋BD2.
∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，
又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2，
∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD.
又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
类似地可以证明b2＝c2＋a2－2cacos B.
c2＝a2＋b2－2abcos C.
另外，当C为钝角时也可证得上述结论，当C为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论．
这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．21·世纪*教育网
教师与学生一起探究余弦定 ( http: / / www.21cnjy.com )理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a，b的夹角．
用向量法探究余弦定理的具体过程如下：
如图2所示，根据向量的数量积，可以得到
图2
a2＝·
＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝2－2||·||cos A＋2
＝b2－2bccos A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
这是教材上的证明方法．这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：21世纪教育网版权所有
如图3，以C为原点，边CB所在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcos C，bsin C)，根据两点间距离公式
图3
AB＝，
∴c2＝b2cos 2C－2abcos C＋a2＋b2sin 2C.
整理，得c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可以证明a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
余弦定理指出了三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，这就是余弦定理的变形公式，也可以说是余弦定理的第二种形式：【出处：21教育名师】
cos A＝，cos B＝，cos C＝.
对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法．
教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC中，C＝90°，则cos C＝0，这时余弦定理变为c2＝a2＋b2，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．
应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：
(1)已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；
(2)已知两边和它们的夹角解三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．
把正弦定理和余弦定理结合起来应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，就能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的推论，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，以避免进一步的讨论．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧，经常地在解题后进行反思，做到优中选优，长此以往，学习轻松愉快，即我们平时常说的找到了学习“窍门”．
讨论结果：①～④略．
思路1
例1 如图4所示，有两条直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )和CD相交成80°角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h,4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)
图4
活动：经过3时，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)．问题转化为在△OPQ中，已知OP＝12 km，OQ＝13. 5 km，∠POQ＝80°，求PQ的长．
解：经过3时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)．
依余弦定理，知
PQ＝
＝
≈16.4(km)．
答：3时后两人相距约16.4 km.
点评：解决本例的关键是找到与已知量有关的三角形，用余弦定理解之.
变式训练
1．若a，b，c是△ABC的三边，且＞1，则△ABC一定是( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
解析：∵＞1，即a2＋b2＜c2，a2＋b2－c2＜0，
于是cos C＝＜0.
∴C为钝角，即得△ABC为钝角三角形．
答案：D
2．△ABC中，若lncos A＝lnsin C－lnsin B＝－ln2，则△ABC的形状是( )．
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：由题意，知cos A＝＝，
结合正弦定理、余弦定理，得＝＝，
∴A＝，a2＋c2＝b2.
∴△ABC是直角三角形但不是等腰三角形．[]
答案：B
例2 图5是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，，，…的图形．试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．
图5
活动：本例可让学生自己探究完成，对有困难的学生，教师可点拨其找出所求量(BD或∠DAB)所在的三角形．
解：在△BCD中，BC＝1，CD＝1，∠BCD＝135°.
因为BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD
＝12＋12－2×1×1cos 135°
＝2＋，
所以BD≈1.8.
在△ABD中，AB＝1，BD＝，AD＝.
因为cos ∠DAB＝
＝
≈0.169 1，
所以∠DAB≈80°.
点评：(1)对较复杂的计算可使用计算器．
(2)有些问题既可应用正弦 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，也可应用余弦定理，要体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．[]
(3)用余弦定理重新解答课本中上节课的例2.
思路2
例1 在△ABC中，已知a＝2 ( http: / / www.21cnjy.com ).730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留4个有效数字，角度精确到1′)．[]21·cn·jy·com
活动：此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型 ( http: / / www.21cnjy.com )，可通过余弦定理先求出第三边，在第三边求出后其余角求解有两种思路：一是利用余弦定理的变形公式，根据三边求其余角，二是已知两边和一边的对角利用正弦定理求解．若用正弦定理求解需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好．2·1·c·n·j·y
解：由c2＝a2＋b2－2abcos C＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos 82°28′，
得c≈4.297.
∵cos A＝＝≈0.776 7，
∴A≈39°2′.
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′.
点评：通过本例，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理都可选用，那么求边用两个定理均可，求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.
变式训练
在△ABC中：
(1)已知c＝8，b＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝82＋32－2×8×3cos 60°＝49.
∴a＝7.
(2)由cos B＝，得cos B＝＝0.∴B＝90°.
(3)由b2＝c2＋a2－2cacos B，得b2＝22＋(3)2－2×3×2cos 150°＝49.∴b＝7.
(4)由cos A＝，得cos A＝＝.
∴A＝45°.
点评：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.
例2 在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
活动：根据已知条件可以先由正弦定理求 ( http: / / www.21cnjy.com )出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC＝acsin B可以求出．若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2＝c2＋a2－2cacos B建立关于c的方程，亦能达到求c的目的．
解法一：由正弦定理得＝，
∴A1＝81.8°，A2＝98.2°.
∴C1＝38.2°，C2＝21.8°.
由＝，得c1≈3，c2≈5，
∴S△ABC＝ac1sin B＝6或S△ABC＝ac2sin B＝10.
解法二：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，[]
∴72＝c2＋82－2×8×ccos 60°，
整理，得c2－8c＋15＝0，
解之，得c1＝3，c2＝5.∴S△ABC＝ac1sin B＝6或S△ABC＝ac2sin B＝10.
点评：在解法一的思路里， ( http: / / www.21cnjy.com )应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．www.21-cn-jy.com
综合上述例题，要求学生总 ( http: / / www.21cnjy.com )结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．2-1-c-n-j-y
课本本节练习1,2,3.
1．教师先让学生回顾本节课的探究过程 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些类解三角形的问题．
2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的． 21*cnjy*com
3．体会本节运用的思想方法：特殊到一般、类比、方程思想等．
课本习题2—1 A组6,7，B组2.
本教案的设计充分体现了“民主教学思想” ( http: / / www.21cnjy.com )，教师不主观、不武断，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果．这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸．“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳—猜想—证明—应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程入情入理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥．【来源：21cnj*y.co*m】
纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到 ( http: / / www.21cnjy.com )位，体现新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处．环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于最佳状态．在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线．
一、与解三角形有关的几个问题[]
1．向量方法证明三角形中的射影定理
如图6，在△ABC中，设三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.
图6
∵＋＝，
∴·(＋)＝·.
∴·＋·＝·.
∴||2＋||||cos (180°－C)＝||||cos A.
∴||－||cos C＝||cos A.
∴b－acos C＝ccos A，
即b＝ccos A＋acos C.
类似地有c＝acos B＋bcos A，a＝bcos C＋ccos B.
上述三式称为三角形中的射影定理．
2．解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．21教育名师原创作品
关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：
(1)已知两角及其中一个角的对边，如A，B，a，解△ABC.
解：①根据A＋B＋C＝π，求出角C；
②根据＝及＝，求b，c.
如果已知的是两角和它们的夹边，如A，B，c，那么先求出第三角C，然后按照②来求解．求解过程中尽可能应用已知元素．21*cnjy*com
(2)已知两边和它们的夹角，如a，b，C，解△ABC.
解：①根据c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；
②根据cos A＝，求出角A；
③由B＝180°－A－C，求出角B.
求出第三边c后，往往为了计算上的方便， ( http: / / www.21cnjy.com )应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求a，b较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解．
(3)已知两边及其中一条边所对的角，如a，b，A，解△ABC.
解：①＝，经过讨论求出B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出角C；
③再根据＝，求出边c.
(4)已知三边a，b，c，解△ABC.
解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．
另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍需注意要先求较小边所对的锐角．
(5)已知三角，解△ABC.
解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一．
3．“可解三角形”与“需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也 ( http: / / www.21cnjy.com )是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题，往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．
所谓“可解三角形”，是指已经具 ( http: / / www.21cnjy.com )有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三角形”可解．在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况．
“可解三角形”和“需解三角形”的引 ( http: / / www.21cnjy.com )入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．
二、备用习题
1．△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )．
A． B． C．2 D．3
2．已知一个三角形的三边为a，b和，则这个三角形的最大角是( )．
A．75° B．90° C．120° D．150°
3．已知锐角三角形的两边长为2和3，那么第三边长x的取值范围是( )．
A．(1,5) B．(1，) C．(，5) D．(，)
4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形形状为( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
5．在△ABC中，若2b＝a＋c，则有( )．
A．0＜B≤60° B．60°≤B≤90° C．90°＜B≤120° D．120°≤B＜180°
6．△ABC中，A，B，C分别为a，b，c三条边的对角，如果b＝2a，B＝A＋60°，那么A＝________.21教育网
7．在△ABC中，若acos 2＋ccos 2＝b，那么a，b，c的关系是________．
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sin C＝2sin Bcos A，试判断△ABC的形状．21cnjy.com
9．在△ABC中，设三角形面积为S，若S＝a2－(b－c)2，求tan 的值．
参考答案：1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6.30° 7.a＋c＝2b
8．解：由正弦定理，得＝，
由sin C＝2sin Bcos A，得cos A＝＝，
又根据余弦定理，得cos A＝，
故＝，即c2＝b2＋c2－a2.
于是，得b2＝a2，故b＝a.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
故(a＋b)2－c2＝3ab.
由a＝b，得4b2－c2＝3b2，所以b2＝c2，即b＝c.
故a＝b＝c.
因此△ABC为正三角形．
9．解：S＝a2－(b－c)2，又S＝bcsin A，
∴bcsin A＝a2－(b－c)2，有sin A＝＋1，
即·2sin ·cos ＝1－cos A.
∴·sin ·cos ＝2sin 2.
∵sin ≠0，∴cos ＝2sin .
∴tan ＝.
(设计者：张学栋)
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