教学设计
§4 对 数
教学分析
我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题．培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度．
2．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识．
3．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生 ( http: / / www.21cnjy.com )的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．
重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．
教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用．
课时安排
3课时
4．1 对数及其运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？
2．假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.4＝？x＝0.125x＝？
2．(1＋8%)x＝2x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．
推进新课
活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．
对问题①，回忆计算机作函数图像的方法，抓住关键点．
对问题②，图像类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图像上就能看出函数的某些点的坐标．
对问题③，定义一种新的运算．
对问题④，借助③，类比到一般的情形．
讨论结果：①如图1.
图1
②在所作的图像上，取点P，测出点P的坐标， ( http: / / www.21cnjy.com )移动点P，使其纵坐标分别接近18,20,30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72,43.29,84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．
③＝1.01x，＝1.01x，＝1.01x，在这几个式子中，要求x分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，即若＝1.01x，则x称作以1.01为底的的对数．其他的可类似得到，这种运算叫作对数运算．
④一般性的结论就是对数的定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的x次 ( http: / / www.21cnjy.com )幂等于N，就是ax＝N，那么数x叫作以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
有了对数的定义，前面问题的x就可表示了：x＝log1.01，x＝log1.01，x＝log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系：
a N b
指数式ab＝N 底数 幂 指数
对数式logaN＝b 对数的底数 真数 对数
例如：42＝162＝log416；102＝1002＝log10100；4＝2＝log42；10－2＝0.01－2＝log100.01.
①为什么在对数定义中规定a>0，a≠1？
②根据对数定义求loga1和logaa a>0，a≠1 的值.
③负数与零有没有对数？
④alogaN＝N与logaab＝b a>0，a≠1 是否成立？
讨论结果：①这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log(－2)；
若a＝0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；
若a＝1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值．综之，就规定了a＞0且a≠1.
②loga1＝0，logaa＝1.
因为对任意a＞0且a≠1，都有a0＝1，所以loga1＝0.
同样易知：logaa＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.
③因为底数a＞0且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数．
④因为ab＝N，所以b＝logaN，ab＝alogaN＝N，即alogaN＝N.
因为ab＝ab，所以logaab＝b.故两个式子都成立．(alogaN＝N叫对数恒等式)
思考
我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？
活动：同学们阅读课本的内容，教师引导，板书．
解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫作常用对数．为了简便，N的常用对数log10N简记作lg N.
例如：log105简记作lg 5；log103.5简记作lg 3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以 ( http: / / www.21cnjy.com )无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作ln N.
例如：loge3简记作ln 3；loge10简记作ln 10.
思路1
1将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；(2)3－3＝；(3)＝16；(4)5a＝15.
活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题．
对(1)根据指数式与对数式的关系，4在指数位置上，4是以5为底625的对数．
对(2)根据指数式与对数式的关系，－3在指数位置上，－3是以3为底的对数．
对(3)根据指数式与对数式的关系， 在指数位置上，是以8为底16的对数．
对(4)根据指数式与对数式的关系，a在指数位置上，a是以5为底15的对数．
解：(1)log5625＝4；(2)log3＝－3；(3)log816＝；(4)a＝log515.
思考?指数式与对数式的互化应注意哪些问题？
活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幂的关系，特别是位置的对照．
解答：若是指数式化为对数式，关键要 ( http: / / www.21cnjy.com )看清指数是几，再写成对数式．若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式．最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据．
例2 求下列各式的值：
(1)log525；(2)；(3)3log310；(4)ln 1；(5)log2.52.5.
活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解．
解：(1)因为52＝25，所以log525＝2.
(2)因为－5＝32，所以＝－5.
(3)设3log310＝N，则log3N＝log310，所以N＝10，即3log310＝10.
(4)因为e0＝1，所以ln 1＝0.
(5)因为2.51＝2.5，所以log2.52.5＝1.
点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．
例3 将下列对数式写成指数式．
(1)＝－4；(2)log3243＝5；(3)＝3；(4)lg 0.1＝－1.
活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上．
解：根据指数式与对数式的关系，得(1)－4＝16；(2)35＝243；(3)3＝；(4)10－1＝0.1.
点评：对数的定义是指数式与对数式互化的根据．
思路2
例1 以下四个命题中，属于真命题的是( )．
(1)若log5x＝3，则x＝15
(2)若log25x＝，则x＝5
(3)若logx＝0，则x＝
(4)若log5x＝－3，则x＝
A．(2)(3) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(3)(4)
活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．
对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果．
对于(1)，因为log5x＝3，所以x＝53＝125，错误；
对于(2)，因为log25x＝，所以x＝＝5，正确；
对于(3)，因为logx＝0，所以x0＝，无解，错误；
对于(4)，因为log5x＝－3，所以x＝5－3＝，正确．
总之(2)(4)正确．
答案：C
点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据．
例2 对于a＞0，a≠1，下列结论正确的是( )．
(1)若M＝N，则logaM＝logaN (2)若logaM＝logaN，则M＝N
(3)若logaM2＝logaN2，则M＝N (4)若M＝N，则logaM2＝logaN2
A．(1)(3) B．(2)(4)
C．(2) D．(1)(2)(4)
活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．
回想对数的有关规定．
对(1)若M＝N，当M为0或负数时logaM≠logaN，因此错误；
对(2)根据对数的定义，若logaM＝logaN，则M＝N，正确；
对(3)若logaM2＝logaN2，则M＝±N，因此错误；
对(4)若M＝N＝0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误．
综上，(2)正确．
答案：C
点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．
例3 计算：
(1)log927；(2)81；(3)log(2＋)(2－)；(4)log625.
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答 ( http: / / www.21cnjy.com )，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法．
解法一：(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，所以x＝.
(2)设x＝，则()x＝81,＝34，所以x＝16.
(3)令x＝log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1，
所以(2＋)x＝(2＋)－1，x＝－1.
(4)令x＝，所以()x＝625,＝54，x＝3.
解法二：(1)log927＝log933＝＝.
(2)＝()16＝16.
(3)log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.
(4)＝()3＝3.
点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据．
1．把下列各题的指数式写成对数式：
(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝；(7)－2＝16.
解：(1)2＝log416；(2)0＝log31；(3)x＝log42；(4)x＝log20.5；(5)4＝log5625；(6)－2＝log3；(7)－2＝.
2．把下列各题的对数式写成指数式：
(1)x＝log527；(2)x＝log87；(3)x＝log43；(4)x＝log7；
(5)log216＝4；(6)＝－3；(7)logx＝6；(8)logx64＝－6；
(9)log2128＝7；(10)log327＝a.
解：(1)5x＝27；(2 ( http: / / www.21cnjy.com ))8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝；(5)24＝16；(6)－3＝27；(7)()6＝x；(8)x－6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.
3．求下列各式中x的值：
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；(3)log2(log5x)＝1；(4)log3(lg x)＝0.
解：(1)因为log8x＝－，
所以x＝＝＝＝2－2＝；
(2)因为logx27＝，
所以＝27＝33，即x＝＝34＝81；
(3)因为log2(log5x)＝1，
所以log5x＝2，x＝52＝25；
(4)因为log3(lg x)＝0，
所以lgx＝1，即x＝101＝10.
4．(1)求log84的值；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
解：(1)设log84＝x，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，
所以x＝，即log84＝；
(2)因为loga2＝m，loga3＝n，根据对数的定义有am＝2，an＝3，
所以a2m＋n＝(am)2·an＝(2)2·3＝4×3＝12.
点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．
请你阅读课本，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础．
(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．
1．将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值．
(1)＝；(2)log4＝x；(3)3x＝；
(4)x＝64；(5)lg 0.000 1＝x；(6)ln e5＝x.
解：(1)＝化为对数式是log5＝－；
(2)x＝log4化为指数式是()x＝4，即＝22，＝2，x＝4；
(3)3x＝化为对数式是x＝log3，
因为3x＝3＝3－3，所以x＝－3；
(4)x＝64化为对数式是x＝，
因为x＝64＝43，所以x＝－3；
(5)lg 0.000 1＝x化为指数式是10x＝0.000 1，
因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x＝－4；
(6)ln e5＝x化为指数式是ex＝e5，
因为ex＝e5，所以x＝5.
2．计算＋的值．
解：设x＝log3，则3x＝，(3)x＝()，所以x＝log.
所以＋＝＋＝＋＝.
3．计算alogab·logbc·logcN(a＞0，b＞0，c＞0，N＞0)．
解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．
(设计者：路致芳)教学设计
换底公式
导入新课
思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教师直接点出课题．
思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．
思路3.从对数的定义可以知道，任意 ( http: / / www.21cnjy.com )不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．
推进新课
活动：学生针对提出的问题， ( http: / / www.21cnjy.com )交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．
讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.
不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1，
100．301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x＝0.477 1，x＝＝.
因此log23＝＝≈1.585 1.
②根据①我们看到，最后的结果是 ( http: / / www.21cnjy.com )log23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，
不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，
两边都取以a为底的对数，得
loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝，也就是log23＝.
这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．
③证明logab＝.
证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；
两边取c为底的对数，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；
所以x＝，即logab＝.
一般地，logab＝(a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)称为对数换底公式．
④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN.
⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．
⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．
说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝，
即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01，
所以x＝log1.01＝＝≈＝32.883 7≈33年．
可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．
思路1
例1计算：(1)log927；(2)log89·log2732.
活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．
(1)解：log927＝＝.
(2)解法一：log89·log2732＝·＝·＝.
解法二：log89·log2732＝·＝·＝.
解法三：log89·log2732＝·＝·＝.
点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．
例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：
log248；log310；log8π；log550；log1.0822.
解：log248＝5.585；log ( http: / / www.21cnjy.com )310＝2.096；log8π≈0.550；log550＝2.431；log1.0822＝8.795.
例3 (1)证明＝1＋logab；
(2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，
求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ.
活动：学生思考、讨论，教 ( http: / / www.21cnjy.com )师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．
(1)证法一：设logax＝p，logabx＝q，logab＝r，
则x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，从而p＝q(1＋r)．
因为q≠0，所以＝1＋r，即＝1＋logab(获证)．
证法二：左边＝＝＝logaab＝1＋logab＝右边．
(2)证明：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，
所以由换底公式得＝＝…＝＝λ.
由等比定理，所以＝λ.所以＝λ.
所以loga1a2…an(b1b2…bn)＝＝λ.
点评：在解题过程中，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．
例4 一种放射性物质不断变化为其他 ( http: / / www.21cnjy.com )物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．
活动：学生审题，教师引导，学生交流，展 ( http: / / www.21cnjy.com )示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.则
经过1年，剩留量是y＝0.84；
经过2年，剩留量是y＝0.842；
……
经过x年，剩留量是y＝0.84x.
方法一：根据函数关系式列下表．根据表内数据描点画出函数的图像．
x 0 1 2 3 5 …
y＝0.84x 1 0.84 0.71 0.59 0.42 …
从图中观察，y≈0.5时对应有x＝4，
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．
方法二：依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算得
x＝log0.840.5＝＝3.98，
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．
图2
点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．
思路2
例1 (1)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
(2)若log83＝p，log35＝q，求lg 5.
活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．
解：(1)因为log23＝a，则＝log32，又因为log37＝b，
所以log4256＝＝＝.
(2)因为log83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p.
所以log32＝.
又因为log35＝q，所以lg5＝＝＝.
点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.
变式训练
已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
解：因为log189＝a，所以log18＝1－log182＝a.所以log182＝1－a.
因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log3645＝＝＝.
点评：在解题过程中，根据问题的需要，指 ( http: / / www.21cnjy.com )数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.
例2 设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z.
(1)求证：＋＝；(2)比较3x,4y,6z的大小．
活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题 ( http: / / www.21cnjy.com )目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x，y，z表示出来，根据对数的定义把3x＝4y＝6z转化为指数式，求出x，y，z，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．
(1)证明：设3x＝4y＝6z＝k，因为x，y，z∈(0，＋∞)，所以k＞1.
取对数，得x＝，y＝，z＝，
所以＋＝＋＝＝＝＝，
即＋＝.
(2)解：因为3x－4y＝lg k＝lg k＝＜0，
所以3x＜4y.
又因为4y－6z＝lg k＝lg k＝＜0，
所以4y＜6z.所以3x＜4y＜6z.
点评：如果题目中有指数式，常根 ( http: / / www.21cnjy.com )据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．
例3 已知logax＝logac＋b，求x.
活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式来解．
解法一：由对数定义，可知x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab.
解法二：由已知移项可得logax－logac＝b，即loga＝b，由对数定义，知＝ab，
所以x＝c·ab.
解法三：因为b＝logaab，所以logax＝logac＋logaab＝logac·ab.
所以x＝c·ab.
点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．
(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则等于( )．
A. B.
C. D.
(2)已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )．
A．1 B．4
C．1或4 D．4或－1
(3)若3a＝2，则log38－2log36＝__________.
(4)lg 12.5－lg＋lg 0.5＝__________.
答案：(1)C (2)B (3)a－2 (4)1
探究换底公式的其他证明方法：
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．
证法一：设logaN＝x，则ax＝N，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcax＝logcN，
所以xlogca＝logcN，即x＝.故logaN＝.
证法二：由对数恒等式，得N＝alo ( http: / / www.21cnjy.com )gaN，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝.
证法三：令logca＝m，logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.
两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN，
所以n＝，即logaN＝.
对数换底公式的应用：换底公式 ( http: / / www.21cnjy.com )logaN＝(c＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：
例：化简：＋＋＋.
解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.
1．对数换底公式．
2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明． ( http: / / www.21cnjy.com )若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．
1．已知＝a，＝b，求log81175的值．
解：因为＝log277＝log37＝a，
所以log37＝3a.
又因为＝log35＝b，
所以log81175＝log325×7＝(log325＋log37)＝(2log35＋log37)＝.
2．求证：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9＝.
证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9
＝
＝nlog23·log3＝log23·log32＝＝右边．
本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的 ( http: / / www.21cnjy.com )学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．
【备选例题】
【例1】 化简：···.
解：原式＝···＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4.
【例2】 求证：logab＝(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)．
证法一：logab＝＝.
证法二：＝＝logab.
【例3】 试证：＋＋＋…＋＝.
证明：＋＋＋…＋＝logx(2×3×4×…×n)
＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn！＝.
对数的创立
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学 ( http: / / www.21cnjy.com )中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，….
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，….
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1 ( http: / / www.21cnjy.com )614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．
(设计者：刘菲)教学设计
对数及其运算
导入新课
思路1.上节课我们学习了以下内容：
1．对数的定义．
2．指数式与对数式的互化．
ab＝NlogaN＝b.
3．重要公式：
(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.
下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕
思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则．
am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝.
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．
推进新课
1 在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
2 如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？
3 在上述 2 的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？? 4 你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.
5 上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？
6 上述结论能否推广呢？
7 学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？
讨论结果：(1)通过问题 (2)来说明．
(2)如am·an＝am＋n，设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到
M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，
MN＝am＋nm＋n＝logaMN，
logaMN＝logaM＋logaN.
因此m＋n可以用对数式表示．
(3)令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga.
又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝loga，
即loga＝logaM－logaN.
设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义，
所以logaM＝m，logaMn＝mn.
所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.
这样我们得到对数的三个运算性质：
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有
loga(MN)＝logaM＋logaN，①
loga＝logaM－logaN，②
logaMn＝nlogaM(n∈R)．③
(4)以上三个性质可以归纳为：
性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；
性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．
(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.
(6)性质①可以推广到n个数的情形：
即loga(M1M2M3…Mn)＝log ( http: / / www.21cnjy.com )aM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1M2M3…Mn均大于0)．
(7)纵观这三个性质我们知道，
性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
性质③从左往右仍然是降级运算．
利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．
思路1
例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.
活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．
利用对数的运算性质，把整体分解成部分．
对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积．
对(2)(3)可先利用性质2，转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积．
解：(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－logay－logaz.
(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.
点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算．
变式训练
1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为( )．
①logax·logay＝loga(x＋y) ②logax－logay＝loga(x－y)
③loga＝logax÷logay ④loga(xy)＝logax·logay
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N＋，下列式子正确的个数为( )．
①(logax)n＝nlogax ②(logax)n＝logaxn ③logax＝－loga
④＝loga ⑤＝logax ⑥logax＝loga
⑦logaxn＝nlogax ⑧loga＝－loga
A． 3 B．4 C．5 D．6
答案：B
例2 计算：
(1)log3(92×35)；(2).
活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性．
解：(1)log3(92×35)＝log392＋log335＝log334＋5log33＝4＋5＝9；
(2)lg ＝lg 102＝×2＝.
例3 计算：
(1)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18； (2)； (3).
解：(1)解法一：lg 14－2lg ( http: / / www.21cnjy.com )＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
解法二：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0.
(2)＝＝＝.
(3)＝＝＝.
点评：此例题体现对数运算性质的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com )，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视．
例4 科学家以里氏震级来度 ( http: / / www.21cnjy.com )量地震的强度．若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得
因此0.6(lg I2－lg I1)＝0.9，
即lg＝1.5.
所以＝101.5≈32.
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．
思路2
例1 求下列各式的值．
(1)log525；(2)log0.41；(3)log2(47×25)；(4)lg.
解法一：(1)log525＝log552＝2；
(2)log0.41＝0；
(3)log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19；
(4)lg＝lg 102＝lg 10＝.
解法二：(1)设log525＝x，则5x＝25＝52，所以x＝2；
(2)设log0.41＝x，则0.4x＝1＝0.40，所以x＝0；
(3)log2(47×25)＝log2(214×25)＝log2219＝19，
或log2(47×25)＝log247＋log225＝7log222＋log225＝2×7＋5＝19；
(4)设lg＝x，则10x＝＝，所以x＝.
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式．
例2 计算：(1)2log510＋log50.25；(2)2log525＋3log264；(3)log2(log216)．
解：(1)因为2log51 ( http: / / www.21cnjy.com )0＝log5102＝log5100，所以2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log552＝2log55＝2；
(2)因为2log525＝2log552＝4log55＝4,3log264＝3log226＝18log22＝18，
所以2log525＋3log264＝22；
(3)因为log216＝log224＝4，所以log2(log216)＝log24＝log222＝2.
点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用．
例3 计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可 ( http: / / www.21cnjy.com )以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．
(1)解法一：lg－lg＋lg＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
解法二：lg－lg＋lg＝lg－＋lg 7
＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)解法一：lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
解法二：lg 52＋lg 8＋lg 5·l ( http: / / www.21cnjy.com )g 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(1－lg 5)2
＝2lg 10＋lg 5[2(1－lg 5)＋lg 5]＋(1－lg 5)2＝2＋lg 5(2－lg 5)＋(1－lg 5)2
＝2＋2lg 5－(lg 5)2＋1－2lg 5＋(lg 5)2＝3.
(3)解法一：＝
＝＝＝.
解法二：＝
＝＝＝.
点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将 ( http: / / www.21cnjy.com )真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值．
例4 已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
活动：学生思考观察，教师引导 ( http: / / www.21cnjy.com )，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a，b，c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a＝4b＝6c＝k(k＞0)，则a，b，c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．
证法一：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞0.由对数的定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
则左边＝＋＝＋＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36，
右边＝＝＝2logk6＝logk36，所以＋＝.
证法二：对3a＝4b＝6c同时两边取常用对数得lg 3a＝lg 4b＝lg 6c，alg 3＝blg 4＝clg 6.
所以＝＝log63，＝＝log64.又＋＝log6(9×4)＝2，所以＋＝.
点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．
1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：
(1)loga；(2)loga；(3)loga()；(4)loga；
(5)loga；(6)loga3.
解：(1)loga＝loga－logay2z＝logax－(2logay＋logaz)
＝logax－2logay－logaz；
(2)loga＝logax＋loga＝logax＋(logaz3－logay2)
＝logax－logay＋logaz＝logax－logay＋logaz；
(3)loga()＝logax＋logay＋＝logax＋logay－logaz；
(4)loga＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)
＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；
(5)loga＝loga＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；
(6)loga[]3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．
2．已知f(x6)＝log2x，则f(8)等于( )．
A. B．8 C．18 D.
分析：因为f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得x＝＝，所以f(8)＝＝.
解析：因为f(x6)＝log2x＝log2x6，所以f(x)＝log2x.
所以f(8)＝log28＝log223＝.
答案：D
已知x，y，z＞0，且lg x＋lg y＋lg z＝0，求··的值．
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.
解：令··＝t，则
lg t＝lg x＋lg y＋lg z
＝＋＋＋＋＋＝＋＋
＝＋＋＝－3，
所以t＝10－3＝即为所求．
1．对数的运算法则．
2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．
3．对数与指数形式比较：
式子 ab＝N logaN＝b
名称 a——幂的底数b——幂的指数N——幂值 a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数
运算性质 am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn(a＞0，a≠1，m、n∈R) loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)
习题3—4 A组6,7,8.
在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：卢岩冰)
