本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教学设计
§5 对数函数
[]
教学分析
有了学习指数函数的图像和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图像和性质的研究便水到渠成．
对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结合，帮助学生理解．
为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和y＝的图像，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图像，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图像和性质．
研究了对数函数的图像和性质之后，可以将对数函数的图像和性质与指数函数的图像和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图像和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备．
三维目标
1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
2．能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识．
3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力．[]
重点难点
教学重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．
课时安排
3课时
5．1 对数函数的概念
导入新课
思路1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝P估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝P都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y＝logax是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数的概念．
思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数的概念．
推进新课
①用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？
②你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？
③为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1
④你能求出对数函数的定义域、值域吗？
⑤如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．
活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．
讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x＝，漂洗2次存留污垢x＝2，…，漂洗y次后存留污垢x＝y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y＝，当x＝时，y＝3，因此至少要漂洗3次．
(2)对于式子y＝，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：
函数y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)叫作对数函数，对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
(3)根据对数与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.
(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．
(5)只有形如y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫作对数函数，
即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)有什么关系？
指数函数y＝ax和对数函数x＝logay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数．其定义域是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数x＝logay是指数函数y＝ax的反函数，指数函数y＝ax是对数函数x＝logay的反函数．
由于对数函数通常写成y＝logax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
思路1
例1 (1)计算对数函数y＝log2x对应于x取1,2,4时的函数值；
(2)计算常用对数函数y＝lg x对应于x取1,10,100,0.1时的函数值．
解：(1)当x＝1时，y＝log2x＝log21＝0，当x＝2时，y＝log2x＝log22＝1，当x＝4时，y＝log2x＝log24＝2.
(2)当x＝1时，y＝lg x＝lg 1＝0，当x＝10时，y＝lg x＝lg 10＝1，当x＝100时，y＝lg x＝lg 100＝2，当x＝0.1时，y＝lg x＝lg 0.1＝－1.
例2 写出下列对数函数的反函数：
(1)y＝lg x；(2)y＝.
活动：我们知道对数函数与指数函数互为反函数．同学们只要把握住这一点就不难解决问题．
解：(1)对数函数y＝lg x，它的底数是10，它的反函数是指数函数y＝10x；
(2)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝x.
例3 写出下列指数函数的反函数：
(1)y＝5x；(2)y＝x.
活动：学生审题，教师提示强调，指数函数与对数函数互为反函数．
解：(1)指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝log5x；
(2)指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
点评：深刻理解对数的定义是解题的关键．
思路2
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝logx＋1(16－4x)；(2)y＝log3x－1.
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数函数的定义及y＝logax的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有分式及对数和指数式，且底数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；分母不为零；零和负数没有对数；底数不为1等；转化为不等式来解．
解：(1)要使函数有意义，需即
所以函数的定义域为{x|－1＜x＜2，且x≠0}．
(2)要使函数有意义，需解得所以函数的定义域为{x|x＞1}．
例2 求证：函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．判断函数的奇偶性，一般用定义法，学生回忆判断函数奇偶性的方法，要按规定的格式来写．
证明：设f(x)＝lg(－x)，由－x＞0，
得x∈(－∞，＋∞)，即函数的定义域为(－∞，＋∞)，它关于原点对称，
又对于定义域(－∞，＋∞)内的任意的x，
都有f(－x)＝lg(＋x)＝lg(＋x)＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，所以函数y＝lg(－x)是奇函数．
点评：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论．
求下列函数的定义域：
(1)f(x2－2)＝lg；(2)y＝.
解：(1)设x2－2＝t，则x2＝2＋t，所以＝.所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg.
因为x2≥0，所以t＝x2－2≥－2，又＞0，所以t＞3.
所以所求函数定义域为{x|x＞3}．
(2)要使函数有意义需得得
所以所求函数定义域为{x|－2≤x＜或＜x＜0或1＜x＜或＜x≤2}．
[]
在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，y＝，y＝log2x，y＝的图像，比一比，看它们之间有何区别与联系．
活动：教师引导学生回顾作函数图像的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图像及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图像．
图1
可以看到：所有图像都跨越一、四象限，任何两个图像都是交叉出现的，交叉点是(1,0)；
当a＞1时，图像向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小，在点(1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．
当0＜a＜1时，图像向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．
以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．[]
怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图像相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．[]
同时，根据不同图像间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．
除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．
如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，所以log1.50.5＜log0.50.3.
又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，
所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.
1．对数函数的概念．
2．对数函数的反函数．
习题3—5 A组 1,2,3.
本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图像，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图像和性质后，要与指数函数的图像和性质进行比较，加深对数函数的概念的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：郝云静)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教学设计
对数函数的图像和性质(2)
导入新课
思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数．
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用对数函数的图像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
推进新课
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图像.
②通过图像探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
④探索y＝2x与x＝log2y的图像间的关系.
⑤探索y＝2x与y＝log2x的图像间的关系.
⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系.
讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 1 2 4 8 …
y＝log2x.
y … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x … 1 2 4 8 …
图像如图7.
图7
②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫作函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．
④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y是同一个函数图像．
⑤通过观察图像可知，y＝2x与y＝log2x的图像关于直线y＝x对称．
⑥通过②与⑤类比，归纳知道，y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0且a≠1)，且它们的图像关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
1 用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像：①y＝log3x；②y＝log2x；③y＝log5x.
2 从图像上观察它们之间有什么样的关系？
3 函数y＝logax，a＞1时，a的变化对图像有何影响？
4 函数y＝logax，0＜a＜1时，a的变化对图像有何影响？
活动：学生动手画出函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．
学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点．
讨论结果：(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log2x，y＝log5x的图像间有如下关系：都过(1,0)点，都在y轴右边，都是定义域上的增函数，不同的是函数增长的速度不同．
(3)y＝logax，a＞1时，a越大，函数增长得越慢，向右离x轴越近，向下离y轴越近．
(4)y＝logax,0＜a＜1时，a越小，向右离x轴越近，向上离y轴越近．
例1 观察在同一坐标系内函数y＝log2x与y＝2x的图像，分析它们之间的关系．
活动：学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像，要抓住关键点和关键步骤，教师指点、引导学生动手、动脑，注意观察的方法．
解：图9是函数y＝log2x与y＝2x的图像．从图像上可以看出，函数y＝log2x与函数y＝2x的图像关于直线y＝x对称．事实上，函数y＝log2x与函数y＝2x互为反函数，对应于函数y＝log2x的图像上的任一点P(a，b)，P点关于直线y＝x的对称点Q(b，a)总在函数y＝2x的图像上．[]
图9
例2 课本例7.
活动：学生仔细阅读题目，分析问题的实际意义．列出数学模型，从而达到解决问题的目的．
解：因为14C的半衰期是5 730年．所以建立方程＝e－5 730r.
解得r＝0.000 121，由此可知14C的衰减规律服从指数型函数
C(t)＝C0e－0.000 121t.
设发现Hammurbi王朝木炭的时间(1950年)为t0年．
因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以＝.
于是e－0.000 121t0＝.
两边取自然对数，得－0.000 121 t0＝ln 4.09－ln 6.68，解得t0≈4 054(年)．
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年．
例3 若1＜x＜2，比较(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log2(log2x)小于0，只要比较(log2x)2与log2x2的大小即可．
解：log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.[]
解法一：因为log2x2－(log2x)2＝log2x·(2－log2x)＝log2x·log2，
又因为1＜x＜2，所以1＜x＜.
所以log2＞0，log2x＞0.所以log2x2＞(log2x)2＞0.
又因为log2x＜1，log2(log2x)＜0，所以log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
解法二：因为(log2x)2－log2x2＝(log2x)2－2log2x＋1－1＝(log2x－1)2－1，
又1＜x＜2，所以0＜log2x＜1，即0＜(log2x)2＜1.因此(log2x－1)2－1＜0.
又log2(log2x)＜0，故log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
点评：比较数的大小方法：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．[]
③计算出每个数的值，再比较大小．
④若是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图像法．
⑥利用函数的单调性．
已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N等于( )．
A．
B．{x│0＜x＜3}
C．{x│1＜x＜3}
D．{x│2＜x＜3}
答案：D[]
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝loga(x－3a)与f2(x)＝loga(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．
(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．
活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的定义解题．
解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，所以0＜a＜1.
(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|.
令|f1(x)－f2(x)|≤1，
得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1.①
因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，
所以g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．
从而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)．
于是①成立，当且仅当
解此不等式组得0＜a≤.
故当0＜a≤时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是接近的；
当a＞且a≠1时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是非接近的．
1．互为反函数的概念及其图像间的关系．
2．对数函数图像的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图像与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指、对数函数图像性质对比．
习题3—5 B组1,2,3,4.
学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图像和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图像的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
【备用习题】
1．f(x2－3)＝loga(a＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．
活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．
解：∵f(x2－3)＝loga，
∴f(x)＝loga.由＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．
又∵f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论．
2．已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f(x)＝lg(ax－bx)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg 2，求a，b的值．
(1)解：由ax－bx＞0，得x＞1.
因为a＞b＞0，
所以＞1.
所以y＝x是增函数．而且由x＞1得x＞0，
即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．[]
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
因为a＞1，所以g1(x)＝ax是增函数．所以ax1－ax2＜0，
(ax1－ax2)－(bx1－bx2)＜0，
即(ax1－bx1)－(ax2－bx2)＜0.因此0＜ax1－bx1＜ax2－bx2，
于是lg(ax1－bx1)＜lg(ax2－bx2)，故f(x)＝lg(ax－bx)在(0，＋∞)内是增函数．
(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x∈(1，＋∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．
要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0.
于是f(1)＝lg(a－b)＝0，得a－b＝1.
又f(2)＝lg 2，所以lg(a2－b2)＝lg 2.
所以a2－b2＝2，即(a＋b)(a－b)＝2.
而a－b＝1，所以a＋b＝2.
由解得经检验知a＝，b＝为所求．
点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教学设计
y＝log2x的图像和性质
对数函数的图像和性质(1)
导入新课
思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．
这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．
推进新课
下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．
方法一：描点法．
先列出x，y的对应值表如下：
x … 1 2 4 8 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 …
再用描点法画出图像如图2.
图2
方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．
由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．
用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．
(1) (2)[]
图3 图4
习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．
观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．
a＞1 0＜a＜1
图像
性质[][] (1)定义域：(0，＋∞)[][] (1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
(5)是(0，＋∞)上的增函数 (5)是(0，＋∞)上的减函数
1 根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？
2 判断函数的单调性有哪些方法和步骤？
3 判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．
问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．
问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
讨论结果：(1)比较数的大小：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图像法．
⑥利用函数的单调性．
(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．
利用定义证明单调性的步骤：
①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.
②作差或作商(同号数)，注意变形．
③判断差的符号，商与1的大小．
④确定增减性．
对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．
又简称为口诀“同增异减”．
(3)有两种方法：定义法和图像法．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
图像法：
偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．
思路1
例1 比较下列各组数中的两个值的大小：
(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图像，如图5.
图5
在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，
所以log24.7＜log25.3.
解法二：由函数y＝log2x在R＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，
所以log24.7＜log25.3.
(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.
(3)解法一：因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，
所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.
解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.
(4)解法一：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2.
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.
变式训练
比较log20.7与log0.8两值的大小．
解：考查函数y＝log2x.
因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝logx，
因为0＜＜1，所以函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数．
又1＞0.8，所以log0.8＞log1＝0.所以log20.7＜0＜log0.8.
点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y＝logax的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．
解：(1)要使函数有意义，则需x2＞0，即x≠0，所以定义域为{x|x≠0}；
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数定义域为{x|x＜4}．
点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．
思路2
例1 已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法．
解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxx.
(1)当0＜x＜1时，若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；若x≥1，即x≥，这与0＜x＜1相矛盾．
(2)当x＞1时，若x＞1，即x＞，此时logxx＞0，即x＞时，f(x)＞g(x)；
若x＝1，即x＝，此时logxx＝0，即x＝时，f(x)＝g(x)；
若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，即1＜x＜时，f(x)＜g(x)．
综上所述，当x∈(0,1)∪时，f(x)＞g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈时，f(x)＜g(x)．
点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.
变式训练
已知logm5＜logn5，比较m，n的大小．
活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为＜，由已知条件知道m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m，n的大小关系．
解：因为logm5＜logn5，所以＜.
①当m＞1，n＞1时，得0＜＜，
所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1.
②当0＜m＜1,0＜n＜1时，得＜＜0，
所以log5n＜log5m.所以0＜n＜m＜1.
③当0＜m＜1，n＞1时，得log5m＜0，log5n＞0，
所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n.
综上所述，m，n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.
点评：分类讨论是解题的关键.
例2 求函数y＝log2(x2－x－6)的单调区间，并证明．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1＜x2；②通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；③再归纳结论．
解法一：由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(x－x1－6)－log2(x－x2－6)＝log2＝log2.
因为x1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0.所以＞1.
所以log2＝log2＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(－∞，－2)上是减函数．
同理，函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(3，＋∞)上是增函数．
解法二：令u＝x2－x－6，则y＝log2u.
因为y＝log2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；
当u为x的减函数时，y为x的减函数．
由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函数的图像，可知
当x∈(－∞，－2)时，u是x的减函数，
当x∈(3，＋∞)时，u是x的增函数．
所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，＋∞)．
点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是减函数．
1．函数y＝的定义域是( )．
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间．
3．求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间．
答案：1.要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D.
2．先求定义域：由x2－2x＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或x＞2.
因为函数y＝log0.3t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2－2x在定义域内的增区间．
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为(2，＋∞)．
3．先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0，所以x＜0或x＞4.
又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．
因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，
所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．
探究y＝logax的图像随a的变化而变化的情况．
用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图像，如图6.
图6
通过观察图像可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax的图像越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图像越远离x轴．
本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．
1．求函数y＝＋lg(5－2x)的定义域．
解：要使函数有意义，只需即解得1≤x＜.
所以函数的定义域是.
2．求函数y＝log(x2－2x－3)的单调区间，并用单调定义给予证明．
解：∵x2－2x－3＞0，∴x＞3或x＜－1.
单调减区间是(3，＋∞)，单调增区间是(－∞，－1)．
证明：设x1，x2∈(3，＋∞)且x1＜x2，则y1＝log(x－2x1－3)，y2＝log(x－2x2－3)，(x－2x1－3)－(x－2x2－3)＝(x2－x1)[2－(x1＋x2)]．
∵x2＞x1＞3，∴x2－x1＞0,2－(x1＋x2)＜0.
∴(x－2x1－3)＜(x－2x2－3)．又底数0＜＜1，
∴y1－y2＞0，即y1＞y2.∴y在(3，＋∞)上是减函数．
同理可证y在(－∞，－1)上是增函数．
3．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
解：因为a＞0且a≠1，
(1)当a＞1时，函数t＝2－ax＞0是减函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.
(2)当0＜a＜1时，函数t＝2－ax＞0是增函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，
所以0＜a＜1.由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.
综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.
本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．
(设计者：路致芳)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
