教学设计
§1 函数与方程
利用函数性质判定方程解的存在
教学分析
函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图像和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．
三维目标
1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．
2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．
3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和 ( http: / / www.21cnjy.com )认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．
重点难点
根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏 ( http: / / www.21cnjy.com )，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：
三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．
教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分 ( http: / / www.21cnjy.com )相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．
思路2.(事例导入)
(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？
炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如图1.
图1
思路3.(直接导入)
教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图像性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．
推进新课
①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.
②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.
③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.
④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？
⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？
⑥归纳函数零点的概念.
⑦怎样判断函数是否有零点？
⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：
①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．
图2 图3 图4
②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．
③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．
④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．
⑤对于其他函数这个结论正确吗？
⑥函数的零点是一个实数．
⑦可以利用“转化思想”．
⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？
讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.
②方程的实数根为1，图像如图3.
③方程没有实数根，图像如图4.
④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．
⑤一元二次方程根的个数，就 ( http: / / www.21cnjy.com )是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．
⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图像与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．
⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3 ( http: / / www.21cnjy.com )的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
思路1
例1 已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f(x)＝0无法解，故用定理法，判断f(－1)f(0)＜0是否成立．
解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝30－(0)2＝1＞0，
函数f(x)＝3x－x2的图像是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f(x)＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.
变式训练
1. 判断函数y＝|x－1|－2零点的个数．
解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，
图5
函数y＝|x－1|－2的图像与x轴有两个交点，所以函数y＝|x－1|－2有两个零点．
2．求证：函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法一：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，
所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根．所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法二：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0可化为(2x＋1)(x－2)＝0，
所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根x1＝2，x2＝－.
所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法三：因为函数f(x)＝2x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )3x－2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0)＝－2＜0，所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．如图6.
图6
点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．
方法：零点函数方程的根两图像的交点．
数学思想：转化思想和数形结合思想.
例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．
解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．
图7
所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
点评：这里说“若f(a)·f(b) ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.
变式训练
关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．
图8
解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．
因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，
所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.
即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．
只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.
思路2
例1 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求实数a的取值范围．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．
②用一般解法固然可以，若结合函数图像观察分析，可以找到捷径．
③有两种情况：a.a＝0；b.a≠0，Δ≥0.
解：令f(x)＝2ax2－x－1，
(1)当方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f (1)＜0或a≠0且Δ＝0，
由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a－2)＜0，所以a＞1.由Δ＝0，得1＋8a＝0，a＝－，
所以方程为－x2－x－1＝0，即x＝－2 (0,1)(舍去)．综上可得a＞1.
(2)当方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有两个解时，则
或
容易解得实数a不存在．
综合(1)(2)，知a＞1.
变式训练
若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，x＝0满足题意．
(2)当a≠0时，设f(x)＝ax2＋3x＋4a.
方法一：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则
∴∴0＜a≤.
综上(1)(2)，得0≤a≤.
方法二：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则
∴
即解得0＜a≤.
综上(1)(2)，得0≤a≤.
点评：有两种方法：(1)结合函数图像利用函数符号列不等式组．
(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.
例2 已知函数f(x)＝3x＋，
(1)判断函数零点的个数；
(2)找出零点所在区间.
解：(1)设g(x)＝3x，h(x)＝－，
作出它们的图像(图9)，两函数图像交点的个数即为f(x)零点的个数．
图9
所以两函数图像有且仅有一个交点，即函数f(x)＝3x＋有且仅有一个零点．
(2)因为f(0)＝－1，f(1)＝2.5，所以零点x∈(0,1)．
变式训练
证明函数f(x)＝2x＋4x－4有且仅有一个零点．
证明：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x －1 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) －7.5 －3 2 8 16 28 48 84 172
图10
由表和图10可知，f(0)＜0，f(1)＞0，
则f(0)f(1)＜0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点．下面证明函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．
设x1、x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝2x1＋4x1－4－ ( http: / / www.21cnjy.com )(2x2＋4x2－4)＝2x1－2x2＋4(x1－x2)＝2x2(2x1－x2－1)＋4(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0,2x1－x2－1＜0,2x2＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．
则函数f(x)＝2x＋4x－4有且仅有一个零点.
1．讨论函数y＝ex＋4x－4的零点的个数．
活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由．函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图像和性质．
(1)利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性．
(2)作出y＝ex和y＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )－4x的图像，把函数y＝ex＋4x－4的零点的个数转化为方程ex＝4－4x根的个数，再转化为上述两函数图像交点的个数．
解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x 0 1
f(x) －3 2.718 28
由表可知，f(0)＜0， ( http: / / www.21cnjy.com )f(1)＞0，则f(0)f(1)＜0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数，
图11
所以它仅有一个零点．
(方法二)作出y＝ex和y＝4－4x的图像(图11)，即可直观地看出零点的个数为1.
总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程；(2)画图像；(3)利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性；同时这些方法是有机联系的．
2．已知m∈R，设P：x1和x2是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范围．
解：由题意知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝.
当a∈[1,2]时，的最小值为3.
要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知得Q中：f(x)＝3x2＋2mx＋m＋的判别式Δ＝4m2－12＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.
综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8]．
问题：如果函数y＝f(x)在区间[ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内是否有零点？可能有几个零点？
活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图像进行探索分析：
①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？
解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数，
(1)可能没有零点如图12.
图12 图13
(2)可能有一个零点如图13.
(3)可能有两个零点如图14.
图14 图15
(4)可能有三个零点如图15.
(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．
点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．
本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．
学习方法：由特殊到一般的方法．
数学思想：转化思想、数形结合思想．
课本练习2、3.
本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话 ( http: / / www.21cnjy.com )题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图像性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．
[备选例题]
求下列函数的零点，并画出函数的图像．
(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．
活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．
解：(1)如图16，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.
(2)如图17，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，
解得x1＝，x2＝－，x3＝1，x4＝2.
所以所求函数的零点为，－，1,2.
图16 图17
(设计者：赵冠明)教学设计
利用二分法求方程的近似解
教学分析
求方程的解是常见的数学问题， ( http: / / www.21cnjy.com )这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
用二分法求方程的近似解．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估 ( http: / / www.21cnjy.com )算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一 ( http: / / www.21cnjy.com )个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如 ( http: / / www.21cnjy.com )，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
①解方程2x－16＝0.
②解方程x2－x－2＝0.
③解方程x3－2x2－x＋2＝0.
④解方程 x2－2 x2－3x＋2 ＝0.
⑤我们知道，函数f x ＝ln x＋2x－6在区间 2，3 内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？
⑦什么叫二分法？
⑧试求函数f x ＝ln x＋2x－6在区间 2，3 内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x＝8.
②x＝－1，x＝2.
③x＝－1，x＝1，x＝2.
④x＝－，x＝，x＝1，x＝2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一 ( http: / / www.21cnjy.com )定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x＝称为区间(a，b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
⑦对于在区间[a，b]上连续 ( http: / / www.21cnjy.com )不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
⑧因为函数f(x)＝ln x＋2x－6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝ln x＋2x－6的对应值表．
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．
同理，可得表(下表)与图像(如图1)．
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 －0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010
(2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
由于(2,3)?(2.5,3)? ( http: / / www.21cnjy.com )(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值．
⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
图1
1°确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε.
2°求区间(a，b)的中点c.
3°计算f(c)：
a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，c)〕；
c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕．
4°判断是否达到精度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°～4°.
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二 ( http: / / www.21cnjy.com )分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．
例1 求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解，精确到0.01.
解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．
经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．
取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0的实数解所在区间的表如下．
左端点 右端点
第1次 0 2
第2次 0 1
第3次 0.5 1
第4次 0.5 0.75
第5次 0.625 0.75
第6次 0.687 5 0.75
第7次 0.718 75 0.75
第8次 0.734 375 0.75
第9次 0.742 187 5 0.75
第10次 0.742 187 5 0.746 093 75
第11次 0.742 187 5 0.744 140 625
至此，可以看出，区间[0.742 ( http: / / www.21cnjy.com )187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．
点评：利用二分法求方程近似解的步骤：
①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；
②利用二分法求近似解.
变式训练
利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个近似解．(精确到0.1)
活动：教师帮助学生分析：
画出函数f(x)＝x2－2x－1的图像，如图2所示．
从图像上可以发现，方程x2－2x－1＝0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(－1,0)内．
根据图像，我们发现f(2)＝－1 ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，f(3)＝2＞0，这表明此函数图像在区间(2,3)上穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(2,3)上有唯一解．
图2
计算得f＝＞0，发现x1∈(2,2.5)(如图2)，这样可以进一步缩小x1所在的区间．
解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图像的简图，如图2.
因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，
所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x1＜2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5＜0，
所以2.25＜x1＜2.5.
如此继续下去，得f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2,3)，
f(2)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2,2.5)，
f(2.25)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2.25,2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.5)＞0x1∈(2.375,2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0x1∈(2.375,2.437 5)．
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.
点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
例2 利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．(精确到0.1)
活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．
分别画出y＝lg x和y＝3－x的图像，如图3所示．在两个函数图像的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图像可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．
图3
解：设f(x)＝lg x＋x－3，设x1为函数的零点即方程lg x＝3－x的解．
用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2,3)，
f(2.5)＜0，f(3)＞0x1∈(2.5,3)，
f(2.5)＜0，f(2.75)＞0x1∈(2.5,2.75)，
f(2.5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.5,2.625)，
f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.562 5,2.625)．
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为2.6.
例3 求方程ln x－2x＋3＝0在区间[1,2]内的根．(精确到0.1)
解：设f(x)＝ln x－2x＋3，则原方程的根为函数f(x)的零点．
设x1为函数的零点即方程ln x－2x＋3＝0的解．
因为f(1)＝1，f(2)＝－0.306 852 819，
所以f(1)f(2)＜0，即函数f(x)在[1,2]内有一个零点．根据二分法，用计算器得出以下表格：
x y
1 1
2 －0.306 852 819
3 －1.901 387 711
4 －3.613 705 639
5 －5.390 562 088
6 －7.208 240 531
7 －9.054 089 851
8 －10.920 558 46
(步长为1)
x y
1 1
1.5 0.405 465 108
2 －0.306 852 819
2.5 －1.083 709 268
3 －1.901 387 711
3.5 －2.747 237 032
4 －3.613 705 639
4.5 －4.495 922 603
(步长为0.5)
x y
1 1
1.25 0.723 143 551
1.5 0.405 465 108
1.75 0.059 615 787
2 －0.306 852 819
2.25 －0.689 069 783
2.5 －1.083 709 268
2.75 －1.488 399 088
(步长为0.25)
x y
1 1
1.125 0.867 783 035
1.25 0.723 143 551
1.375 0.568 453 731
1.5 0.405 465 108
1.625 0.235 507 815
1.75 0.059 615 787
1.875 －0.121 391 34
(步长为0.125)
x y
1.5 0.405 465 108
1.562 5 0.321 287 102
1.625 0.235 507 815
1.687 5 0.148 248 143
1.75 0.059 615 787
1.812 5 －0.030 292 892
1.875 －0.121 391 34
1.937 5 －0.213 601 517
(步长为0.062 5)
由上述表格可以得到下表与图像(图4)：
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.405 465 108
(1.5,2) 1.75 0.059 615 787
(1.75,2) 1.875 －0.121 391 34
(1.75,1.875) 1.812 5 －0.030 292 892
图4
因为f(1.75)＝0.059 615 787＞0，f(1.812 5)＝－0.030 292 892＜0，
所以区间[1.75,1.812 5]内的所有值若精确到0.1，都是1.8.
所以1.8是方程ln x－2x＋3＝0精确到0.1的实数解．
点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解．
②二分法，即逐渐逼近的方法．
③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易．
根据下表中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )．
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.0
x＋2 1 2 3 4 5
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
分析：设f(x)＝ex－x－2，f(1)＜0，f(2)＞0，即f(1)f(2)＜0，∴x∈(1,2)．
答案：C
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案：至少需要检查接点的个数为4.
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结．
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用．
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．
习题4—1 A组1,3.
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二 ( http: / / www.21cnjy.com )分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．
[备用习题]
求方程x3－3x－1＝0的一个正的近似解？(精确到0.1)
解：设f(x)＝x3－3x－1，设x1为函数的零点，即方程x3－3x－1＝0的解．
作出函数f(x)＝x3－3x－1的图像(图5)．
图5
因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x3－3x－1＝0有一个解，记为x1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x1＜2.
再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x1＜2.
如此继续下去，得
f(1)＜0，f(2)＞0x1∈(1,2)，
f(1.5)＜0，f(2)＞0x1∈(1.5,2)，
f(1.75)＜0，f(2)＞0x1∈(1.75,2)，
f(1.875)＜0，f(2)＞0x1∈(1.875,2)，
f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0x1∈(1.875,1.937 5)，
因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，
所以，1.9是方程x3－3x－1的实数解．
(设计者：张新军)
