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6.2.1 实数
【学习目标】
1．能用有理数估计一个无理数的大小。
2．掌握无理数、实数的概念。
3．初步掌握实数分类。
4．能对实数进行正确分类。
【学习重难点】
1．估计无理数的大小、实数的两种分类。
2．探究大小的过程。
【学习过程】
一、复习巩固
1．什么叫做有理数？有理数的两个分类分别是什么？
【答案】整数和分数统称有理数。有理数一般分为正有理数、0、负有理数。
2．是有理数吗？
【答案】不是有理数。
二、新知学习
1．什么叫做有理数？
【答案】整数和分数统称有理数。
2．什么叫做无理数？
【答案】无限不循环小数叫做无理数。
3．什么叫做实数？
【答案】有理数和无理数统称为实数。
4．实数的分类是怎样的？
【答案】
三、探究活动
1．探究无理数。
探索活动1：是个整数吗？为什么？
【答案】因为12=1<2,22=4>2,所以
1<<2
这说明不可能是整数。
探索活动2：那么，是一个分数吗？
【答案】根据分数的定义，即，分数是一个整数与另一个整数的比，因为不是整数，所以它也不是分数。
探索活动3：到底多大呢？利用无限逼近的方法将取近似值？
【答案】
在1和2之间的一位小数有1.1,1.2,……,1.9,那么在哪两个一位小数之间呢
因为1.42 =1.96 <2,1.52 =2.25 >2,所以
1.4 < <1.5.
同样,在1.4与1.5之间的两位小数有1.41,1.42，……1.49,那么在哪两个两位小数之间呢
因为1.412 = 1.9881 <2；1.42 2=2.016 4 >2,
所以 1.41 <<1.42.
类似地,可得
1.414 << 1.415.
……
归纳结论：
这是一个无限不循环小数，我们称这样的数是_____________。我们把有理数和无理数统称为____________________。
【答案】无理数。实数。
【达标检测】
1.下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数，根据无理数的概念（即无限不循环小数）判断即可．
【详解】A选项：，它不是无理数；
B选项：是无理数；
C选项：0不是无理数；
D选项：不是无理数．
故选：B
2．在四个数，0，，0.8中，绝对值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值及实数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及实数的大小比较是解题的关键；由题意得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴绝对值最大的是；
故选A．
3．下面各数中，不是无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了无理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：，π，都是无限不循环小数，它们均为无理数；
是有限小数，它不是无理数；
故选：C．
4.整数a，满足，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值．
【详解】解：，，而整数，满足，
，
，
故答案为：．
5．（2024上·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查实数比较大小．比较的方法是：两个负数，绝对值大的，其值反而小．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
6.有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）．
(1)属于整数的有 ．（填序号）
(2)属于负分数的有 ．（填序号）
(3)属于无理数的有 ．（填序号）
【答案】(1)④⑥
(2)②⑤
(3)③⑦
【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．
（1）根据有理数定义直接写即可；
（2）根据负分数的定义直接写即可；
（3）根据无理数的定义直接写即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴整数的有④⑥．
（2）解：∵，，
∴负分数的有②⑤．
（3）解：∵，，
∴无理数的有③⑦．
7.【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【详解】（1）∵，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为；
（2）∵、分别是的整数部分、小数部分，
∴，，
∴
，
，
，
．
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6.2.1 实数
【学习目标】
1．能用有理数估计一个无理数的大小。
2．掌握无理数、实数的概念。
3．初步掌握实数分类。
4．能对实数进行正确分类。
【学习重难点】
1．估计无理数的大小、实数的两种分类。
2．探究大小的过程。
【学习过程】
一、复习巩固
1．什么叫做有理数？有理数的两个分类分别是什么？
2．是有理数吗？
二、新知学习
1．什么叫做有理数？
2．什么叫做无理数？
3．什么叫做实数？
4．实数的分类是怎样的？
三、探究活动
1．探究无理数。
探索活动1：是个整数吗？为什么？
探索活动2：那么，是一个分数吗？
探索活动3：到底多大呢？利用无限逼近的方法将取近似值？
归纳结论：
这是一个无限不循环小数，我们称这样的数是_____________。我们把有理数和无理数统称为____________________。
【达标检测】
1.下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．在四个数，0，，0.8中，绝对值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
3．下面各数中，不是无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
4.整数a，满足，则 ．
5．（2024上·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）．
6.有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）．
(1)属于整数的有 ．（填序号）
(2)属于负分数的有 ．（填序号）
(3)属于无理数的有 ．（填序号）
7.【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
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