2023-2024学年四川省眉山市仁寿重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市仁寿重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.记等差数列的前项和为，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响这次比赛甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，
点、分别为、的中点则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数，那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”已知椭圆的方程为，中心在原点、焦点在轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.定义表示不超过的最大整数，例如：，，若，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率其中的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于，两点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在数列中，为的前项和，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点则以下结论正确的为( )
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线，成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 存在点使得面
11.已知事件、发生的概率分别为，，则( )
A. 若，则事件与相互独立
B. 若与相互独立，则
C. 若与互斥，则
D. 若发生时一定发生，则
12.已知圆：，下列说法正确的是( )
A. 过点作直线与圆交于，两点，则范围为
B. 过直线：上任意一点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点
C. 圆与圆：有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D. 圆上有个点到直线的距离等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于______．
14.已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列设为数列的前项和，则数列的前项和为______．
15.已知圆与圆：相交于、两点，则圆：上的动点到直线距离的最大值为______．
16.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点作直线与抛物线交于、两点，且，双曲线的左焦点到直线的距离大于，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
求线段的垂直平分线方程；
求圆的标准方程．
18.本小题分
已知斜率为的直线交抛物线于、两点，求证：
线段的中点在一条定直线上；
为定值为坐标原点，、分别为直线、的斜率．
19.本小题分
为了纪念年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响．
求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答正确这道题的概率．
20.本小题分
已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求：的值．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求证：数列是等比数列；
若数列满足，求数列的前项和．
22.本小题分
已知为椭圆的右焦点，，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于，两点不与，重合，记直线与的斜率分别为，．
证明：为定值；
若线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，故．
故选：．
由斜率与倾斜角的关系计算即可得．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：椭圆，可知，所以椭圆长轴长为．
故选：．
利用椭圆的标准方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由得，即，即，则，即，，
，
故选：．
根据等差数列的求和公式和通项公式即可求出．
本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，甲队战胜乙队包含两种情况：
甲连胜局，概率为，
前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，
则甲战胜乙的概率为．
故选：．
根据题意，甲战胜乙包含两种情况：甲连胜局，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率．
本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在四棱锥中，底面为正方形，底面，，
点、分别为、的中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：设椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
椭圆的方程为，
则，，，
故，
由题意可知，双曲线的离心率为，
设双曲线的长轴为，短轴为，焦距为，
则，即，
，即，
双曲线的焦点在轴上，
故双曲线的渐近线方程为．
故选：．
根据已知条件，结合椭圆、双曲线的性质，即可求解．
本题主要考查双曲线、椭圆的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
所以，
．
故选：．
由的定义，推得当，时，，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的求和公式，以及的含义，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意有四点共圆，
设点坐标为，
则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，
得切点所在直线方程为，
解得，
因为，
所以．
故选：．
根据题意、、、四点在以为直径的圆上，可设点坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点、所在直线方程，进而求得、两点坐标即可解决本题．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，，得，
于是，
则数列是以为周期的周期数列，
由，，得，，，，
因此，，，，以此类推，所以的取值仅有，，．
故选：．
根据给定的递推公式，计算可得数列的周期是，再求出前项，并依次计算，，，，即可得解．
本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，
所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，
，故A正确；
因为，故A与所成角等价于与所成角，
为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
故，
设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当为中点时，得面故D项正确．
故选：．
易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；当为中点时，得面．
本题考查线面平行的判定定理，线线角的求解问题，向量法求解线面角问题，属难题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，，则，
因为，所以，事件与相互独立，对；
对于，若与相互独立，则，
所以，对；
对于，若与互斥，则，错；
对于，若发生时一定发生，则，则，错．
故选：．
利用独立事件的定义可判断选项；利用并事件的概率公式可判断选项；利用互斥事件的概率公式可判断选项；分析可知，可判断出选项．
本题主要考查独立事件的定义，并事件的概率公式，以及互斥事件的概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为圆的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆内，
可得圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故B正确；
对于选项C：圆：的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为，故C 错误；
对于选项D：因为圆心到直线的距离，
作且，与的距离均为，如下图所示：
由图可知此时，，，到的距离均为，
所以圆上有个点到直线的距离等于，故D正确．
故选：．
：确定点位置，然后分析圆心到过点的直线的距离，结合确定出的范围；：设出点坐标，表示出以为圆心，为半径的圆的方程，根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出的方程，由此确定出所过的定点；：先确定出两圆的位置关系，然后得到两圆的半径与圆心距的关系，由此求解出结果；：先确定圆心到直线的距离然后结合图示进行说明．
本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在三棱锥中，是的中点，若，，，
则．
故答案为：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，
，，
，
．
故答案为：．
先设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式与等比数列的性质列出关于公差的方程，解出的值，然后计算出首项的值，即可计算出数列的前项和的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式与等比数列的性质的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：圆与圆的方程相减，
可得，即直线的方程为，
圆：的圆心为，半径，
点到直线的距离，
则圆上的动点到直线的距离的最大值为．
故答案为：．
先求出直线的方程，再利用点到直线距离公式求解．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，设直线的方程为，设点、
由消去得，，
由根与系数关系可得，
又，即，
所以，，
将代入得，将代入得，
再由解得，故直线的斜率为．
又抛物线的焦点是双曲线的右焦点，，所以，直线的方程即为．
由双曲线的左焦点到直线的距离，解得，即，
又，，即，
又，所以，双曲线的离心率．
故答案为：．
设直线的方程为，设点、联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合已知条件转化求解直线的斜率，求出双曲线的焦点坐标，求解直线方程，利用点到直线的距离，转化求解双曲线的离心率的范围即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题．
17.【答案】解：根据题意，设的中点为，
又由，，则，
又由，即，且，
则，
故AB的垂直平分线的方程为；
根据题意，设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，则有，即，
圆心为，，
故圆的标准方程为．
【解析】根据题意，设的中点为，分析有，即，求出的斜率，即可得答案；
根据题意，设圆的标准方程为，将的坐标代入直线的方程，可得的值，求出，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线方程的计算，属于基础题．
18.【答案】解：证明：不妨设直线方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
可得，
则线段的中点坐标为，
故线段的中点一定在直线上；
证明：因为
，
此时
，
故为定值，定值为．
【解析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式再进行求证即可；
先得到的表达式，根据斜率公式得到的表达式，再进行求证即可．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，
甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，
乙、丙两个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响，
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和．
有个家庭回答正确的概率为：
，
有个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于个家庭回答正确这道题的概率．
【解析】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，，则，，，由此能求出乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率．
先分别求出有个家庭回答正确的概率和有个家庭回答正确的概率，利用对立事件概率计算公式能求出不少于个家庭回答正确这道题的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：证明：因为平面，所以，
又为菱形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：过作交于，连，
因为平面，由三垂线定理可得，所以为的平面角
又，且
从而
所以，即．
【解析】根据线面垂直的判定，证明平面，利用面面垂直的判定，证明平面平面．
过作交于，连，则为的平面角，利用二面角的正切值为，即可求：的值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．
21.【答案】解：证明：由，时，，相减可得：，
，满足上式，时，，
数列是等比数列，首项与公比都为．
由可得：，，
时，，
时，，也满足上式．
数列满足，
数列的前项和．
【解析】由，时，，相减整理即可证明结论．
由可得：，时，，时，，也满足上式．利用裂项求和方法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：易知，，
不妨设，，
此时，，
则，
因为直线不与轴重合，
不妨设直线的方程为，
此时，
联立，消去并整理得，
易知，
由韦达定理得，，
所以，
则；
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
不妨设的中点为，
此时，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，
解得，
即，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
则．
故的取值范围为．
【解析】由题意，设出，两点的坐标，此时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，代入中即可得证；
设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式得到的表达式以及点的坐标，推出，代入化简再求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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