2023-2024学年上海市延安中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市延安中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实常数、，是为双曲线方程的______条件( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要
2.下列命题是假命题的是( )
A. 不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行
B. 如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直
C. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
D. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直
3.设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有______条( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题：
若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；
圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身；
若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；
一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
真命题的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若球的半径为，则其表面积为______．
6.已知向量，，，则 ______．
7.已知圆锥的底面直径为，高是，则母线长为______．
8.经过，两点的直线方程的一般式是______．
9.已知直线：恒过定点，则定点坐标是______．
10.方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
11.一个正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是______．
12.直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是______．
13.当点在圆上变动时，它与定点相连，线段的中点的轨迹方程是 ______．
14.已知双曲线方程，直线，在第一象限内与双曲线及渐近线围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______提示：利用祖暅原理
15.设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为______．
16.已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆：的圆心，点是椭圆上第三象限内的一点，过点作两条斜率之积为的直线都与圆相切时，点的坐标是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为．
求，之间的距离；
求直线的方程．
18.本小题分
已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点．
求圆的方程；
判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程．
19.本小题分
已知双曲线方程，渐近线方程为，并且经过点．
求双曲线方程；
设，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
求点到平面的距离；
在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知椭圆方程为，离心率为且过点．
求椭圆方程；
动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于、两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
过左焦点的直线交椭圆于、两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当表示双曲线时，则，
而当时，表示的是双曲线，
所以是为双曲线方程的充要条件．
故选：．
先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则根据线面平行的判定该直线与这个平面平行，故A正确；
对于，平面内的两条直线有可能是平行直线，这条直线也可能和平面不垂直，故B项不正确；
对于，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，根据面面平行的性质可知它们的交线平行，故C正确；
对，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理可知这两个平面垂直，故D正确．
故选：．
根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐项判断即可．
本题考查线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
3.【答案】
【解析】解：由题可设双曲线的方程为，
将点代入上式得：，
故双曲线的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意，
综上这样的直线共有条．
故选：．
首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可．
本题考查双曲线的方程和性质，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对，设点，则，
则的“伴随点”为，
即，不为点，错；
对，任取单位圆上一点，
则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆，对；
对，任取曲线关于轴对称的两点，，
则伴随点为，关于轴对称，对；
对，不妨取上的三个点，，，
对应的伴随点为，
由，故对应的伴随点不在一条线上，
故一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，错．
故选：．
对，由定义求得的“伴随点”，化简即可判断；对，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆；对，任取曲线关于轴对称的两点，判断其伴随点是否关于轴对称；对，任取不过原点的直线上的三点，验证其对应的伴随点不在一条线上．
本题考查了“伴随点”和“伴随曲线”的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：若球的半径为，则球的表面积．
故答案为：．
由球的表面积公式即可求得结果．
本题考查了球的表面积公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，解得．
故答案为：．
根据向量垂直得到方程，求出．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，设圆锥的底面的圆心为，
其轴截面如图：
则，高，
则该圆锥的母线．
故答案为：．
根据题意，作出该圆锥的轴截面，由勾股定理计算可得答案．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的轴截面，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得直线的斜率，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式方程为
故答案为：．
由两点求出斜率，写出点斜式，再化成一般式．
本题考查直线方程的求法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：令，即，可得，
所以直线：恒过定点．
故答案为：．
根据题意令，运算求解即可．
本题考查过定点问题，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：把方程配方得：，因为方程表示一个圆，
则，解得，则实数的取值范围是．
故答案为：．
根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于的不等式，解不等式即可．
本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，考查了正三棱锥的空间特征，考查了计算能力，属于基础题．
先求正三棱锥的底面三角形的高，然后求出正三棱锥的高，即可求出体积．
【解析】
解：正三棱锥的底面三角形的高为：，
三棱锥的高为：，
所以这个正三棱锥的体积：；
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，，
设直线的斜率为，因为，
当时，则，
当时，则
故倾斜角的范围为．
故答案为：．
由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设动点，的中点为，
可得，得，，
点在圆上运动，
，化简得，
所求动点轨迹方程为．
故答案为：．
设动点，的中点为，由中点坐标公式解出，，将点代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．
本题给出定点与定圆，求圆上动点与定点连线中点的轨迹方程，着重考查了圆的方程与动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，记绕轴旋转一周所得的几何体为，
在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，令，则，
则与双曲线在第一象限交点的坐标为，
记与轴交于点，，
则截面面积，
在所得几何体中，在高为处作一截面，令，
其与渐近线的交点坐标为，与双曲线的一支的交点坐标为，
则截面面积为，
利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为的圆柱的体积，
所以的体积．
故答案为：．
由题意得双曲线方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标和与双曲线第一象限交点的坐标，记与轴交于点，由，根据祖睡原理，能求出它绕轴旋转一圈所得几何体的体积．
本题考查双曲线的性质的应用及旋转体体积的求法，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程可得，，，右焦点，
由双曲线的定义可得，
当且仅当，，三点共线时，且在之间，取最小值，
可得直线的方程为，
联立，整理可得：，
则，，
即，
所以．
故答案为：．
由双曲线的性质可得，当且仅当，，三点共线时，且在之间，取最小值，设直线的直线方程，与双曲线的方程联立，可得的坐标，进而求出的值．
本题考查双曲线的性质的应用，线段和的最小值的求法，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，所以，又，，
，故其方程为，
设，、，
得：，：，
，
依题意到的距离为，
整理得，
同理，
是方程的两实根，
由，故恒成立，
有，
且，
即，
代入，有，
即，
即，
故或舍去，
则，
故或舍去，
故的坐标是．
故答案为：．
先依据题意求出椭圆的标准方程，设点坐标为，再设切线的斜率为、，则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径分别得出关于、的方程，从而得到解分别为、的方程，由韦达定理得，结合，可得点横纵坐标的关系，从而可解出点坐标．
本题考查了利用圆心到切线距离等于圆半径以及韦达定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：当，平行时，则，解得，此时：，
则，之间的距离．
设直线与直线，分别交于点，，
则，两式相减得：，而，
即，解得或，
由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，
由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，
所以直线的方程为或．
故答案为：或

【解析】根据平行求出值，再根据两平行线距离公式即可．
设出直线与直线，的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答．
本题考查两条直线的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上，
又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为，
所以圆的方程为．
，则点在圆外，
过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切；
过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得，
此时直线方程为．
所以经过点的圆的切线方程为或．
【解析】由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程；
由点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径求切线方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
不妨设双曲线方程为，
因为因为双曲线经过点，
所以，
解得，
则双曲线方程为；
不妨设，，
因为线段的中点为，
所以，
因为，两点在双曲线上，
所以，
两式相减得，
即，
所以，
则直线的斜率为，
所以直线的方程，
即，
联立，消去并整理得，
此时，
所以直线与双曲线有两个交点．
故直线的方程为．
【解析】由题意，根据渐近线方程设出双曲线方程，再将点代入即可求解；
设出，两点的坐标，根据线段的中点以及，两点都在双曲线上，列出等式即可得到直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，根据即可求解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
取中点为，连接，
因为，且，，，所以，
又因为平面，，平面，
所以，，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
，，
所以，令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则平面与平面所成锐二面角的余弦值为：
．
，
点到平面的距离为．
在线段上，存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
理由如下：
设上存在点，使，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
平面的法向量为，
，由，解得，
故在线段上，存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且．
【解析】利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值；
利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离；
利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解．
本题考查面面角的求解，考查点到面的距离，向量法求解线面角问题，方程思想，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得，，所以，
所以椭圆的方程为．
证明：设点，因为点在椭圆上，所以，，
同理设点，则，，
因为直线过原点，所以，关于原点对称，点，
，
左焦点为，
当直线斜率为零时，不妨设，，
则，，，，
存在，使成立，
当直线斜率不为零时，设直线方程为，
，，
联立方程组，消去得
；易知，
所以，，，
，
又因为，，
所以，，
又因为，
当时，最小为，
综上，存在，使成立，最小为．
【解析】由离心率和顶点得椭圆的方程；
设点，的坐标，由对称性得点的坐标，计算斜率之积，证明为定值；
按直线斜率是否为零分类讨论，计算及，并求的最小值．
本题考查椭圆方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
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